2020-2021学年人教版数学八年级下册 18.2.3 正方形及其性质 课件（共49张ppt）

第十八章
18.2.3 正方形及其性质
人教版数学八年级下册
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等且互相平分
边：
对边平行且相等
具有平行四边形所有性质
复习导入
菱形的性质
菱形的性质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
对角相等,邻角互补
具有平行四边形一切性质
角：
学习目标
1.了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理.
2.会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．
1
知识点
正方形的定义
正方形
菱形
正方形
有一个角是直角
正方形是特殊的菱形
合作探究
正方形的概念：
__________________________________
的平行四边形是正方形.
_______________的菱形是正方形.
_________________的矩形是正方形.
定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的
有一个角是直角
有一组邻边相等
例1 如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点
F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE
=BE.
本题要证明两条线段相等，而证明
线段相等的方法有很多，根据题中
所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边
相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得
到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去
解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题
即可解决．
分析：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∴∠BAE+∠EAD=90°．
∴EA⊥AF，
∴∠BAE+∠FAB=90°．
∴∠EAD=∠FAB．
∴△ABF≌△ADE．
∴DE=BF.
证明：
知道正方形就说明它的四边都相等，四个角
都是直角.
新知小结
下面四个定义中不正确的是(　　)
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
1
B
巩固新知
【中考·兰州】?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得?ABCD为正方形．
2
AC＝BD
2
知识点
正方形的性质
正方形边的性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即
四条边相等，邻边垂直，对边平行；
合作探究
例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交
点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG
交AO于F，求证：EF∥AB.
要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，
∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝
45°，即要证明OE＝OF，而
OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．
导引：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.
又∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.
∴EF∥AB.
证明：
通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步
得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最
常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直
角为证明三角形全等提供了条件．
新知小结
(1)把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可
以裁出正方形纸片. 为什么？
(2)如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正
方形木板呢？
1
略.
解：
巩固新知
正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2
B
【 中考·宁波】一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最
小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3
A
【中考·广东】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(　　)　
A.
B．2
C. ＋1
D．2 ＋1
4
B
【中考·毕节】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　)
A．3　　　
B．4　　　
C．5　　　
D．6
5
B
例3 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
线段BE是Rt△ABE的一边，但由
于AE未知，不能直接用勾股定理
求BE，
由条件可证△ABE≌△AFE，问
题转化为求EF的长，结合已知条
件易获解．
导引：
合作探究
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.
解：
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边
相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正
方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解
决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．
新知小结
如图，ABCD是一块正方形场地. 小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知， EC=30 m，EB = 10 m. 这块场地的面积和对角线长分别是多少？
1
A
D
巩固新知
连接AC，BD相交于点O.
在Rt△BCE中，
BC
因为AB＝BC＝CD＝AD，
所以S正方形ABCD＝BC2＝(20)2＝800(m2)．
因为AC
又BD＝AC，所以BD＝40 m．
所以这块场地的面积是800 m2，对角线长是40 m.
解：
【中考·河南】我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点
C的对应点C′的坐标为(　　)
A．( ，1) B．(2，1)
C．(1， ) D．(2， )
2
D
1.正方形是中心对称图形，轴对称图形.
2.正方形的四条边都相等.
3.正方形的四个角都相等.
4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条
对角线平分一组对角.
有 一组邻边相等 并且 有一个角是直角
平行四边形 是 正方形
的
归纳新知
邻边
直角
菱形
矩形
课后练习
D
B
矩形
菱形
相等
直角
互相平分
垂直
相等
22°　
C
C
B
C
D
【答案】B