2020-2021学年九年级下册数学北师大新版《第3章 圆》单元测试题（word版含解析）

2020-2021学年九年级下册数学北师大新版《第3章
圆》单元测试题
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．优弧一定大于劣弧
C．直径是圆中最长的弦
D．不同的圆中不可能有相等的弦
2．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升1dm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（　　）
A．6dm
B．8dm
C．10dm
D．12dm
3．如图所示，AB是直径，点E是弧AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（　　）
A．45°
B．30°
C．15°
D．10
4．如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（　　）
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
5．如图，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为（　　）
A．
B．8
C．10
D．6
6．在平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形、直角梯形中，必定存在外接圆的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，△ABD的内切⊙O的半径为R，另有一个⊙O1与AB，BD，⊙O都相切，其半径为r1，则⊙O与⊙O1的面积之比为（　　）
A．1：9
B．9：1
C．8：1
D．与R，r1的取值有关
8．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
9．圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（　　）
A．2πa
B．
C．
D．以上都不对
10．已知⊙O半径为5，OP＝8，点Q在⊙O上运动，设PQ的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．5
B．10
C．12
D．8
二．填空题
11．圆内接正五边形中，每个外角的度数＝　
　度．
12．如图，已知半圆O的直径为AB，半径长为，点C在AB上，OC＝，CD⊥AB，CD交半圆O于D，那么与半圆相切，且与BC，CD相切的圆O'的半径长是　
　．
13．已知，⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离为d：①若a与⊙O相切，则d＝　
　cm；②若d＝4cm，则a与⊙O有　
　个交点；③若d＝6cm，则a与⊙O的位置关系是　
　．
14．如图，AB是⊙O的直径，若∠C＝58°，则∠D＝　
　．
15．如图所示，AB、CD是⊙O的直径，⊙O的半径为R，AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作弧CED，则弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积为　
　．
16．如图：⊙O内切于弓形ADB的最大的圆，且弧ADB的度数为120°，则⊙O的周长与弧AB的长的比是　
　．
17．如图，△ABC的内切圆⊙O分别切AB，AC，BC于F，E，D，若∠A＝70°，则∠BOC＝　
　度，∠EDF＝　
　度．
18．在△ABC中，∠A＝62°，点I是外接圆圆心，则∠BIC＝　
　度．
19．点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝4，在过P点的所有⊙O的弦中，最短弦的长为　
　．
20．在⊙O中，有两条弦AB和CD，如果＝2，那么弦AB和2CD的大小关系为AB　
　2CD．
三．解答题
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于D，AC＝8cm，求OD的长．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当BC＝CE＝2时，求DE的长度．
23．如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE．
（1）请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．
（2）当AD：DB＝9：16时，DE＝8cm时，求⊙O的半径R．
24．如图，AB是⊙O的直径．
（1）若OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？
（2）把（1）中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．
25．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．
26．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．
27．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝2cm，∠ACB＝30°．
（1）求∠AOB的度数，以及弦AB的弦心距；
（2）直接写出弓形AMB的面积．
28．某公司计划砌一个形状如图1所示的喷水池，经人建议人为如图2所示的形状，且外圆的半径不变，只是担心原来准备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需要的材料多？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、长度相等的两条弧不一定能重合，由等弧的概念可知，A错误．
B、必须在同圆或等圆中，优弧才大于劣弧，故B错误．
C、直径是过圆心的弦，也是圆内最长的弦，故C正确．
D、弦是连接圆上两点的线段，不同的圆中，可能有相等的弦，故D错误．
故选：C．
2．解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，
在Rt△OCE和△OAF中，
根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，
∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，
＝+1，
两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，
＝3，
两边平方得，r2﹣16＝9，
r2＝25，
解得：r＝5，
则圆柱形油槽直径MN为10dm．
故选：C．
3．解：设CD与OE交于P，则连接OC，∵CD∥AB且平分OE，∴OP＝?OC，
∴sin∠PCO＝，
∴∠PCO＝30°，
又∵CD∥AB，∴∠COA＝∠PCO＝30°，
∴∠BAD＝∠BOD＝15°．
故选：C．
4．解：C＝π×8＝8π，
2C＝16π，
2006π＝16π×125+6π，
所以停止在D点．
故选：A．
5．解：CD垂直AB于E，如图，则AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝3，
∴CE＝OE+OC＝3+5＝8，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝4．
故选：A．
6．解：根据圆内接多边形的性质可得：矩形，正方形与等腰梯形必定存在外接圆．故选C．
7．解：∵R+r1＝2（R﹣r1），即R＝3r1，
∴⊙O与⊙O1的面积之比为9：1．
故选：B．
8．解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，
故选：A．
9．解：∵圆内接正方形的面积为a，
则正方形的边长为，正方形的外接圆的半径为，
∴圆的面积为．
故选：B．
10．解：如图，m＝PQ1＝OP+OQ，n＝PQ2＝OP﹣OQ，
∴m﹣n＝OP+OQ﹣（OP﹣OQ）＝2OQ＝10，
故选：B．
二．填空题
11．解：360°÷5＝72°．
故答案为：72．
12．解:设⊙O'与半圆、BC、CD相切的切点分别为E、F、M，连接O'M,O'F,连接OO'并延长经过切点E,
则OO'＝OE﹣O'E,O'M＝O'F,
∵⊙O'与BC,CD相切,
∴O'F⊥OB,O'M⊥CD,
∴∠O'FA＝90°,∠O'MC＝90°,
∵CD⊥AB,
∴∠MCF＝90°,
∴四边形O'MCF为正方形,
∴O'M＝FC,
设O'F＝x,则OF＝x+,
∵O'F2+OF2＝OO'2,
∴,
解得x1＝2,x2＝﹣18(舍去),
∴圆O'的半径长为2．
故答案为:2．
13．解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径r＝5cm．
①∵直线和圆相切，
∴d＝r，则d＝5cm；
②∵d＝4cm＜r＝5cm，
∴直线和圆相交，
∴直线与圆有两个公共点；
③∵d＝6cm＞r＝5cm，
∴直线a和⊙O相离．
14．解：连接OE，
∵∠C＝58°，
∴∠AOE＝2∠C＝116°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝64°，
∴∠D＝∠BOE＝32°．
故答案为：32°．
15．解：∵DC为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠COB＝90°，
∴BC＝BD＝＝＝R，
∴弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S＝S△CBD+S圆O﹣S扇形CBD＝R×R+R2﹣＝R2，
故答案为：R2．
16．解：如图，确定弓形的圆心P，连接PB、PD，根据题意可知CD是⊙O的直径，PB，PD是⊙P的半径．
∵⊙O内切于弓形ADB的最大的圆，且弧ADB的度数为120°
∴PD⊥AB，∠BPD＝60°
设PB＝1，则PC＝CD＝
⊙O的周长是π，
弧AB的长是π，
∴⊙O的周长与弧AB的长的比是π：π＝3：4，即．
17．解：∵O是△ABC的内心，
∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣70°）＝55°；
∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°．
∵CA、CB分别切⊙O于E、D，
∴CE＝CD；又OC平分∠BCA，
∴OC⊥DE；
同理可得：OB⊥DF；
∴∠FDE＝180°﹣∠BOC＝55°．
18．解：∠BIC＝2∠A＝124°．
19．解：如图，∵OP⊥AB，OP＝4，OB＝5，
∴PB＝＝3，
∴AB＝2PB＝6．
故答案为：6．
20．解：如图，取的中点E，连接AE，BE，
∵在⊙O中，＝2，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴AB＜2CD．
故答案为：＜．
三．解答题
21．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∵OA＝OB，
∴CD＝BD，
即OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AC＝×8＝4（cm）．
22．（1）证明：∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝2，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴OD＝，
∵AE＝CE，OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝1，
∴DE＝﹣1．
23．解：（1）DE是⊙O的切线，
证明：连接OE，OD；
在Rt△CDB，E为BC边的中点，
∴CE＝DE．
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌Rt△ODC（SSS）．
∴∠ODC＝∠OCE＝90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵E为BC的中点，
∴BC＝2DE＝16（cm），
∵∠BDC＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BD?AB，
设AD＝9xcm（x＞0），BD＝16xcm，
∴162＝25x?16x，
∴x＝（负值舍去）．
∴AB＝20，AC＝12．
∴⊙O的半径R＝6（cm）．
24．解：（1）．
证明：延长DO交⊙O于E，
∵AC∥OD
∴
∵∠1＝∠2
∴
∴；
（2）仍成立．
证明：延长DO交⊙O于点E，连接AD，
∵，
∴
∴∠3＝∠D
∴AC∥OD．
25．解：连接OA．
∵OA＝OD＝0.5米，AC＝AB＝0.3米
∴OC2＝OA2﹣AC2
∴OC＝＝0.4米
∴CD＝OD﹣OC＝0.5﹣0.4＝0.1米
故油的最大深度是0.1米．
26．解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝6，即R＝6，
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB，
∴AG＝AB＝×6＝3，
∴在Rt△AOG中，r6＝OG＝＝3cm，
∴S6＝×6×6×3＝54cm2．
27．解：（1）过O作OD⊥AB于D，
∵∠ACB＝30°．
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°（一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
∵OD过O，OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2＝1（cm），
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
由勾股定理得：OD＝＝＝（cm），
即弦AB的弦心距是cm；
（2）弓形AMB的面积是（π﹣）cm2，
理由是：S弓形＝扇形AOB﹣S△AOB＝60﹣＝（π﹣）cm2．
28．解：一样多，设图示中的大圆的半径为R，每个小圆的半径为r1，r2，r3，r4
且r1+r2+r3+r4＝R，则四个小圆的周长为2π（r1+r2+r3+r4）＝2πR＝大圆的周长，
故用的材料一样多．