2020-2021学年七年级下册数学北师大新版《第4章 三角形》单元测试题（word版含解析）

2020-2021学年七年级下册数学北师大新版《第4章
三角形》单元测试题
一．选择题
1．对于两个图形给出下列结论，其中能得到这两个图形全等的结论有（　　）
①两个图形的周长相等；
②两个图形的面积相等；
③两个图形的周长相等且面积相等；
④两个图形的形状相同且面积相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．在现实的生产、生活中有以下四种情况：
①用“人”字梁建筑屋顶；
②自行车车梁是三角形结构；
③用窗钩来固定窗扇；
④商店的推拉防盗铁门．
其中用到三角形稳定性的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②③④
3．只用无刻度直尺就能作出的是（　　）
A．延长线段AB至C，使BC＝AB
B．过直线l上一点A作l的垂线
C．作已知角的平分线
D．从点O再经过点P作射线OP
4．下列说法错误的是（　　）
A．三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分
B．三角形的三条中线相交于一点
C．直角三角形的三条高交于三角形的直角顶点处
D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
5．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，则此三角形一定是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．一般三角形
6．如图，已知∠A＝50°，∠B＝35°，∠C＝25°，则∠BDC＝（　　）
A．100°
B．120°
C．110°
D．115°
7．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，下列结论：
①△ABD≌△EBC；
②∠BCE+∠BCD＝180°；
③AD＝EF＝EC；
④BA+BC＝2BF．
其中正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．1个
8．王老师不小心将一块教学用的三角形玻璃打破了（如图），想到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便，他只想带一块碎片，则他需要带（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．m﹣2，m，2（m＞2）
B．1，1，3
C．a+1，a+2，a+3（a＞0）
D．3，3，6
10．下列判断正确的是（　　）
（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；
（2）三角形的中线、角平分线都是线段；
（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；
（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．（1）（2）（3）（4）
B．（2）（3）（4）
C．（3）（4）
D．（2）（3）
二．填空题
11．在△ABC中，E是BC边上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，AE与BD相交于点F，S△ABC＝12，则﹣＝　
　．
12．△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠C＝　
　；若∠A＝120°，∠B＝2∠C，则∠C＝　
　．
13．如图，△ABC的三条高线AD、BE、CF相交于点H，则△ABH的三条高线分别为　
　．
14．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则∠A+∠B＝　
　，∠A＝∠　
　，∠B＝∠　
　．
15．如图所示，其中∠1＝　
　°．
16．下列图形不一定能分成两个全等图形的是　
　．（填序号即可）
①三角形
②正方形
③长方形
④半圆．
17．伸拉铁门能自由伸拉主要是应用了四边形的　
　．
18．在△ABC和△DEF中，AB＝4，∠A＝35°，∠B＝70°，ED＝4，∠E＝70°，则当∠D＝　
　时，可根据　
　判断△ABC≌△DEF．
19．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　
　去，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是　
　．
20．如图，以∠AOD为外角的三角形是　
　．
三．解答题
21．如图，在四边形ABCD，点E，F分别在BC，CD上，DF＝FC，CE＝2EB，已知S△ADF＝m，SAECF＝n（n＞m），求四边形ABCD的面积．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，∠1＝∠2，CD⊥AD，求证：AB﹣AC＝2CD．
23．有一批边角余料，形状如图所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，现要把每块这样的材料都加工成为正方形，并且希望材料利用率尽量高些，怎样做最好呢？
24．如图所示，已知D为边BC上一点，过点D画DE∥AB交AC于点E，再过点C画CF∥AD交BA的延长线于点F．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．则△ABD和哪个三角形全等？为什么？△BEC和哪个三角形全等？为什么？
26．已知：在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，∠A﹣∠B＝20°，求三角形三个内角的度数．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AF是角平分线，交CD于点E．求证：∠1＝∠2．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；
②如果面积相同而形状不同也不全等；
③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，
④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确．
所以只有1个正确，
故选：A．
2．解：①用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性；
②自行车车梁是三角形结构，是利用三角形具有稳定性；
③用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性；
④商店的推拉防盗铁门，不是利用三角形具有稳定性；
综上所述，用到三角形稳定性的是①②③．
故选：C．
3．解：∵使用的是无刻度的直尺，作图时不能作出BC＝AB，所以A不能选；
过直线l上一点A作l的垂线时，要有直角，或量角器、圆规，只用直尺是不能作出垂线的，所以不能选B；
作已知角的平分线，需用圆规，只用直尺是做不出角平分线的，所以不能选C；
从点O再经过点P作射线OP，可以只用无刻度直尺就能作出；
故选：D．
4．解：A、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故A错误．
B、三角形的三条中线相交于三角形内部的一点，故B正确．
C、直角三角形的三条高交于三角形的直角顶点处，故C正确．
D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，故D正确
故选：A．
5．解：∵△ABC的三边长a、b、c满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣2＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝2．
∴a＝b＝c，
∴此三角形为等边三角形，
一定为等腰三角形，
故选：A．
6．解：连接AD并延长到点E，
∴∠BDE＝∠BAD+∠B，∠EDC＝∠CAD+∠C，
∵∠CAB＝50°，∠B＝35°，∠C＝25°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CAD＝50°+35°+25°＝110°．
故选：C．
7．解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BD＝BC，BD＝BC，
∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正确；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BDC＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴∠BCE+∠BCD＝180°．
即②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∵AE＞EF，即③错误；
④如图，过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，即④正确．
故选：B．
8．解：②块，因为它只是其中不规则的一块，如果仅凭这一块不能配到与原来一样大小的三角形玻璃；
③、④块，它只保留了原来的一个角，那么这样去配也有很大的难度；
①块，因为它不但有两个角还有一个边，这正好符合全等三角形的判定中的ASA．
所以应该带第1块去．
故选：A．
9．解：A、m﹣2+2＝m，不能构成三角形；
B、1+1＜3，不能构成三角形；
C、a+1+a+2＞a+3，能构成三角形；
D、3+3＝6，不能够组成三角形．
故选：C．
10．解：（1）平分三角形内角的线段叫三角形的角平分线，原命题是假命题；
（2）三角形的中线、角平分线都是线段，是真命题；
（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线，是真命题；
（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，原命题是假命题；
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，∵点D是AC的中点，
∴AD＝AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4，
∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
12．解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°；
∵∠A＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
又∵∠B＝2∠C，
∴∠C＝20°．
故答案为：80°，20°．
13．解：△ABH的三条高线分别为：HF、AE、BD．
故答案是：HF、AE、BD．
14．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝μBDC＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，∠B+∠2＝90°，
∴∠A＝∠2，∠B＝∠1，
故答案为：90°，2，1．
15．解：∠2＝180°﹣100°＝80°，
∴∠1＝65°+∠2＝65°+80°＝145°．
故答案是：145°．
16．解：三角形不一定能分成两个全等的图形，
故答案为：①．
17．解：伸拉铁门能自由伸拉主要是应用了四边形的不稳定性．
故空中填：不稳定性．
18．解：根据题意，AB＝DE，∠E＝∠B，则∠A＝∠D＝35°时，可判定△ABC≌△DEF（ASA）．
故答案为：35°，ASA．
19．解：观察可知，只有①有完整的两个角与一条边，可以根据“角边角”配出一块全等的三角形，
所以，最省事的办法是带①去，全等的依据是ASA．
故答案为：①；ASA．
20．解：以∠AOD为外角的三角形是△DOC和△AOB，
故答案为：△DOC和△AOB．
三．解答题
21．解：如图，连接AC，∵DF＝FC，
∴S△ADF＝S△ACF＝m，
∵SAECF＝n，
∴S△ACE＝n﹣m，
∵CE＝2EB，
∴S△ABE＝S△ACE＝（n﹣m），
∴四边形ABCD的面积＝S△ADF+SAECF+S△ABE＝m+n+（n﹣m）＝m+n．
故答案为：
m+n．
22．证明：延长CD交AB于E，
在△AED和△ACD中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AE＝AC，ED＝CD，
∴EC＝2CD，
∵∠ACD＝∠ACB﹣∠ECB＝3∠B﹣∠ECB，
∠AED＝∠B+∠ECB，
∴3∠B﹣∠ECB＝∠B+∠ECB，
∴∠B＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∵EB＝AB﹣AE＝AB﹣AC，
EC＝2CD，
∴AB﹣AC＝2CD．
23．解：如图，过点A作AE⊥BC垂足为E，沿AE割下△ABE，
绕点A旋转至AD与AB重合即可得正方形，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠DAE′+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAE′，
在△ABE和△ADE′中，
，
∴△ABE≌△ADE′（AAS）．
24．解：如图所示：
．
25．解：△ABD≌△ACD，△ECB≌DBC．
理由是：
∵AB＝AC，
∴∠ABC与∠ACB，
又∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE，
在：△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
同理可证明△ECB≌DBC．
26．解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，∠A﹣∠B＝20°，
∴设∠B＝x°，∠A＝x°+20，
∴∠A+∠B＝2x°+20°，
∴∠C＝x°+10°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+20+x+x+10＝180
解得：x＝50
则∠A＝70°，∠B＝50°，∠C＝60°．
27．证明：∵AF是角平分线，
∴∠CAF＝∠BAF，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠2＝90°，∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠2＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠2．