18.2特殊的平行四边形 培优训练卷（Word版 含答案）

《特殊的平行四边形》同步培优训练
选择题
1．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
2．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
3．如图，在菱形false中，点false在边false上，false.若false，则边false的长为( )
A．false B．false C．false D．false
4．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，false，下列判断中错误的是（ ）
A．如果false，false，那么四边形ABCD是平行四边形
B．如果false，false，那么四边形ABCD是矩形
C．如果false，false，那么四边形ABCD是菱形
D．如果false，AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形
5．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC与BD相交于点O，且AC:BD=3:4，AE⊥CD于点E，则AE的长是（ ）
A．4 B．245 C．5 D．125
7．在四边形false中，false，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．如图所示，矩形ABCD中，AE平分false交BC于E，false，则下面的结论：①false是等边三角形；②false；③false；④false，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在菱形false中，false，false的垂直平分线交对角线false于点false，false为垂足，连结false，则false等于(　　)
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．如图，菱形false中，过顶点false作false交对角线false于false点，已知false，则false的大小为( )
A．false B．false C．false D．false
二、填空。
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______
12．如图，E为矩形false的边false上一点，将矩形沿false折叠，使点B恰好落在false上的点F处，若false，false，则false_______．
13．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于____________度
14．如图，有下列几组条件：①AC⊥BD，OC＝OA；②∠1＝∠2＝∠3＝∠4；③OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④AB＝BC＝CD，AC⊥BD．其中一定能判定四边形ABCD为菱形的有_________________．(填序号)
15．如图，在菱形false中，false，false的垂直平分线交对角线false于点false，垂足为点false，连接false，false，则false______.
三、解答。
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是　 　．
17．如图，在平行四边形false中，false、false分别为边false、false的中点，false是对角线，过点false作false交false的延长线于点false．
（1）求证：false；
（2）若false，求证：四边形false是菱形．
18．如图，在false中，false，点false在对角线false上，点false从点false出发以每秒1个单位的速度向点false运动，同时点false从点false出发以相同速度向点false运动，到端点时运动停止，运动时间为false秒．
（1）求证；四边形false为平行四边形；
（2）求false为何值时，四边形false为矩形．
19．如图所示，四边形ABCD是矩形，已知PB=PC.?
(1)若P是矩形外一点，求证：PA=PD；?
(2)若P是矩形边AD(或BC)上的一点，则PA PD；
(3)若点P在矩形ABCD内部，上述结论是否仍然成立？
20．在正方形false中，false是false边上一点，
（1）将false绕点false按顺时针方向旋转。使false、false重合，得到false，如图（a）所示．观察可知：与false相等的线段是__________，false__________．
（2）如图（b）所示，正方形false中，false、false分别是false、false边上的点，且false，试通过旋转的方式说明：false．
（3）在（2）的条件下，连接false分别交false、false于点false、false，如图（c）所示．判断false、false、false之间的关系，直接写出结论．
答案
1-5:CBBAC
6-10:BACCD
11．15°
12．false
13．15°
14．②③④
15．false.
16.（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为：falseAC?BD=false×4×2=4，
故答案为4．
17．（1）见解析；（2）见解析
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝falseAB，DF＝falseCD．
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝DE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
18．（1）见解收析；（2）当false或false时，四边形false为矩形
【详解】
（1）在false中，
∵false，
∴false．
由题意知，false．
在false与false中，false，
∴false，
∴false，
同理可得false,
∴false，
∴四边形false为平行四边形．
（2）当false或false时，四边形false为矩形．理由如下：
由平行四边形的性质知false，要使false是直角，
只需false，
则false．
∵false，
∴false，
∴false，
即false．
此时false或false．
19．（1）详见解析；（2）=；（3）成立，理由详见解析.
【详解】
(1)证明：如图①，
∵四边形ABCD是矩形，?
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，?
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD.
在△APB和△DPC中，false，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD；
(2) 如图②，当P是矩形边AD上的一点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，PB=PC，
∴Rt△APB≌Rt△DPC（HL），
∴PA=PD，
当P是矩形边BC上的一点，同理可得：PA=PD，
∴若P是矩形边AD(或BC)上的一点，则PA=PD；
(3)成立．
理由如下：
如图③，

∵四边形ABCD是矩形，?
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，?
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD.
在△APB和△DPC中，false，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD.
20．（1）false，false；（2）见解析；（3）false
【详解】
（1）如图(a)．
∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF．
∵DE=BF，∠AFB=∠AED．
故答案为：BF，AED；
（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D=∠ABE=90°，即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ．
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠PAQ=∠PAE，
在△APE和△APQ中，
∵false，
∴△APE≌△APQ(SAS)，
∴PE=PQ，
而PE=PB+BE=PB+DQ，
∴DQ+BP=PQ；
（3）BM2+DN2=MN2．证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
如图3，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，
则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，
与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK．
∵∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，
∴△BMK为直角三角形，
∴BK2+BM2=MK2，
∴BM2+DN2=MN2．