2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第一章 三角形的证明单元训练卷（Word版 含答案）

第一章三角形的证明单元训练卷
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是(　　)
A．AB2＋AC2＝BC2
B．∠B∶∠C∶∠A＝1∶2∶3
C．∠B＋∠C＝∠A
D．AB∶BC∶CA＝1∶2∶3
2．已知一个等腰三角形的两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为(　　)
A．20° B．120°
C．20°或120° D．36°
3．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是(　　)
A．AO平分∠EAF
B．AO垂直平分EF
C．GH垂直平分EF
D．GH平分AF
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，若BC＝3，则AD的长为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD?AD的值为(　　)
A. B.
C. D.
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
7．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为(　　)
A．4 B．2
C. D．3
8．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植一草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　)
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是(　　)
A．70° B．110°
C．70°或110° D．20°或160°
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( )
A．6 B．12 C．32 D．64
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11． 命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：_________________________________．
12. 如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是_____________．
,
13． 如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝__________．
14．如图，△ABC的周长为22 cm，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，若△BCE的周长为14 cm，则AB＝__________cm.
15． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．
16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．
17．如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为4 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为________cm.
18．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为________．
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分) 如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，BC＝4，CD＝3，AB＝13，AD＝12，求证：∠C＝90°.
20．(8分) 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC于点D，交∠BAC的角平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，求证：BF＝CG.
21．(8分) 如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．
22．(10分) 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．
(1)求证：B′E＝BF；
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
23．(10分) 如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.
(1)求证：∠PCB＋∠BAP＝180°；
(2)若BC＝12 cm，AB＝6 cm，PA＝5 cm，求BP的长．
24．(10分) 如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：BF＝2AE；
(2)若CD＝，求AD的长．
25．(12分) 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式　等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题．
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
参考答案
1-5DCCCC 6-10CCBCC
11. 如果m是有理数，那么它是整数 12. AC＝DE 13. 45° 14. 8 15．15　 16.70° 17. 8
18. 或
19. 证明：∵AD⊥BD，AB＝13，AD＝12，∴BD＝5.又∵BC＝4，CD＝3，∴CD2＋BC2＝BD2，∴∠C＝90°
20. 证明：连接BE，CE，∵D为BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG，∴△BEF≌△CEG(HL)，∴BF＝CG
21. 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝8，∴CD＝AC＝4，∴AD＝＝4. ∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠B＝∠BCD＝45°，∴CD＝BD＝4，∴BC＝＝＝4，AB＝AD＋BD＝4＋4.
22. (1)证明：由题意得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE.又∵AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′FE＝∠B′EF，∴B′F＝B′E，∴B′E＝BF　(2)a，b，c的关系为a2＋b2＝c2，连接BE，则BE＝B′E，由(1)知B′E＝BF＝c，∴BE＝c，∵AE2＋AB2＝BE2，又∵AE＝a，AB＝b，∴a2＋b2＝c2(若写a＋b>c也可以)
23. M解：(1)证明：过点P作PE⊥AB于点E，∵∠1＝∠2，PF⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PF.在△APE和△CPF中，∴△APE≌△CPF(HL)，∴∠PAE＝∠PCB.∵∠PAE＋∠PAB＝180°，∴∠PCB＋∠BAP＝180°.
(2)∵△APE≌△CPF，∴AE＝FC，∵BC＝12 cm，AB＝6 cm，∴AE＝×(12－6)＝3 (cm)，BE＝AB＋AE＝6＋3＝9 (cm)，在Rt△PAE中，PE＝＝4 (cm)，在Rt△PBE中，PB＝＝ (cm)．
24. 解：(1)证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝∠DBF＋∠DCA＝90°，∴∠DAC＝∠DBE，又∵∠BAD＝45°，∴∠BAD＝∠DBA，∴AD＝BD，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，又∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∴BF＝2AE.(2)∵△BFD≌△ACD，∴FD＝CD＝，∴FC＝＝2，又∵AE＝CE，FE⊥AC，∴FC＝AF，∴AF＝2，∴AD＝AF＋FD＝2＋.
25．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°；若∠A为底角，∠B为顶，则∠B＝180°－2×80°＝20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°. 故∠B为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个．
②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°. 当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．