相似三角形应用举例
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(共29张PPT)
27.2.2 相似三角形应用举例
人教版数学九年级下册
判定两个三角形相似有哪几种方法？
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2、三边对应成比例的两个三角形相似.
3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
4、两角对应相等的两个三角形相似.
相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边的比相等.
利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题.
应用一：
测量金字塔的高度
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例1、如图，如果木
杆EF长2 m，它的
影长FD为3 m，测
得OA为201m，求金字塔的高度BO.
解：太阳光是平行光线，
又∵∠AOB=∠DFE= 90°
∴⊿ABO∽⊿DEF
∴ =
∴BO = = = 134
答：金字塔的高为134米.
因此∠BAO=∠EDF
B
O
E
A(F)
D
同一时刻，由太阳光线、物体、
影长所组成的三角形相似.
同一时刻，物体的高度之比，
等于它们的影长之比.
练习1：
在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m.同时测得一栋高楼的影长为90m.这栋高楼的高度是多少
解：设高楼的高度为xm.
因为在同一时刻，物体
的高度之比等于它们的
影长之比.
则有 =
3x =90×1.8
x =54
答：楼的高度为54m.
竹竿影长
楼高
高楼影长
竹竿高
1.8m
3m
90m
练习2:
为了测量大树的高度，在同一时刻小明分别进行如下操作：（1）测得竹竿AB长为0.8m，其影长BC为1m；（2）测得大树落在地面上的影长DF为2.8m，落在墙上的影长EF高1.2m，求大树的高度GD是多少？
A
B
C
F
D
E
G
A
B
C
F
D
E
G
H
0.8
1
2.8
1.2
解：过点F作FH∥GE交GD于H.
根据同一时刻，物体的高度之比，
等于它们的影长之比.
∴
即
∴HD=2.24
而GH=EF=1.2
∴GD=GH+DH=1.2+2.24=3.44
答：大树的高度是3.34米.
估算河的宽度
应用二：
T
S
Q
P
R
a
b
例2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ.
45m
90m
60m
T
S
Q
P
R
a
b
60m
90m
45m
⊿PQR∽⊿PST
=
90
60
？
？
PQ+QS
解：∵∠PQR=∠PST=90°， ∠P=∠P
∴⊿PQR∽⊿PST
∴ =
即 = ，
=
90PQ=60(PQ+45)
30PQ=270
PQ=90
答：河宽大约为90米.
T
S
Q
P
R
a
b
60m
90m
45m
B
C
D
E
A
在河对岸选定一个目标点A，
在近岸选点B和C，
使AB⊥BC，
再选点E，
使EC⊥BC，
确定BC与AE的交点D.
⊿ABD∽⊿ECD
练习3：
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，
求河宽AB.
解：∵∠B=∠C=90°，
∠ADB=∠CDE
∴⊿ABD∽⊿ECD
∴ =
即 = =2
∴AB=100
答：河宽AB为100m.
A
B
C
D
E
应用三：
盲区问题
例3、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树的根部的距离BD = 5 m.一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端C？
l
A
B
C
D
8m
12m
5m
1.6m
B
D
l
A
8m
12m
5m
1.6m
C
H
K
F
E
F
H
K
A
C
8－1.6
12－1.6
5
T
S
Q
P
R
a
b
60m
90m
45m
B
D
l
A
8m
12m
5m
1.6m
C
H
K
F
E
解：由题意可知，AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD，
⊿AFH∽⊿CFK
∴ =
即 = =
10.4FH=6.4(FH+5)
4FH=32
FH=8
答：略
如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别
为AB、PQ，并且AB∥PQ .建筑物的一端DE
所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N.
小亮从胜利街的A
处，沿着AB方向前进，
小明一直站在P点的位
置等候小亮.
练习4：
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时 的视线，以及此时小亮所在位置
（用点C标出）；
C
A
B
M
N
Q
E
D
P
建筑物
小亮
小明
胜利街
（2）已知MN=20m,
MD=8m,PN=24m，
求（1）中的C点到
胜利街街口的距离CM.
解：∵AB∥PQ，MN⊥AB
∴∠CMD=∠PND=90°
又∵∠CDM=∠PDN
∴⊿CDM∽⊿PDN
∴ =
∵MN=20，MD=8，∴DN=12
∴ =
∴CM= =16
答：C点到胜利街街口的距离为16m.
C
A
B
M
N
Q
E
D
P
建筑物
小亮
小明
胜利街
？
24
8
20
通过本节课的学习，你掌握了什么
在实际生活中，我们面对不能直接
测量物体的高度和宽度时，可以把它们
转化为数学问题，建立相似三角形模型，
再利用对应边的比相等来达到求解的目
的.
课外延伸：
怎样利用相似三角形的有关
知识测量旗杆的高度
D
E
B
C
A
D
E
B
C
A
E
B
C
A
D
F
作业：
56—57页，8—11题
27.2.2 相似三角形应用举例
人教版数学九年级下册
判定两个三角形相似有哪几种方法？
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2、三边对应成比例的两个三角形相似.
3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
4、两角对应相等的两个三角形相似.
相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边的比相等.
利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题.
应用一：
测量金字塔的高度
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例1、如图，如果木
杆EF长2 m，它的
影长FD为3 m，测
得OA为201m，求金字塔的高度BO.
解：太阳光是平行光线，
又∵∠AOB=∠DFE= 90°
∴⊿ABO∽⊿DEF
∴ =
∴BO = = = 134
答：金字塔的高为134米.
因此∠BAO=∠EDF
B
O
E
A(F)
D
同一时刻，由太阳光线、物体、
影长所组成的三角形相似.
同一时刻，物体的高度之比，
等于它们的影长之比.
练习1：
在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m.同时测得一栋高楼的影长为90m.这栋高楼的高度是多少
解：设高楼的高度为xm.
因为在同一时刻，物体
的高度之比等于它们的
影长之比.
则有 =
3x =90×1.8
x =54
答：楼的高度为54m.
竹竿影长
楼高
高楼影长
竹竿高
1.8m
3m
90m
练习2:
为了测量大树的高度，在同一时刻小明分别进行如下操作：（1）测得竹竿AB长为0.8m，其影长BC为1m；（2）测得大树落在地面上的影长DF为2.8m，落在墙上的影长EF高1.2m，求大树的高度GD是多少？
A
B
C
F
D
E
G
A
B
C
F
D
E
G
H
0.8
1
2.8
1.2
解：过点F作FH∥GE交GD于H.
根据同一时刻，物体的高度之比，
等于它们的影长之比.
∴
即
∴HD=2.24
而GH=EF=1.2
∴GD=GH+DH=1.2+2.24=3.44
答：大树的高度是3.34米.
估算河的宽度
应用二：
T
S
Q
P
R
a
b
例2、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ.
45m
90m
60m
T
S
Q
P
R
a
b
60m
90m
45m
⊿PQR∽⊿PST
=
90
60
？
？
PQ+QS
解：∵∠PQR=∠PST=90°， ∠P=∠P
∴⊿PQR∽⊿PST
∴ =
即 = ，
=
90PQ=60(PQ+45)
30PQ=270
PQ=90
答：河宽大约为90米.
T
S
Q
P
R
a
b
60m
90m
45m
B
C
D
E
A
在河对岸选定一个目标点A，
在近岸选点B和C，
使AB⊥BC，
再选点E，
使EC⊥BC，
确定BC与AE的交点D.
⊿ABD∽⊿ECD
练习3：
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，
求河宽AB.
解：∵∠B=∠C=90°，
∠ADB=∠CDE
∴⊿ABD∽⊿ECD
∴ =
即 = =2
∴AB=100
答：河宽AB为100m.
A
B
C
D
E
应用三：
盲区问题
例3、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树的根部的距离BD = 5 m.一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端C？
l
A
B
C
D
8m
12m
5m
1.6m
B
D
l
A
8m
12m
5m
1.6m
C
H
K
F
E
F
H
K
A
C
8－1.6
12－1.6
5
T
S
Q
P
R
a
b
60m
90m
45m
B
D
l
A
8m
12m
5m
1.6m
C
H
K
F
E
解：由题意可知，AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD，
⊿AFH∽⊿CFK
∴ =
即 = =
10.4FH=6.4(FH+5)
4FH=32
FH=8
答：略
如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别
为AB、PQ，并且AB∥PQ .建筑物的一端DE
所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N.
小亮从胜利街的A
处，沿着AB方向前进，
小明一直站在P点的位
置等候小亮.
练习4：
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时 的视线，以及此时小亮所在位置
（用点C标出）；
C
A
B
M
N
Q
E
D
P
建筑物
小亮
小明
胜利街
（2）已知MN=20m,
MD=8m,PN=24m，
求（1）中的C点到
胜利街街口的距离CM.
解：∵AB∥PQ，MN⊥AB
∴∠CMD=∠PND=90°
又∵∠CDM=∠PDN
∴⊿CDM∽⊿PDN
∴ =
∵MN=20，MD=8，∴DN=12
∴ =
∴CM= =16
答：C点到胜利街街口的距离为16m.
C
A
B
M
N
Q
E
D
P
建筑物
小亮
小明
胜利街
？
24
8
20
通过本节课的学习，你掌握了什么
在实际生活中，我们面对不能直接
测量物体的高度和宽度时，可以把它们
转化为数学问题，建立相似三角形模型，
再利用对应边的比相等来达到求解的目
的.
课外延伸：
怎样利用相似三角形的有关
知识测量旗杆的高度
D
E
B
C
A
D
E
B
C
A
E
B
C
A
D
F
作业：
56—57页，8—11题