第五章一元函数的导数同步训练卷 (含答案)2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第五章一元函数的导数同步训练卷 (含答案)2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 857.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-17 21:50:27 | ||
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文档简介
人教版(2019)选择性必修第二册第五章
同步训练卷
一元函数的导数
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数在上可导，则等于（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
2．曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点
C．在处取得极值点 D．在处取得极值点
4．设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知且，且，，
则（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实根，则取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（ ）
A．若，则
B．存在，，使得
C．若，，则
D．对任意的，，都有
10．已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（ ）
A． B． C．0 D．1
11．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（ ）
A．若方程有两个不同的实数根，则
B．若方程恰好只有一个实数根，则
C．若，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
12．定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）
A．函数是函数的一个承托函数
B．函数是函数的一个承托函数
C．若函数是函数的一个承托函数，则a的取值范围是
D．值域是R的函数不存在承托函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若函数在上有零点，则实数的取值范围为______．
14．已知函数在的值域为，则实数的取值范围为________．
15．若≤对于恒成立，当时，的最小值为____；
当时，的最小值是________．
16．已知定义在R上的可导函数满足：，，则不等式的解集为________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
18．（12分）已知函数在处取得极值7．
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
19．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若有3个零点，求实数的取值范围．
20．（12分）已知函数，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）若在单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且只有一个极值点，求实数的取值范围，并证明：．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，证明：．
人教版(2019)选择性必修第二册第五章
同步训练卷
答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】根据导数的定义，，
所以，故选C．
2．【答案】C
【解析】由直线经过，，可求出直线方程为，
∵在处的切线，∴，，
∴，故选C．
3．【答案】C
【解析】由题意，，
∴若，即或．
令，则，
∴当时，；当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，而，故在上存在一个零点．
∴在R上至少存在两个极值点，分别为、，
故选C．
4．【答案】C
【解析】的定义域为，，
∵函数的图象在点处的切线方程为，
∴，解得，
∴，
欲求的增区间，只需，解得，
即函数的增区间为，故选C．
5．【答案】B
【解析】由题意可得恒成立，
所以函数在上递增，
又，
所以函数是奇函数，
当，即，
所以，解得．
当时，则，显然不成立；
反之，当，则，成立，
所以是的必要不充分条件，故选B．
6．【答案】A
【解析】设，则，
令，解得；令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，
因为，所以，
因为，，
所以，，，
结合函数的单调性易知，即，
因为，所以，，故选A．
7．【答案】B
【解析】由题设有，化简可得，
即，
整理得到，同理，不妨设，
令，
因为当时，均为增函数，故为增函数，
同理当时，故为增函数，
故分别为在、上的唯一解，
又，，故，
故为在的解，故，即，
所以，故选B．
8．【答案】C
【解析】因为，
所以，
当时，，则为增函数；
当时，，则为减函数，
所以的极大值为，
设，则关于x的方程可化为，
设关于t的方程有两个实数根，，
则关于的方程恰好有4个不相等的实根等价为：
函数的图象与，的交点个数为4，
函数的图象与，的图象如下所示：
所以关于t的方程有两个实数根，
设，则有，解得，
故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】BCD
【解析】由可得，
如图：对于选项A：表示曲线在点处的切线斜率小于割线的斜率，
所以，故选项A不正确；
对于选项B：在点处的切线斜率小于割线的斜率，在点处的切线斜率大于割线的斜率，
所以在曲线上必存在某点，使得该点处的切线斜率等于割线的斜率，
所以存在，使得；故选项B正确；
对于选项C：，由图知割线的斜率，小于在点处的切线的斜率，所以，故选项C正确；
对于选项D：由图知梯形中位线的长为，的长为，
因为，所以，故选项D正确，
故选BCD．
10．【答案】BCD
【解析】，时，或，
当或时，；当时，，
所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，
所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，
那么当，解得或，
所以函数在区间上存在最小值，则，解得，
故选BCD．
11．【答案】ACD
【解析】对于A，的定义域，，
令，有，即，
可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，
，且当时，，
又，从而要使得方程有两个不同的实根，
即与有两个不同的交点，所以，故A正确；
对于B，易知不是该方程的根，
当时，，方程有且只有一个实数根，
等价于和只有一个交点，
，
又且，
令，即，有，
知在和单减，在上单增，
是一条渐近线，极小值为，
由大致图象可知或，故B错误；
对于C，当时，恒成立，
等价于恒成立，
即函数在上为增函数，
即恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，得，有，
从而在上单调递增，在上单调递减，
则，于是，故C正确；
对于D，有两个不同极值点，
等价于有两个不同的正根，
即方程有两个不同的正根，
由C可知，，即，则D正确，
故选ACD．
12．【答案】BC
【解析】对A，∵当时，，
∴对一切实数x不一定都成立，故A错误；
对B，令，则恒成立，
∴函数是函数的一个承托函数，故B正确；
对C，令，则，
若，由题意知，结论成立；
若，令，得，
∴函数在上为减函数，在上为增函数，
∴当时，函数取得极小值，也是最小值，为，
∵是函数的一个承托函数，
∴，即，∴；
若，当时，，故不成立，
综上，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确；
对D，不妨令，，则恒成立，
故是的一个承托函数，故D错误，
故选BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由，则，
令，
因为，在上都递减，
所以在上是单调递减函数，且，
可得，故答案为．
14．【答案】
【解析】由解析式知，
∴在、上，，即单调递增；
在上，，即单调递减，
∴有极大值，极小值，
由题意知，，即有，解得，
故答案为．
15．【答案】1，
【解析】时，，
令，则，
令，解得．
且当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，∴，故的最小值为，
的图象如下所示：
当时，令，可得，
故取得最小值，直线在轴的截距最大，
又，结合图象可知：
令，可得，则，
故．
故答案为1，．
16．【答案】
【解析】不等式，等价为，
设，则函数的导数，
∵，∴，即函数在定义域上为减函数，
∵，∴等价为，则，
即不等式（为自然对数的底数）的解集是，
故答案为．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）与．
【解析】（1）由题意可知，则在处的切线斜率，
则在点处的切线方程为，即切线方程为．
（2）因为，所以设切点为，斜率为，
则所求切线方程为①
因为切线过点，所以有，
解得或，
代入①化简可得切线方程为或．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
又函数在处取得极值7，
，解得，
所以，
由，得或；由，得，满足题意．
（2）又，
由（1）得在上单调递增，在上单调递减，
因此．
19．【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1），
由，得，．
当时，即时，
，解得；，解得或，
所以的递增区间为，单调递减区间为，；
当时，即时，，此时的递减区间为；
当时，即时，，解得；
，解得或，
此时的递增区间为，递减区间为，．
（2）由，得，即，
显然是方程的一个解，即为的一个零点，
当时，由，得．
令，则，
所以当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，且最大值为，
当时，在上单调递减，且，随着的无限增大，无限趋向0；
当时，在上单调递增，且；
当时，在上递增，，当趋向负无穷大时，也趋向负无穷大，
所以的大致图象如图所示：
所以当，且，即且时，方程有两个实根，
且一个实根在区间内，一个实根在区间内，
综上，有3个零点时，实数的取值范围为．
20．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，
则，
由题意，得当时，，递增；
当时，令，递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）对任意，函数恒成立，
即不等式对于恒成立，
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，有最小值，从而的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）的取值范围为，证明见解析．
【解析】（1）()，
在单调递增，∴在恒成立，
∴在恒成立，∴．
（2）设，，
①当时，令，得，
，，单调递增；
，，单调递减，
若，恒成立，无极值；
若，，而，，此时有两个极值点，
故不符合题意；
②当时，，，单减；
，，单增，
所以有唯一极小值点，；
③当时，恒成立，单增；
取满足且时，，而，
此时由零点存在定理知：有唯一的零点，只有一个极值点，且，
由题知，
又，∴，
∴，
设，，
当，，单调递减，
∴，∴成立，
综上，只有一个极值点时，的取值范围为，且．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，
．
设，所以，
所以函数在上单调递增．
又，列表如下：
x
1
- 0 +
极小值
所以当时，函数取得最小值为．
因为，即，所以，
所以a的取值范围是．
（2）不妨设．
由（1）可得，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，．
因为，
所以
，
设函数，则，
函数在上单调递增，
所以，
所以，即，
又函数在上单调递减，
所以，所以．
同步训练卷
一元函数的导数
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数在上可导，则等于（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
2．曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点
C．在处取得极值点 D．在处取得极值点
4．设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知且，且，，
则（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实根，则取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（ ）
A．若，则
B．存在，，使得
C．若，，则
D．对任意的，，都有
10．已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（ ）
A． B． C．0 D．1
11．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（ ）
A．若方程有两个不同的实数根，则
B．若方程恰好只有一个实数根，则
C．若，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
12．定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）
A．函数是函数的一个承托函数
B．函数是函数的一个承托函数
C．若函数是函数的一个承托函数，则a的取值范围是
D．值域是R的函数不存在承托函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若函数在上有零点，则实数的取值范围为______．
14．已知函数在的值域为，则实数的取值范围为________．
15．若≤对于恒成立，当时，的最小值为____；
当时，的最小值是________．
16．已知定义在R上的可导函数满足：，，则不等式的解集为________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
18．（12分）已知函数在处取得极值7．
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
19．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若有3个零点，求实数的取值范围．
20．（12分）已知函数，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）若在单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且只有一个极值点，求实数的取值范围，并证明：．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个零点，证明：．
人教版(2019)选择性必修第二册第五章
同步训练卷
答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】根据导数的定义，，
所以，故选C．
2．【答案】C
【解析】由直线经过，，可求出直线方程为，
∵在处的切线，∴，，
∴，故选C．
3．【答案】C
【解析】由题意，，
∴若，即或．
令，则，
∴当时，；当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，而，故在上存在一个零点．
∴在R上至少存在两个极值点，分别为、，
故选C．
4．【答案】C
【解析】的定义域为，，
∵函数的图象在点处的切线方程为，
∴，解得，
∴，
欲求的增区间，只需，解得，
即函数的增区间为，故选C．
5．【答案】B
【解析】由题意可得恒成立，
所以函数在上递增，
又，
所以函数是奇函数，
当，即，
所以，解得．
当时，则，显然不成立；
反之，当，则，成立，
所以是的必要不充分条件，故选B．
6．【答案】A
【解析】设，则，
令，解得；令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，
因为，所以，
因为，，
所以，，，
结合函数的单调性易知，即，
因为，所以，，故选A．
7．【答案】B
【解析】由题设有，化简可得，
即，
整理得到，同理，不妨设，
令，
因为当时，均为增函数，故为增函数，
同理当时，故为增函数，
故分别为在、上的唯一解，
又，，故，
故为在的解，故，即，
所以，故选B．
8．【答案】C
【解析】因为，
所以，
当时，，则为增函数；
当时，，则为减函数，
所以的极大值为，
设，则关于x的方程可化为，
设关于t的方程有两个实数根，，
则关于的方程恰好有4个不相等的实根等价为：
函数的图象与，的交点个数为4，
函数的图象与，的图象如下所示：
所以关于t的方程有两个实数根，
设，则有，解得，
故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】BCD
【解析】由可得，
如图：对于选项A：表示曲线在点处的切线斜率小于割线的斜率，
所以，故选项A不正确；
对于选项B：在点处的切线斜率小于割线的斜率，在点处的切线斜率大于割线的斜率，
所以在曲线上必存在某点，使得该点处的切线斜率等于割线的斜率，
所以存在，使得；故选项B正确；
对于选项C：，由图知割线的斜率，小于在点处的切线的斜率，所以，故选项C正确；
对于选项D：由图知梯形中位线的长为，的长为，
因为，所以，故选项D正确，
故选BCD．
10．【答案】BCD
【解析】，时，或，
当或时，；当时，，
所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，
所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，
那么当，解得或，
所以函数在区间上存在最小值，则，解得，
故选BCD．
11．【答案】ACD
【解析】对于A，的定义域，，
令，有，即，
可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，
，且当时，，
又，从而要使得方程有两个不同的实根，
即与有两个不同的交点，所以，故A正确；
对于B，易知不是该方程的根，
当时，，方程有且只有一个实数根，
等价于和只有一个交点，
，
又且，
令，即，有，
知在和单减，在上单增，
是一条渐近线，极小值为，
由大致图象可知或，故B错误；
对于C，当时，恒成立，
等价于恒成立，
即函数在上为增函数，
即恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，得，有，
从而在上单调递增，在上单调递减，
则，于是，故C正确；
对于D，有两个不同极值点，
等价于有两个不同的正根，
即方程有两个不同的正根，
由C可知，，即，则D正确，
故选ACD．
12．【答案】BC
【解析】对A，∵当时，，
∴对一切实数x不一定都成立，故A错误；
对B，令，则恒成立，
∴函数是函数的一个承托函数，故B正确；
对C，令，则，
若，由题意知，结论成立；
若，令，得，
∴函数在上为减函数，在上为增函数，
∴当时，函数取得极小值，也是最小值，为，
∵是函数的一个承托函数，
∴，即，∴；
若，当时，，故不成立，
综上，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确；
对D，不妨令，，则恒成立，
故是的一个承托函数，故D错误，
故选BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由，则，
令，
因为，在上都递减，
所以在上是单调递减函数，且，
可得，故答案为．
14．【答案】
【解析】由解析式知，
∴在、上，，即单调递增；
在上，，即单调递减，
∴有极大值，极小值，
由题意知，，即有，解得，
故答案为．
15．【答案】1，
【解析】时，，
令，则，
令，解得．
且当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，∴，故的最小值为，
的图象如下所示：
当时，令，可得，
故取得最小值，直线在轴的截距最大，
又，结合图象可知：
令，可得，则，
故．
故答案为1，．
16．【答案】
【解析】不等式，等价为，
设，则函数的导数，
∵，∴，即函数在定义域上为减函数，
∵，∴等价为，则，
即不等式（为自然对数的底数）的解集是，
故答案为．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）与．
【解析】（1）由题意可知，则在处的切线斜率，
则在点处的切线方程为，即切线方程为．
（2）因为，所以设切点为，斜率为，
则所求切线方程为①
因为切线过点，所以有，
解得或，
代入①化简可得切线方程为或．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
又函数在处取得极值7，
，解得，
所以，
由，得或；由，得，满足题意．
（2）又，
由（1）得在上单调递增，在上单调递减，
因此．
19．【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1），
由，得，．
当时，即时，
，解得；，解得或，
所以的递增区间为，单调递减区间为，；
当时，即时，，此时的递减区间为；
当时，即时，，解得；
，解得或，
此时的递增区间为，递减区间为，．
（2）由，得，即，
显然是方程的一个解，即为的一个零点，
当时，由，得．
令，则，
所以当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，且最大值为，
当时，在上单调递减，且，随着的无限增大，无限趋向0；
当时，在上单调递增，且；
当时，在上递增，，当趋向负无穷大时，也趋向负无穷大，
所以的大致图象如图所示：
所以当，且，即且时，方程有两个实根，
且一个实根在区间内，一个实根在区间内，
综上，有3个零点时，实数的取值范围为．
20．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，
则，
由题意，得当时，，递增；
当时，令，递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）对任意，函数恒成立，
即不等式对于恒成立，
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，有最小值，从而的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）的取值范围为，证明见解析．
【解析】（1）()，
在单调递增，∴在恒成立，
∴在恒成立，∴．
（2）设，，
①当时，令，得，
，，单调递增；
，，单调递减，
若，恒成立，无极值；
若，，而，，此时有两个极值点，
故不符合题意；
②当时，，，单减；
，，单增，
所以有唯一极小值点，；
③当时，恒成立，单增；
取满足且时，，而，
此时由零点存在定理知：有唯一的零点，只有一个极值点，且，
由题知，
又，∴，
∴，
设，，
当，，单调递减，
∴，∴成立，
综上，只有一个极值点时，的取值范围为，且．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，
．
设，所以，
所以函数在上单调递增．
又，列表如下：
x
1
- 0 +
极小值
所以当时，函数取得最小值为．
因为，即，所以，
所以a的取值范围是．
（2）不妨设．
由（1）可得，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，．
因为，
所以
，
设函数，则，
函数在上单调递增，
所以，
所以，即，
又函数在上单调递减，
所以，所以．