第五章一元函数的导数及其应用 单元测试 2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2020-2021学年度人教A版（2019）选择性必修二单元测试
（一元函数的导数及其应用）
一、单选题
1．函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，若时，，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5．细杆AB的长为20
cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2
cm时，AM的质量为8
g，那么当AM＝x
cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为（
）
A．2x
B．3x
C．4x
D．5x
6．若，则的解集为　　
A．
B．
C．
D．
7．下列给出的四个命题中，正确的命题是（
）
①
若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；
②若函数f(x)＝2x2＋1的图像上的点(1，3)的邻近一点是，则；
③
瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；
④
曲线y＝x3在点(0，0)处没有切线．
A．①
②
B．②
③
C．①
②
③
D．②
③
④
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（
）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．对于函数，下列说法正确的是（
）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
10．已知函数，则下列结论正确的有（
）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上有2个零点
C．函数的图象关于对称
D．函数的最小值为
11．下列命题为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数的定义城为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下说法正确的是（
）
A．函数的图象关于对称
B．函数在区间上为单调递增函数
C．函数在处的切线的倾斜角大于
D．关于的不等式的解集为
三、填空题
13．已知f
(x)＝ln(3x－1)，则f
′（1）＝________.
14．已知函数，曲线在点处的切线方程为_______．
15．函数，若，则的最小值是___________.
16．已知函数，有下列命题：
①
函数的图像在点处的切线为；
②
函数有3个零点；
③
函数在处取得极大值；
④
函数的图像关于点对称
上述命题中，正确命题的序号是__________．
四、解答题
17．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）证明：.
18．已知函数，其中．
（1）求函数在处的切线方程；
（2），，求实数的取值范围．
19．已知函数在处有极值.
（1）求实数、的值；
（2）判断函数的单调区间，并求极值.
20．已知函数为常数）．
（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；
（2）讨论函数函数的单调性；
（3）当，时，求证：．
21．若函数在，上为增函数.
（Ⅰ）求正实数的取值范围.
（Ⅱ）若，求证：且
22．已知函数.
（1）若在时取得极值，求实数m的值；
（2）求的单调区间；
（3）证明：.
参考答案
1．A
【分析】
根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性
【详解】
解：由题意可知，求函数的单调减区间，
根据图象，解集为，
故选：A．
2．C
【分析】
求导，可求得在函数在点处切线的斜率，再利用该切线与直线垂直，即可求得的值.
【详解】
，
函数的图象在点处的切线与直线垂直，
切线的斜率，解得：
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：
（1）已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
（2）已知斜率k，求切点，即解方程.
3．B
【分析】
设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，，将问题转化为与，，存在两个不同的交点；通过导数研究的图象，从而得到所求范围.
【详解】
由题意得
设切点坐标为：，
则过原点的切线斜率：，
整理得：，
存在两条过原点的切线，，，存在两个不同解，
设，，则问题等价于与存在两个不同的交点
又
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
的大致图象如下：
若与存在两个不同的交点，则，
解得：
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据方程解的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数问题，通过导数研究曲线的图象，通过数形结合的方式来确定交点个数，从而得到参数范围.
4．B
【分析】
采用参数分离法，若，则在上恒成立，
然后令，利用导数求解函数的最大值，只需使在上成立即可.
【详解】
当，时，有在上恒成立，
令，则
令，则在上恒成立，
由，所以在上有一根，
设，即，
则在上成立，在上成立，
所以函数在上递增，在上递减，
故，
又由可得，即，则，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，难度较大，解答的一般方法如下：
（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，使最值符合相应的不等式，解得参数的取值范围；
（2）利用参数分离法，将原式转化，若恒成立，只需使成立；
若恒成立，只需使成立，然后利用导数分析函数的最值即可.
5．C
【分析】
利用实际问题中导数的意义求解即可
【详解】
当AM＝x
cm时，设AM的质量为f(x)＝kx2，因为f（2）＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，
故细杆线密度ρ(x)＝f′(x)＝4x.
故选：C.
6．C
【分析】
由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．
【详解】
解：由题，的定义域为，，
令，整理得，解得或，
结合函数的定义域知，的解集为．
故选：．
7．B
【分析】
利用导数的运算公式和导数的几何意义，即可判定，得到答案．
【详解】
①中，当x＝0时无意义，所以错误；
②中，所以正确；
③中瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数，是正确的；
④中y′＝(x3)′＝3x2，f′(0)＝0，有切线，所以错误；
所以正确命题的序号为：②③，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：该题主要考查了导数的运算公式和导数的几何意义的应用，其中熟记导数的基本运算公式和导数的几何意义是正确解题的关键.
8．D
【分析】
根据与的变化趋势结合导数的几何意义判断即可；
【详解】
解：不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；
当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；
从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
故选：D．
9．ACD
【分析】
对求导，利用导函数的符号判断的单调性即可得极值，可判断选项A；由的单调性以及函数值的符号可判断选项B；利用得单调性以及函数值与的关系可判断选项C；分离可得，计算的最大值可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：函数定义域为，，令可得，
令可得，所以在单调递增，在单调递减，
所以在时取得极大值，故选项A正确
对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；
对于选项C：显然，在单调递减，
可得，因为，
即，故选项C正确；
对于选项D：由题意知：在上恒成立，
令则
，因为
易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，
所以在上恒成立，则，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：利用导数研究函数的极值的步骤：
①写定义域，对函数求导；
②在定义域内，解不等式和得到单调性；
③利用单调性判断极值点，代入解析式即可得极值.
10．BC
【分析】
根据正弦函数的周期性可判断A错误；利用数形结合思想，画出和函数的图象，可判断在上有2个零点；验证恒成立，可判断出函数的图象关于对称；求导，判断函数的单调性及最值，判断D选项是否正确.
【详解】
对于A选项，函数，故为的一个周期，又的最小正周期为，的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故A错误；
对于B选项，令得，，在同一坐标系中作出函数和函数的图象可知，当时，两图象有两个交点，故B正确；
对于C选项，，
所以，故的图象关于点中心对称；
对于D选项，
，
当时，，得，得，；当时，，得，；
故函数在上递增，在上递减；又
所以当处取得最小值，
故，故D错误；
故选：BC.
【点睛】
本题考查三角函数图象性质的运用，考查利用导数分析函数的最值，难度较大，解答本题的主要思路如下：
①判断函数的零点个数问题时，可采用数形结合思想，将问题转化为两个函数图象的交点个数问题；
②若函数满足，则函数关于点中心对称；
③对于函数最值问题，可运用导数，分析清楚函数的单调区间是关键，然后得出的最值.
11．ABC
【分析】
构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性可判断各选项的正误.
【详解】
构造函数，该函数的定义域为，则，
当时，，递增，时，，递减，
所以，.
对于A选项，，则，即，，故A正确；
对于B选项，，，，，故B正确；
对于C选项，，，即，即，故C正确；
对于D选项，，，即，
所以，，即，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
12．BCD
【分析】
根据导函数的图象得到，即原函数是增函数可判断ABC；令，求判断在上单调性，利用单调性可解不等式可判断D.
【详解】
对于A，函数的导函数，则在上是单调递增函数，图象不关于对称，错误；
对于B，的图象都在x轴的上方，所以，所以函数在区间上为单调递增函数，正确；
对于C，的图象都在的上方，所以，设在处的切线的倾斜角为，则在处切线的斜率大于2，因为正切函数在的单调递增，所以倾斜角大于，正确；
对于D，因为，令，则，故在上单调递增，又因为，关于的不等式的解集为，正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了导函数图象与原函数单调性的关系，关键点是根据图象判断出原函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
13．
【分析】
直接利用复合函数的求导公式求导即可.
【详解】
，则，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】
求出函数在处的导数值，即切线斜率，再求出，即可由点斜式求出切线方程.
【详解】
，，
，即切线斜率为，
又，
切线方程为，即.
故答案为：.
15．
【分析】
由可得且，于是得到，设，即求函数的最小值，求出的导数得出其单调性，可得答案.
【详解】
由函数，若
即，则
，即
所以
设，则
由，可得，，可得
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为
所以的最小值
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数求最值，解答本题的关键是由条件得出，然后构造出函数，属于中档题.
16．①②④
【分析】
①求出导数，即为所求切线的斜率，再求出即可写出切线的方程；②判断函数的单调性，再利用零点存在定理进行判断；③由②所求单调性可判断函数的极值点；④令，证明函数为奇函数可知函数的图像关于原点对称，再通过平移证明函数的对称性.
【详解】
①，，且，
函数的图像在点处的切线为，①正确；
②令解得或，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，
在上各有一点使，即函数有3个零点，②正确；
③由②知函数在处取得极小值，③错误；
④令，因为，
所以函数为奇函数，则的图像关于原点对称，
将函数的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数，
所以函数的图像关于点对称，④正确.
17．（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据切线方程，可得，，对求导，根据导数的几何意义，可得表达式，将x=1代入，可得，即可求得，的值；
（2）将题干条件等价于，设，求导可得，设，可得的零点，即可得的单调区间和极值点，进而可得的最小值，化简整理，即可得证.
【详解】
（1）由切线方程可得，.
定义域为，.
所以，，解得，.
（2）等价于.
设，则.
设，
则函数在单调递增，
因为，，
所以存在唯一，使.
因为符号与符号相同，
所以当时，，
当时，.
故在单调递减，在单调递增.
所以当时，取得最小值，
由得，从而，
故.
所以.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握利用导数求切线方程、单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于需找到的零点，可得的极值点，进而求得的极小值，即为最小值，即可得证，考查计算化简，转化化归的思想，属中档题.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）求导数，得切线斜率，从而可得切线方程；
（2）时，不等式成立，主要讨论由时不等式成立得的范围，分离参数后用导数求函数的最值可得．
【详解】
（1）由题意，，又，
所以切线方程为，即；
（2）时，不等式为，对任意实数都成立；
时，不等式化为，令，
则，
由，令，，
所以即在上递增，，所以，
若，即，则在上恒成立，在上递增，
，不等式成立，
若，由上讨论知存在，使得，且当时，，递减，时，，递增，，
而，因此时，，不成立．
综上．
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查由不等式恒成立求参数范围．解题方法是构造新函数，求出，确定在上单调递增，，
根据的正负分类讨论后得出结论．注意此题若用分离参数得，引入新函数后在现有知识体系下求不出新函数的最小值或取值范围，从而不能得出结论．
19．（1），；（2）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值，无极大值.
【分析】
（1）由题设有，结合在处有极值，列方程组求、的值；
（2）由（1）得且的定义域为，即可确定的区间单调性，进而确定单调区间和极值.
【详解】
（1）由，知.
又∵在处有极值，则，即，
∴，.
（2）由（1）可知，定义域为，
∴.
令，则（舍去）或；当变化时，，的变化情况如表：
1
-
0
+
↘
极小值
↗
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是，且函数在定义域上有极小值，而无极大值.
【点睛】
关键点点睛：
（1）利用极值点处导数值为0，求参数值即可.
（2）写出函数的导函数，并讨论定义域上各区间的单调性，进而确定极值.
20．（1），；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）算出曲线在处的切线方程，然后与比较系数即可；
（2）分和讨论即可；
（3）构造函数，利用导数证明即可.
【详解】
（1），（1），（1），
曲线在处的切线方程为：
，
即：，
由题意：，，
，；
（2），
设，
当时，在上恒成立；
当时，令，即，解得，
令，即，解得．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，
在，上单调递减．
（3）证明：令，
则，令，
则，令得：
令得：，
在上单调递减，在上单调递增
，（1）（1），，
，
存在使，
且当或时，，
当，时，，
在上递增，在，上递减，在上递增，
又（1），所以有：，即，
．
【点睛】
证明不等式
或转化为证明或，进而构造辅助函数.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）求出函数导数，可得对，恒成立，即恒成立，即可求出；
（Ⅱ）由在，上为增函数可得，即可得出，再利用导数求出单调性，可得，即可证明.
【详解】
解：（Ⅰ）由已知：,
依题意得：对，恒成立，
对，恒成立,
即：
（Ⅱ），，
在，上为增函数，
时：
即：
设，
则对，恒成立，
在为减函数，
时：，
即：
综上所证：且成立.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数证明数列不等式，解题的关键是根据在，上为增函数得，再根据为减函数得.
22．（1）；（2）单调减区间为，单调增区间为；（3）证明见解析.
【分析】
(1)求出原函数的导函数，由题意得，求得值，代入原函数，验证在时取得极小值即可;
(2)求出原函数的导函数的零点,由导函数的零点对函数的定义域分段,再由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调性;
(3)由(2)可得原函数的最小值，利用基本不等式证明最小值大于即可证明.
【详解】
解：（1）由题意得，
因为在时取得极值，所以，解得，
当时，，因为，所以，
所以当时，，则在递减；
当时，，则在递增，所以在时取得极小值，
综上；
（2）因为，由，
解得舍去，，
所以在时，，故在单调递减；
在时，，故在单调递增，
所以的单调减区间为，的单调增区间为.
（3）法一：由，则，
由（2）知，存在唯一的，使得，
即，
设，
所以
所以
（3）法二：因为
又，所以，.
又由（2），
所以.
【点睛】
(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(2)
确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数的定义域；第二步，求；第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．