_ 2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章《三角形的证明》角平分线解答题专项（一）（Word版 含解析）

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》
角平分线解答题专项（一）
1．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E．
（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；
（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．
2．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为　
　．
3．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF⊥BC，FM⊥AC，垂足分别是D，F，M，求证：FM＝FD．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，AC＝6，BD＝8，求AM．
6．已知：P为∠AOB内一个动点，M，N分别为OA，OB上的点，连接PM，PN，MN．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，OP＝2，PM⊥OA，PN⊥OB，则MN的长为　
　．
（2）如图2，若∠AOB＝120°，OP＝2，若P在∠AOB的角平分线上，且满足PM＝PN（OM＜ON），求四边形OMPN的面积．
7．如图，EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线，交点是G，BP，CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P．
（1）证明：A，P，G三点共线；
（2）若∠G＝68°，求∠P的度数．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝80°，AD为∠BAC的角平分线，G、E分别是AC、BG的中点，AF⊥BC于F．求：
（Ⅰ）∠ABC的大小；
（Ⅱ）∠DAF的大小；
（Ⅲ）△AEC的面积与△ABE的面积的比值．
9．如图，D是∠MAN内部一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE＝DF，连接AD．
（1）求证：AD平分∠MAN；（可不用全等）
（2）在射线AN上取一点C，使得DC＝DB，若AB＝6，BE＝2，则AC长为　
　．
10．已知，如图，BD、CD是△ABC外角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：点D在∠A平分线上．
11．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
12．已知：如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF+∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G．
（1）试判断DE和DF的数量关系，并说明理由；
（2）若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积．
13．如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝3cm，求AB与CD之间的距离．
14．如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，过点E作EM⊥AC于点M，EN⊥AD于点N，BE＝CE．
（1）请你在不添加辅助线的情况下写出一对你认为全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB＝8，AC＝10，求AM的长度．
15．如图，Rt△ABC的角平分线AD与BE相交于F，M是DE的中点，设FM＝2.5，S△DEF＝15，求CD，AB的长．
参考答案
1．解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝75°，
∴∠ACB＝50°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝25°，
∵∠B＝75°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝25°﹣15°＝10°，
即∠DCE的度数是10°；
（2）∠DCE＝（∠B﹣∠A），
理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），
即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．
2．定理证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，
在△OEP和△ODP中，
∵，
∴△OEP≌△ODP（AAS），
∴PE＝PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO＝DO，OF＝DO，
∵OD＝3，
∴EO＝FO＝3，
∵△ABC的周长是12，
∴AB+BC+AC＝12，
∴△ABC的面积：AB?EO+AC?FO+CB?DO＝（AB+AC+BC）＝×12＝18，
故答案为：18．
3．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．
4．证明：作EH⊥AD于H，
则四边形FDFE是矩形，
∴DF＝HE，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，∠BAC＝90°，
∴EA＝EF，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠HAE＝∠MEF，
在△HAE和△MEF中，
，
∴△HAE≌△MEF，
∴EH＝MF，
∴FM＝FD．
5．
AM＝．
6．（1）2；
（2）过P作PG⊥OA，PH⊥OB，
∵P在∠AOB的角平分线上，
∴PG＝PH，
在Rt△PGM与Rt△PHN中，，
∴Rt△PGM≌Rt△PHN，
∵∠AOB＝120°，
∴∠POA＝∠POB＝60°，
∴OG＝OH＝1，PG＝PH＝，
∴四边形OMPN的面积＝四边形PGOH的面积＝2△OPG的面积＝2××＝．
7．解：（1）过G作GP⊥AN于P，GQ⊥AM于Q，PR⊥EF于R，
∵EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线，
∴GP＝GR＝GQ，
∴G在∠NAN的角平分线上，
同理点P在∠NAN的角平分线上，
∴A，P，G三点共线；
（2）∵EQ、FQ分别是∠MEF和∠NFE的平分线，
∴∠QFE＝∠NFE，∠QEF＝∠MEF，
∴∠Q＝180°﹣∠NFE﹣∠MEF
＝180°﹣（∠NFE+∠MEF）
＝180°﹣（360°﹣∠AFE﹣∠AEF）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A＝68°，
同理，∠P＝90°﹣∠A＝68°．
8．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣80°＝40°；
（Ⅱ）∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝70°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF＝20°，
（Ⅲ）∵G、E分别是AC、BG的中点，
∴△AEC的面积＝S△ABC，△ABE的面积＝S△ABC，
∴△AEC的面积与△ABE的面积的比值＝2．
9．（1）证明：∵D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE＝DF，
∴AD平分∠MAN；
（2）解：
分两种情况：
①如图1，当点C在线段AF上时，
∵DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴CF＝BE＝2，
∴AC＝AB＝6，
②如图2，当点C在线段AF的延长线上时，
同理可证Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴CF＝BE＝2，
∵AF＝AE＝AB+BE＝8，
∴AC＝8+2＝10．
故答案为：6或10．
10．证明：过点D作DG⊥BC，
∵DB是∠CBE的平分线，CD是∠BCF的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DG，DG＝DF，
∴DE＝DF，
∴点D在∠A平分线上．
11．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
12．（1）证明：过D作DN⊥AC于N，∵DG⊥AB于点G，
∴∠EGD＝∠FND＝90°，
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DN⊥AC，
∴DG＝DN（角平分线性质），
∵∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AED+∠DEG＝180°，
∴∠GED＝∠NFD，
在△EGD和△FND中
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：作DM＝DE交AC于M，
∵DE＝DF，DM＝DE，
∴DM＝DF，
∵AD是△ABC的角平分线，DG⊥AB，
∴DG＝DN，
在Rt△DEG和Rt△DMN中，
，
∴△DEG≌△DNM（HL），
∵△ADF和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDF＝S△ADF﹣S△ADM＝50﹣39＝11，
S△DNM＝S△DEG＝S△MDG＝＝5.5．
13．解：如图，过点P作PM⊥AB于M，作PN⊥CD于N，
∵AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC，
∴PM＝PE＝PN＝3cm，
∴AB与CD之间的距离＝PM+PN＝3+3＝6（cm）．
14．解：
（1）△EAN≌△EAM，
证明如下：
∵EA平分∠CAD，
∴∠EAN＝∠EAM，
∵EM⊥AC，EN⊥AD，
∴∠ENA＝∠EMA＝90°，
在△EAN和△EAM中
∴△EAN≌△EAM（AAS）；
（2）由（1）可知EN＝EM，
在Rt△△ENB和Rt△EMC中，
∴Rt△ENB≌Rt△EMC（HL），
∴AC＝NB＝10，
∴NA＝BN﹣AB＝10﹣8＝2，
又由（1）可知AM＝NA，
∴AM＝2．
15．AB＝30，CD＝8或9．