1.6.1完全平方公式课件（27张）

(共27张PPT)
1.6.1
完全平方公式
1.6
完全平方公式
第一章
整式的乘除
知识回顾
1.平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
3.运用平方差公式的关键：找到公式中的a和b：
符号相同为a;符号相反为b.
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;（重点）
2.会运用公式进行简单的运算；(难点)
学习目标
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)
(p+1)2=
(p+1)
(p+1)
=
.
(2)
(m+2)2
=
.
(3)
(p－1)2
=
(p－1)
(p－1)
=
.
(4)
(m－2)2
=
.
p2+2p+1
m2+4m+4
m2
－
4m+4
p2
－
2p+1
新课导入
(a+b)2=
；
(a－b)2=
.
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)
(p+1)2=
(p+1)
(p+1)
=
.
(2)
(m+2)2
=
.
(3)
(p－1)2
=
(p－1)
(p－1)
=
.
(4)
(m－2)2
=
.
p2+2p+1
m2+4m+4
m2
－
4m+4
p2
－
2p+1
新课导入
(a+b)2=
；
(a－b)2=
.
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
你会推导验证吗？
我们来通过计算验证这两个式子：
(a+b)2
=
(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a－b)2
=
(a－b)(a－b)
=a2－ab－ab+b2
=a2－2ab+b2.
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号跟前一个样
完全平方公式：
两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍.
注：
公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
(a+b)
2=a2+2ab+b2
你能用右图解释这一公式吗？
法一
总面积=
(a+b)2
；
法二
总面积=
a2+
ab+
ab+
b2.
=a2+2ab+b2
想一想
你能用几何图形解释这一个公式吗？
(a+b)?
a
a
b
b
(a－b)?
ab
ab
b2
想一想
(a-b)
2=a2-2ab+b2
例1
利用完全平方公式计算：
(1)
(2x－3)2；(2)
(4x+5y)2
；(3)
(mn－a)2
.
解：
(1)
(2x－3)2
=
(2x)2－2·2x·3+32
=
4x2－12x
+
9；
(2)
(4x+5y)2
=
(4x)2
+2·4x·5y+
(5y)2
=
16x2
+40xy+
25y2
；
(3)
(mn－a)2
=
(mn)2－2·mn·a+a2
=
m2n2－2amn+a2.
例2
利用完全平方公式计算：
(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；(3)
解：
法2：原式＝(2x－5)2
＝(2x)2－2·2x·5＋52
＝4x2－20x＋25；
(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2
＝m2＋4mn＋4n2
(1)法1：原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·5＋52
＝4x2－20x＋25；
例2
利运用完全平方公式计算：
(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；(3)
解：
法2：原式＝(2x－5)2
＝(2x)2－2·2x·5＋52
＝4x2－20x＋25；
(1)法1：原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·5＋52
＝4x2－20x＋25；
(3)原式＝[(a-b)+c]2
＝(a-b)2+2(a-b)c+c2
＝a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2
练一练
(1)
(
x
?
2y)2
；
(2)
(2xy+
x
)2
;
1.计算：
(3)
(4x
+
0.5)2
;
(4)
(2x2－3y2)2
练一练
(1)
(
x
?
2y)2
；
(2)
(2xy+
x
)2
;
1.计算：
(3)
(4x
+
0.5)2
;
(4)
(2x2－3y2)2
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当
怎样改正？
（1）(x+y)2=x2
+y2
(2)(x
－y)2
=x2
－y2
(3)
(－x
+y)2
=x2+2xy
+y2
(4)
(2x+y)2
=4x2
+2xy
+y2
×
×
×
×
x2+2xy
+y2
x2－2xy
+y2
x2
－2xy
+y2
4x2+4xy
+y2
3.
(1)下列二次三项式是完全平方式的是（
）
A.a2?8a?16
B.a2?4a?16
C.a2+8a+16
D.a2+4a+16
3.
(1)下列二次三项式是完全平方式的是（
C
）
A.a2?8a?16
B.a2?4a?16
C.a2+8a+16
D.a2+4a+16
(2)下列各式一定成立的是（
C
）
A.(2a-b)2=4a2?2ab+b2
B.(x+y)2=x2+y2
C.
D.(x+y)(?x?y)=x2?y2
(a+b)
2=a2+2ab+b2
由中间凑两边，
由两边定中间
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：
完全平方公式的结果是三项
即
(a
?b)2＝a2
?2ab+b2;
平方差公式的结果是两项
即
(a+b)(a?b)＝a2?b2.
例3
运用乘法公式计算:
(1)
(x+2y－3)(x－2y+3)
;
解:
原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]
=
x2－(2y－3)2
=
x2－(4y2－12y+9)
=
x2－4y2+12y－9.
方法总结：需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
(2)
(a+b+c)2.
解：原式=
[(a+b)+c]2
=
(a+b)2+2(a+b)c+c2
=
a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用
完全平方公式计算.
例4
若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝_____________．
10或－10
A
练习：若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(　　)
A．9
B．－9
C．±9
D．3
练习
如果16x2＋(m＋1)xy＋9y2是一个完全平
方式，求m的值．
解：∵16x2＋(m＋1)xy＋9y2
＝(±4x)2＋(m＋1)xy＋(±3y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·4x·3y，
∴m＋1＝±24，
∴m＝23或－25.
例5：计算下列各式
（1）(a＋b)2－b(2a＋b)；
解：原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2
＝a2.
(2)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2.
方法一：原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)
＝x2＋2xy＋y2－4x2＋4y2＋4x2－8xy＋4y2
＝x2－6xy＋9y2；
例5：计算下列各式
（1）(a＋b)2－b(2a＋b)；
解：原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2
＝a2.
(2)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2.
方法一：原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2)
＝x2＋2xy＋y2－4x2＋4y2＋4x2－8xy＋4y2
＝x2－6xy＋9y2；
方法二：原式＝[(x＋y)－2(x－y)]2
＝(－x＋3y)2＝(x－3y)2
＝x2－6xy＋9y2.
整体思想
例6
先化简，再求值：
(a＋3)2－(a＋1)(a－1)－2(2a＋4)，其中a＝－
.
课堂小结
1.完全平方公式的内容
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
首平方，尾平方，2倍乘积放中央
，符号跟前一个样
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
课堂小结
2.
注意完全平方公式和平方差公式不同
形式不同；结果不同
3.
在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
1.完全平方公式的内容
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
首平方，尾平方，2倍乘积放中央
，符号跟前一个样