5.3.3利用导数研究函数的最值 同步训练B-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（含解析）

5.3.3利用导数研究函数的最值专项训练B
一．选择题（共8小题）
1．函数在区间，上的最大值是　　
A． B． C．12 D．9
2．已知函数，，其中，若，，，，使得成立，则　　
A． B． C． D．
3．函数恒成立的一个充分不必要条件是　　
A． B．， C．， D．，
4．若函数，则当，时，的最大值为　　
A． B． C． D．
5．已知函数，若，时，在处取得最大值，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
6．若函数，，表示的曲线过原点，且在处的切线的斜率为，有以下命题：
（1）的解析式为：，，
（2）的极值点有且仅有一个
（3）的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．函数，若与有相同值域，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．，
8．已知函数，若对任意，使，则的最大值为　　
A．0 B． C．1 D．
二．多选题（共4小题）
9．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则　　
A．在上是增函数 B．的最大值为
C．在，上有3个零点 D．在，上有3个极值点
10．已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数的可能值为　　
A． B． C． D．
11．设，，的最大值为，则　　
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
12．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，为自然对数的底数），则　　
A．在内单调递减
B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为
C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是，
D．和之间存在唯一的“隔离直线”，方程为
三．填空题（共4小题）
13．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为　　．
14．某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是　　．
15．已知，，对于，时都有恒成立，则的取值范围为　　．
16．设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是　　．
四．解答题（共6小题）
17．设函数，为实数），
（1）当，求函数的最小值；
（2）在时，若方程有三个不同实数根，求实数的范围．
18．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；
（2）令，设，若对任意，，当，，时，都有，求实数的取值范围．
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对任意，恒成立，求实数的最大值．
20．已知函数，其中．
（Ⅰ）若曲线在点，（2）处的切线的斜率为1，求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，．
21．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：在上恒成立．
22．已知函数在区间上有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：，
当时，，递增；
当时，，递减；
时取得极大值，也即最大值，
（4），
故选：．
2．【解答】解：由，
得，
令，
所以，
而，
令，得，
所以，，，，
所以 在 上单调递减，在上单调递增，
而，且（2）（3），
所以 在，上的值域为，
又，令，得，
所以，，，，
所以 在 上单调递增，在上单调递减，
而，且（2）（3），
所以 在，上的值域为，
因为，，，所以 的值域为 的值域的子集，
所以，
故选：．
3．【解答】解：函数的定义域为，依题意，在上恒成立，
设，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，
故使得函数恒成立的一个充分不必要条件是．
故选：．
4．【解答】解：，
当时，，是增函数；当时，，是减函数，
最大值为，
故选：．
5．【解答】，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
的函数图象如图所示，
，
当 时，
， 在上单调递增，不成立，
当 时， 在，上单调递减，成立，
当 时 有两个根，，
当时，，
当时，，
当时，，
在，，， 上单调递增，在，上单调递减，显然不成立．
综上，．
故选：．
6．【解答】解：函数的图象过原点，可得；
又，且在处的切线斜率均为，
则有，解得，．
所以，．
（1）可见，因此（1）正确；
（2）令，得．因此（2）不正确；
所以在，内递减，
（3）的极大值为，极小值为，两端点处（2），
所以的最大值为，最小值为，则，因此（3）正确．
故选：．
7．【解答】解：函数的定义域为，
，
令，
则，
设，
则，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以，所以，
所以，
所以在上为增函数，
即（1），
所以函数在上单调递增，
当时，（1），
所以函数的值域为，，
所以要使与的值域相同，则必有的值域为，包含，，
所以，解得，
故选：．
8．【解答】解：令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，
故，即，
，
当时取“”，所以的最小值为0，
所以，所以的最大值为0，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：当，时，，
由，得或（舍，或；
由，得，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在，上有2个极值点，故错误．
为函数的极大值点，为函数的极小值点，
且，
，故正确．
由，得，
或，当，时，，，，
则在，上有3个零点，故正确．
故选：．
10．【解答】解：令，则，
易得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最小值（1），
故，
结合选项可知，符合．
故选：．
11．【解答】解：对于：当时，，
，，，
故在，递增，
故，
故正确；
对于时，，
，令，，，
则，在，递减，
而，故，在，递减，
故，故正确；
对于时，，
则，令，，，
则，
故在，递减，而，在，递减，
而，即，在，递减，
故，故错误；
对于时，，
则，令，，，
则，
故在，递减，而，在，递减，
而，即，在，递减，
故，故错误；
故选：．
12．【解答】解：对于，，，
所以，故在，内单调递增，故错误；
对于，，设、的隔离直线为，
则对恒成立，即对恒成立，
所以△，所以，
又对恒成立，即对恒成立，
因为，所以且△，
所以且，，解得，同理，
所以的最小值是，的取值范围是，，故正确，错误；
对于，函数和的图象有公共点，，
若存在和的隔离直线，则该直线过点，，
设隔离直线的斜率为，则其方程为，即，
由，得对恒成立，则△，解得，
此时隔离直线的方程为：．
下面证明：，
令，定义域为，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值为，这也是最小值．
所以在上恒成立，即．
所以函数和存在唯一的隔离直线，即正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：因为，所以，
令，得，，
所以当时，；当或时，，
从而在处取得极大值（a），
令，得，解得或，
因为在上有最大值，所以，
所以，
即实数的取值范围为，．
故答案为：，．
14．【解答】解：，即，
令，，
函数在有零点，设为，
则，则，则，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
而（1），（4），故，
故，
，，故，
故的取值范围是，，
故答案为：，．
15．【解答】解：由题意，要使对于，时都有恒成立，
只需时恒成立，
令，，
则，易知，
而，当时，，递增；当时，，递减．
结合，
时，，递增；时，递减．
故．
所以要使原式恒成立，只需．
故答案为：．
16．【解答】解：当时，，单调递增，存在无数个整数，使得，不符合题意；
当时，由于，所以，
，，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值也是最大值为，且时，，时，，
所以作出函数和的大致图象，如图，
过点的直线介于，之间时满足条件，
直线过点时，的值为2，直线过点，（2）时，的值为，
由图可知，的取值范围是，．
故答案为：，．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）当时，,
,
所以当时，,单调递减，
当时，,单调递增，
所以．
当时，有三个不同的实数根，
则有三个不同的实数根，
因为,
所以是一个实数根，
当时，,
令,
所以,
令,得,
当时，,单调递增，
当时，,单调递增，
当时，,单调递减，
,,
时，,
所以或，
故的取值范围为,,．
18．【解答】解：（1）因为，且是奇函数，
所以（1），
所以，解得，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明：任取，，且，
则，
因为，，且，
所以，，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
任取，，且，
则，
因为，，且，
所以，，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）可得，
不妨令，则
，
即函数在，上为减函数，
所以，，
因为当，，，满足，
故只需，
即，对任意，成立，
因为，所以函数在，上单调递增，
时，有最小值，，
由，得，
故的取值范围为，．
19．【解答】解：（1）
当时，，，
所以在上单调递增；
当时，，，
所以在上单调递增；
，，
所以在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）任意，，即恒成立，
即恒成立；
令，
则任意，，
因为存在正实数，满足：，且，
所以，所以．
下证：当时成立：
即证：，
因为，，
所以：显然成立；
所以实数的最大值为2．
20．【解答】（Ⅰ）解：根据条件，
则当时，（2），解得；
（Ⅱ）解：函数的定义域是，
，
①时，，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
②时，令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在，递减，在递增，
③时，，在递增，
④时，令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在，递增；
综上：时，在递减，在递增，
时，在递增，在，递减，在递增，
时，在递增，
时，在递增，在递减，在，递增；
（Ⅲ）证明：因为，
又因为导函数在上存在零点，
所以在上有解，则有，即，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
设，，
则，
则，所以在上单调递减，
所以在上单调递减，
则（2），
所以，
则根据不等式的传递性可得，当时，．
21．【解答】解：（1）依题意，，，
则△，
若，则△，则，在上单调递增；
若，令，则，
时，，
当时，，当时，，
当时，，
时，，，
当，时，，当时，，
综上：①时，在上单调递增；
②时，在和上单调递增；
在上单调递减；
③时，在，上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：要证，
即证：，
即证：，
即证：，
令，则，
所以在上单调递增，又（1），
所以当时，；当时，，
所以，即．
22．【解答】解：（1）由，得：，
设，，
即直线与曲线在上有2个交点，
又，
当时，，单调递减，
时，，单调递增，
故（1），
而（2），当时，，，
故；
（2）证明：，由，得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
，为的两个零点，不妨设，则，
且，取对数，
原不等式等价于，
等价于，
等价于，
即证，
，
故，
故，
即证，
即，
即，，，
设，
，易知，
故，在单调递增，
故（1），
故，
故．