7.4勾股定理逆定理课件(共28张PPT)

1、用文字语言说出勾股定理内容
2、说出它的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形。
？
符号语言表示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°,
∴AC2+BC2=AB2即a2+b2=c2
（1）探索并证明勾股定理的逆定理。
（2）能运用逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形。（重点）
（3）了解勾股数组的概念，能举例说明怎样的三个数是勾股数组。
（4）能综合应用勾股定理及逆定理解决问题。（难点）
学习目标：
古埃及人曾用下面的方法得到直角
如图，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
1
4
8
13
目标1：探索直角三角形的判定条件
3
4
5
A
C
B
A
′
B
′
C
′
3
4
古埃及人的做法：
△ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
这两个三角形有什么关系？
全等
在 中根据
勾股定理有
≌
我们作Rt △ABC，使 =3、 =4
B
′
C
′
A
′
C
′
目标1：探索直角三角形的判定条件
∴
∵ a2+b2=c2
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
则 △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题
A
′
B
′
C
′
A
C
B
∵ ∠ C’=900
= a2+b2
∵ 边长取正值
∴ =c2
∴ =c
目标1
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆定理
定理
把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形
目标1
例1 判断由线段a、 b 、 c 组成的三角形是不是直角 三角形：
（1）a=15, b=8, c=17 （2） a=13, b=14,c=15
解：（1）
（2）
知识应用
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
(3)
小结：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
知识应用
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
1. 在下列各题中，a,b,c分别是△ABC的三边，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，哪一个角是直角？
（1）a=1，b= ，c= _____ ;
（2）a=2，b=3，c=4 _____ _____ ;
（3）a=5，b=4，c=3 _____ _____ ;
(4) a=3n，b=4n，c=5n (n>0) _____ _____ ;
(5) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
跟踪训练
是
是
不是
∠ C=900
∠ C=900
是
∠ A=900
是
∠ C=900
跟踪训练
1. 将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A. 1, 2, 3 B. 4, 6, 8 C. 5, 5, 4 D. 15, 12, 9
2.△ABC三边长a，b，c满足条件（a+b）2 - c2=2ab，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
3.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足
，试判断△ABC的形状.
当a=b时，△ABC为等腰三角形;
当a≠b时，△ABC为直角三角形.
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
跟踪训练
4.
跟踪训练
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
5.如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
判定△ABC的形状.
跟踪训练
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
分别以△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
△ABC是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
交流研讨
目标2：用a2+b2=c2三边关系判断直角三角形
一般地，把能够成为直角三角形三条边长的三个
正整数称为勾股数组。
正整数
两个较小数的平方和等于较大数的平方
目标3：认识勾股数组
课外拓展
1.请你写出三组勾股数；
2.一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
8，15，17 ；
9，40，41；
6，8，10
目标3：熟记常见勾股数组
如3，4，5；
设三边的长度分别为3n, 4n, 5n(n>0)
跟踪训练
13
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
例2 一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？
实际应用
目标4：用勾股定理的逆定理解决实际问题
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
A
B
C
D
变式训练
目标4：用勾股定理的逆定理解决实际问题
例3　如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile，“海
天”号每小时航行12n mile.它们离开
港口一个半小时后分别位于点Q、R
处，且相距30n mile.如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道“海天”
号沿哪个方向航行吗？
实际应用
分析：
1.求“海天”号的航向就是求 的角度.
∠2
2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的
角度即可.
3.根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角.
目标4：用勾股定理的逆定理解决实际问题
实际应用
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24,
PR=12×1.5=18,QR=30.
因为242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°.
∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
目标4：用勾股定理的逆定理解决实际问题
实际应用
1.小明向东走80 m后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三个方向走100 m回到原地.小明向东走80m后是向哪个方向走的？
解:小明的行走路线恰好构成三角形.因为602+802=
3600+6400=10000=1002，所以这个三角形是直角三角形，
因为小明向东走80m，因此小明又向北或南走60m.
目标4：用勾股定理的逆定理解决实际问题
跟踪训练
归纳·整理
判定一个三角形是直角三角形的方法
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
课堂检测
1. 如果线段a、b、c能组成直角三角形, 则它们的比可能是（ ）
A. 3:4:7; B.5:12:13; C.1:2:4; D.1:3:5
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3. 三角形的三边为a= 、b=1、c= ，则这个三角形 是 三角形。
4. 三角形三边长分别为a、b、c，若三边长满足a2-b2=c2时，这个三角形是 三角形；若三边长a、b、c满足(a+b+c)(a-b-c)+2bc=0时，这个三角形是 三角形。
5.如果三角形是三边之比为5：12：13，且周长为60厘米，那么这个三角形的面积为______.
6.已知a.b.c为△ABC的三边,且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4,试判断△ABC的形状.
解 ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4 (1)
∴ c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2) (2)
∴ c2 = a2 + b2 (3)
∴ △ABC是直角三角形
问: (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号＿＿＿
(2) 错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿
3
a2- b2可能是0
直角三角形或等腰三角形
应用拓展
A
F
E
C
B
D
7.如图:在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF= CD.猜想△AEF的形状,并证明你的结论.
解: △AEF是直角三角形；
理由：设正方形ABCD的边长是a,则:
应用拓展：
在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC.
综合应用
因为BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，
所以BD2+AD2=AB2，所以△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.因此△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以AC=13.
解：在△ABD中，BD= BC=5，AD=12，AB=13，