5.3.2利用导数研究函数的极值 同步训练B-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（含解析）

5.3.2利用导数研究函数的极值专项训练B
一．选择题（共8小题）
1．已知为常数，函数有两个极值点，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
2．函数的极大值与极小值分别为　　
A．极小值为0，极大值为 B．极大值为，无极小值
C．极小值为，极大值为0 D．极小值为，无极大值
3．已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极值点　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．已知函数在处的极小值为6，则数对为　　
A． B．
C． D．或
5．设，下列命题中正确的是________．
A．是极大值，（3）是极大值．
B．是极小值，（3）是极小值．
C．是极大值，（3）是极小值．
D．是极小值，（3）是极大值．
6．已知为函数的极小值点，则　　
A． B．3 C． D．9
7．已知实数，，若，，且，则的最小值为　　
A． B． C． D．
8．“”是“函数在上有极值”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共4小题）
9．已知函数定义域为，，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示．

0 2 4 5
1 2 0 2 1
下列关于函数的结论正确的有　　
A．函数的极大值点有2个
B．函数在上，是减函数
C．若，时，的最大值是2，则的最大值为4
D．当时，函数有4个零点
10．已知函数，下列说法正确的有　　
A． B．只有一个零点
C．有两个零点 D．有一个极大值点
11．已知函数，则　　
A．是奇函数
B．
C．在单调递增
D．在上存在一个极值点
12．已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．设函数在处取得极小值，则　　．
14．若是函数的极值点，则的极大值为　　．
15．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，
给出下列4个结论：
①；
②；
③（1）；
④函数在区间上是增函数，
其中，正确结论的序号是　　．
16．已知函数，则它的极小值为　　；若函数，对于任意的，，总存在，，使得，则实数的取值范围是　　．
四．解答题（共6小题）
17．已知函数只有一个零点．
求函数的解析式；
若函数在区间，上有极值点，求取值范围
是否存在两个不等正数，，当，时，函数的值域也是，，若存在，求出所有这样的正数，，若不存在，请说明理由．
18．设为实数，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）求在上的极大值与极小值．
19．已知函数（其中，．
（1）当时，若函数在，上单调递减，求的取值范围；
（2）当，时，
①求函数的极值；
②设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．
20．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的极值．
21．已知函数，，且与的图象有一条斜率为1的公切线为自然对数的底数）．
（1）求；
（2）设函数，证明：当时，有且仅有2个零点．
22．已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：，
因为有两个极值点，，
则有两个零点，，
令，，
则要使函数，的图象有两个不同的交点，
易知直线恒过定点，，
在同一直角坐标系中作出函数，的图象，如图，
当直线与函数相切时，设切点为，，
则，所以，．
素以当且仅当时，函数，的图象有两个不同的交点，
所以若要使函数由两个极值点，则，故，错误；
当时，由图象可得当，时，，函数单调递减，
且，
所以，故正确，错误．
故选：．
2．【解答】解：的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
故（1），无极小值，
故选：．
3．【解答】解：如图，不妨设导函数的零点分别为，，，．
由导函数的图象可知：
当时，，为增函数，
当，时，，为减函数，
当，时，，为增函数，
当，时，，为增函数，
当，时，，为减函数，
由此可知，函数在开区间内有两个极大值，一个极小值；
故选：．
4．【解答】解：由，得，
在处的极小值为6，（1）且（1），
且，
，或，，
经检验当，时，在处取不到极小值6，
，，数对为．
故选：．
5．【解答】解：，
或时，，单调递增，
，，单调递减，
所以为极大值，（3）为极小值，
故选：．
6．【解答】解：，
当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值．
故选：．
7．【解答】解：，，且，，．
．
则，
令，，解得．
当时，；当时，．
当时，取得极小值即最小值，．
故选：．
8．【解答】解：由，得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故函数存在唯一的极值点，
若函数在 上有极值，
则，即，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：由导数的正负性可知，原函数在单增，单减，所以正确；
函数在单增，单减，由图象可得极大值点由两个，所以正确；
当，，最大值是2，而最大值不是4，，，（2），（4），（5），
结合单调性，有4个零点．所以正确；不正确；
故选：．
10．【解答】解：函数 的定义域为，
令，解得； 令，解得，
所以函数 在区间上单调递增，在区间 上单调递减，
因此，无极小值，故选项正确；
因为，当，，
所以函数 在区间上存在唯一零点，
故选项错误， 选项正确；
根据函数 的单调性可知，
故选项错误．
故选：．
11．【解答】解：对于选项：函数，令，，
令，得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以的定义域为，
又，所以不是奇函数，故错误；
对于选项：因为，所以，，
所以，当时，，此时，所以不存在等于1的情况，
所以，故正确；
对于选项，
当时，，，，
所以在单调递增，故正确；
对于选项，
令，
，
令，
因为单调递减，
所以，
故在，上单调递减，
所以，
所以，故在，上单调递减，
所以，，
所以存在，使得，即，
所以在上单调递增，，上单调递减，
所以在，上存在一个极值点，故正确．
故选：．
12．【解答】解：，
在上单调递增，
是函数的极值点，
，且，
又，时，，
根据零点判定定理可知， ，
又，，
结合二次函数的性质可知，时，，
．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：，
即时，单调，不合题意，
时，，
在，递减，在，递增，
结合题意，解得：，或（舍，
或时，开口向下，有极大值，不合题意，
综上：，
故答案为：．
14．【解答】解：函数
可得
是函数的极值点
可得：，
即，
解得，
可得，
函数的极值点为：，，
当 或 时，；当 时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
于是当 时，函数取得极大值：．
故答案为：．
15．【解答】解：结合图象，在递增，在递减，在，递增，④错误，
，
在与处取得极值，
则，是方程的根，
显然，①正确，，②错误，
而，故，故（1），③错误，
故答案为：①．
16．【解答】解：（1）由，
得，
，，的变化如下表：

0

0

极小值
；
（2），，，，使得，即
，
当时，单调递增，，
，即；
当时，单调递减，（2），
故，即；
当时，，不符合题意，舍．
综上：；
故答案为：；．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：函数只有一个零点．
方程有两个相等的根3，
即，，
解得：．，
；
若函数在区间，上有极值点，
则在区间，上有变号零点，
即在区间，上有变号零点，
在区间，上恒成立，
故在区间，上为减函数，
故（2），
解得：；
函数，
，
令，则，
令，则，或，
故函数在，递增，在上递减，
又当时，函数值为0，
若存在两个不等正数，，当，时，函数的值域也是，，
则，是的两个大于3的根，
解得：，，，
故不存在正数，满足条件．
18．【解答】解：（1）当时，，
，
令，解得，或，
当时，即，或时，函数为增函数，
当时，即，函数为减函数，
在，上单调递增，在上单调递减；
（2），
令，解得或，
①当时，恒成立，
单调递增，函数无极值，
②当时，
当时，即，或时，函数为增函数，
当时，即，函数为减函数，
当时，函数有极大值，极大值为，
当时，函数有极小值，极大值为（a），
③当时，
当时，即，或时，函数为增函数，
当时，即，函数为减函数，
当时，函数有极小值，极小值为，
当时，函数有极大值，极大值为（a）．
19．【解答】解：（1）时，的导函数，
由题意知对任意有，即，
，即；
（2）时，的导函数，
①当时，有；，
函数在单调递增，单调递减，
函数在取得极大值，没有极小值．
当时，有；，
函数在单调递减，单调递增，
函数在取得极小值，没有极大值．
综上可知：当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值，
②设切点为，则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在，
当时，
令，得切线在轴上的截距为：
当时，，
当时，，
当切线在轴上的截距范围是．
20．【解答】解：（1）（1），所以切点为，
又，（1），
所以切线方程为：，即．
（2）函数的定义域为，
得，
当时，，递减；时，，递增．
所以函数在处取得极小值（1），无极大值．
21．【解答】（1），可得，，
在处的切线方程为，即．
，，，在处的切线方程为，即，
故，
可得．
（2）证明：由（1）可得，，
令，则，△，
时，有两根，且，
，得：，
在上，；在，上，，
此时，．
又时，，时，．
故在和，上，各有1个零点．
所以时，有2个零点．
22．【解答】解：（1），
令，得或，
，随变化情况如下表：
0 2

0
0

极大值
极小值
所以，当时，有极大值0，
当时，有极小值．
（2）令，
，由，得：或，
当时，即时
在上恒成立，
所以此时为最小值，
所以恒成立，即．
当，即时，
0 ， ，
0
0


极小值
所以当时，取得最小值，若要满足，则
，即，
解得，
所以，
综上所述，的取值范围是．