第2课时 练习课
1．通过练习，巩固有关“鸡兔同笼”问题的知识，灵活运用不同的方法解决现实生活中有关“鸡兔同笼”的实际问题。
2．通过解题培养学生的逻辑思维能力，通过练习使学生体会代数方法的优越性。
3．通过生活中的“鸡兔同笼”问题培养学生热爱生活的情感，激发学生学习数学的兴趣。
重点：巩固有关知识，进一步掌握解决“鸡兔同笼”问题的方法。
难点：会灵活运用不同的方法巧妙地解决问题。
多媒体课件、有关练习题。
一、导入
师：同学们，你们上一节课通过操作、讨论、探索，找到解决“鸡兔同笼”问题的多种方法，很了不起！今天，老师带大家去漫游数学智趣园，大家想去吗？
二、停车场
师：现在我们来到了银桥体育馆，你们看体育馆边的停车场有什么？
【问题1】(“鸡兔同笼”基本变式题)停车场的一角有摩托车和小汽车共42辆，数得轮子有134个，不知摩托车和小汽车各有多少辆？
师：只要大家能解决这个问题，就能获得体育馆的入场券，大家试试看。(学生分组研究，汇报交流)
生1：我知道摩托车有2个轮子，小汽车有4个轮子，就像上节课的鸡有2只脚，兔有4只脚一样，可以用“鸡兔同笼”问题的方法解决。
生2：我们组采用假设法解决，假设都是汽车，那么就有42×4＝168个轮子，实际少了168－134＝34个轮子，每辆小汽车比每辆摩托车多2个轮子，也就是摩托车有34÷2＝17辆，小汽车有42－17＝25辆。
[板书1] 42×4＝168(个)
168－134＝34(个)
摩托车：34÷2＝17(辆)
小汽车：42－17＝25(辆)
生3：我们和组2的方法一样，但是我们假设都是摩托车，那么就有42×2＝84个轮子。实际多出了134－84＝50个轮子，因为每辆小汽车比每辆摩托车多4－2＝2个轮子，所以小汽车有50÷2＝25辆，摩托车有42－25＝17辆。
生4：我们组用“减半法”。想象每辆摩托车拆下一个轮子，每辆小汽车拆下两个轮子，那么就剩下134÷2＝67个轮子，如果轮子比车数多1，就表示有一辆小汽车，现在轮子比车子数多67－42＝25，就表示有小汽车25辆。摩托车有42－25＝17辆。
[板书2] 134÷2＝67(个)
小汽车：67－42＝25(辆)
摩托车：42－25＝17(辆)
生5：我们组用列方程的方法来解决问题。设小汽车有x辆，那么摩托车有(42－x)辆，一共有车轮4x＋2(42－x)即134个，求出x＝25，就是小汽车有25辆，摩托车有42－25＝17辆。
[板书3] 解：设小汽车有x辆，那么摩托车有(42－x)辆。
4x＋2(42－x)＝134
4x＋84－2x＝134
2x＝50
x＝25
摩托车：42－25＝17(辆)
生6：用列方程的方法还可以设摩托车有x辆，那么小汽车有(42－x)辆，车轮总数是2x＋4(42－x)即134个，求出x的值就可以解决问题了。
师：同学们能用多种方法解决问题，祝贺大家都取得入场券，今天银桥体育馆举行的是一场精彩的篮球赛。
三、篮球赛
【问题2】(“鸡兔同笼”基本变式题)今天的篮球赛，经过激烈的较量，统计显示，这次比赛5号球员共投进了12球，得29分，他没投罚球。按规定，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分，那么5号球员投中多少个3分球？(分组讨论后，汇报交流)
生1：这位球员在比赛中没投罚球，所以投中的球不是3分球就是2分球。
生2：我们采用列方程的方法，设投中3分球x个，那么投中2分球12－x个，列出方程3x＋2(12－x)＝29，求出x＝5，也就是3分球投中了5个。
生3：我们采用假设法，假设这位球员投中的全是3分球，那么就有12×3＝36分，比实际得分多了36－29＝7分。因为每个2分球比每个3分球少1分，即2分球有7÷1＝7个，那么3分球有12－7＝5个。
生4：假设这位球员投中的全是2分球，就有2×12＝24分，比实际少了29－24＝5分，每个3分球比每个2分球多1分，3分球有5÷1＝5个，这样更简便！
生5：利用“减半法”要把29÷2＝14.5分，这里出现了小数，应该怎么去解决呢？
生6：可以解决的，3分球的得分和2分球的得分减半后，还有29÷2＝14.5分，减半后每个3分球比每个2分球多(3－2)÷2即0.5分，凡多一个0.5分就有一个3分球。现在的分数与入球数之差是14.5－12＝2.5，即包含了2.5÷0.5＝5个3分球。
生7：原来在问题中出现了小数也可以用“减半法”的，但解决的过程比较复杂。
师：解决问题的方法可多了，同学们可以根据实际情况选择自己喜欢的方法来解决。
四、绿色农庄
生：老师，现在已是中午12点多了，我们肚子饿呀！
师：好！我们现在去绿色农庄餐馆吃午饭，那里不但可以品尝美食，还可以免费送水果。餐馆老板说：有一个问题想请教同学们，如果解决了就送优惠的儿童套餐。
【问题3】(“鸡兔同笼”提高变式题)绿色农庄的部分围栏被风吹开了，鸡、鸭、兔都混在一起，从上面数有95个头，从下面数有250只脚，其中鸭比鸡的2倍还多5只，鸡、鸭、兔各有多少只？(学生讨论后，自由发言)
生1：问题里出现了3种动物，情况比较复杂。
生2：我们可以先算出两只脚的有几只，四只脚的有几只。
生3：我们组用假设法算出四只脚兔子有30只，两只脚的鸡和鸭共有65只。已知鸭比鸡的2倍还多5只，所以鸡有(65－5)÷3＝20(只)，鸭有20×2＋5＝45只。
生4：也可以用方程，设兔子有x只，那么鸡和鸭共有(95－x)只，列出方程4x＋2(95－x)＝250，求出x＝30只，即鸡和鸭共有95－30＝65只，然后像生3那样算出鸡有20只，鸭有45只。
生5：这个问题出现了多个数量，我们可以先把数量分类计算。
师：同学们真棒，这么快就算出了结果，我为你们感到骄傲！
五、摸球计分买票
师：大家品尝了一顿丰盛的大餐后，下午还有更精彩的游乐节目等着大家，但今天游乐场的人数太多了，需要通过摸球计分买票进场。
【问题4】(“鸡兔同笼”提高变式题)摸球活动：箱子内有5个红球、5个黄球，摸到一个红球加20分，摸到一个黄球倒扣5分，根据摸球次数及得分情况，计算摸出的红球、黄球各有多少个？
师：下面分小组活动，具体要求是：
(1)各组摸球次数为7～10次。
(2)每次只摸一球，摸出的球不再放回箱子。
(3)小组长负责填表。
(分组活动后汇报交流，并把各组表的摸球次数和总得分的数据报给老师填表)
组别
摸球次数
总得分
红球
黄球
一
7
90分
二
8
85分
三
9
105分
…
…
…
(摸球次数相同，总得分可能不同)
师：同学们请根据表中各组摸球的次数及得分，计算相邻组摸的红球、黄球的个数，比一比哪一个小组算得又对又快。
(各小组合作计算，汇报结果)
生1：我们组2摸了8次球，总得分85分。假设全部摸到的是红球，那么20×8＝160分，比实际得分多了160－85＝75分，因为每摸到一个黄球就比一个红球少15分，所以黄球有75÷15＝5个，红球有8－5＝3个。
生2：他们组与我们组摸的结果不相符。
生3：我知道原因，摸到一个黄球就失去了摸红球的机会，摸到一个黄球倒扣5分，也就是丢失了20＋5＝25分。所以摸到一个红球跟摸到一个黄球相差的分数不应该是20－5＝15分。
生4：对啊！应该是75÷(20＋5)＝3个，这才是黄球的数量，那么红球应是8－3＝5个。
生5：我们组计算组1的球数是这样做的：假设第一组摸得7个球都是红球，那么20×7＝140分，比实际多140－90＝50分，每摸到一个黄球失掉20＋5＝25分，所以黄球有50÷25＝2个，红球有7－2＝5个。
生6：我们组用了列方程来解决问题。设摸到红球x个，黄球就有(9－x)个，列出方程20x－5(9－x)＝105，求出x＝6是红球的个数，那么黄球就有9－6＝3个。
……
师：同学们通过小组合作，能根据摸球活动中的实际情况大胆提出自己的疑问，共同解决了问题，所以全部同学都如愿买到了游乐场的门票。
六、游乐场
师：这是你们的入场票，可是我手里拿着三种价钱不同的票，价钱贵的门票包含项目就较多，请同学们算算购票情况。
【问题5】(“鸡兔同笼”拓展题，供选用)老师花了2
220元购买了75张游乐园门票，A票每张60元，B票每张30元，C票每张18元，其中C票张数是B票张数的2倍，A票、B票、C票各有多少张？
(学生讨论、计算、汇报交流)
生1：这个问题里出现了三种票，每种票的价钱都不同，好像与今天学习的“鸡兔同笼”问题没有什么联系。
生2：如果能够先把三种票转换成两种票来处理，已知花的钱数和买的票数，这应该是“鸡兔同笼”问题吧？
生3：对！只要把三种票转化成两种票。已知B、C票数关系和各自票价，可以考虑把这两种票转化成一种票。
生4：对！C票的张数是B票的2倍，我们把B、C票每3张分为一份，每份就有2张C票和1张B票。2张C票共36元，与1张30元的B票合在一起共66元，那么平均每张就是66÷3＝22元，把它看作是一种新票，称作D票。原来的问题变成买A和D两种票了。
生5：买了75张门票，看作鸡、兔总头数，所花的钱2
220元是鸡、兔的总脚数。A票的张数看作兔头，单价60元看作兔脚，D票张数看作鸡头，单价22元看作鸡脚。
生6：我明白了，问题可以说成：鸡兔同笼，有头(门票数)75，有脚(花的钱)2
220，一只兔的脚数(A票的单价)是60，一只鸡的脚数(D票的单价)是22。求这笼鸡、兔各有几只？
生7：我们小组用假设法。假设全部都是A票，共花60×75＝4500
元，比实际多4500－2220＝2280元，而每张A票比每张D票多60－22＝38元，就可以求出D票有2280÷38＝60张，那么B票是60÷(1＋2)＝20张，C票是20×2＝40张，最后求出A票有75－60＝15张。
生8：我们组用列方程的方法解简单多了，设B票有x张，C票有2x张，那么A票就有75－x－2x张，列出方程60×(75－x－2x)＋30x＋18×2x＝2220，求出x＝20，就是B票的张数，C票是20×2＝40张，A票是75－20－40＝15张。
生9：列方程是容易，但解这个方程我觉得很难呀！
生10：我们小组采用估算的方法想问题。估计B票有8张，则C票有16张，由于A票、B票的票价都是整十元，所以不论张数是多少，A、B两种票的总价肯定是整十数，而C票的票价是18元，18×16的个位是8，不符合总钱数2
220元的个位是0，所以不对。
生11：我们要注意C票的票价18元，C票总价的个位数要是0，票数的个位只能是5或0，由于C票是B票的2倍，所以C票数的个位不能是5，只能是0，即票数只能是整十数。
生12：对，我们估计B票可能有10张、15张……经推算都不合题意，最后估计B票20张，C票20×2＝40张才符合题目要求。
师：刚才大家用估计推理的方法很有特色，以后解题可以从多方面入手，大胆猜测、合理分析，选用不同的方法同样能达到目的！现在把票发给大家，祝大家玩得开心。数学智趣园还有很多别的活动，有时间再一起去游玩。
七、畅谈感受
师：今天你们玩得开心吗？有什么感受？
生1：我很喜欢估算法，有点像走迷宫，既刺激又有趣！
生2：今天才知道在生活中“鸡兔同笼”问题是那么常见。
生3：题目出现多个数量的时候，转换时感觉比较困难。
生4：解决“鸡兔同笼”问题的办法很多！
生5：这样的生活问题、数学问题很有趣，我们学得很开心！
……
八、课外作业
完成教材习题和同步练习册对应练习。
学校举行的数学竞赛共有15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，不做得0分，小明共得72分。他做对了几道题？
【答案】11道。九、数学广角——鸡兔同笼
第1课时 鸡兔同笼
1．使学生了解“鸡兔同笼”问题，掌握用尝试法、假设法和代数法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。
2．通过自主探索、合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，使学生体会代数方法的优越性，渗透化繁为简的思想。
3．使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学生学习数学的兴趣。
重点：尝试用不同的方法解决问题，使学生体会代数方法的优越性。
难点：在解决问题的同时培养学生的逻辑推理能力。
多媒体课件。
一、谈话引入
师：同学们，你们知道吗？在我国古代的数学名著中记载着很多有趣的数学问题，例如《孙子算经》中记载着“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
你们知道这是什么数学问题吗？
生：“鸡兔同笼”问题。
师：谁能解释一下这道题是什么意思？
生：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？
师：同学们理解得不错。今天我们就来研究“鸡兔同笼”问题。
(板书：鸡兔同笼)
二、探究新知
师：问题中的数据比较大，为了便于同学们研究解决问题的方法，我们可以先从简单的问题入手。
1．出示104页例1。
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？
(1)用尝试法解决问题。
师：你们知道鸡、兔各有几只吗？
生：只能一一列举。
师：你们能利用“尝试”的方法研究出鸡、兔各几只吗？
①独立尝试，集体交流。
师：你们要想好准备先试什么，再试什么。有一个初步的考虑后，把尝试的过程记录在表中。
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
2
3
4
5
6
7
8
脚
16
18
20
22
24
26
28
30
32
汇报：
方法一：一一列举
师：谁来评价这种一一列举的方法？
生：虽然有些麻烦，但有序的思考能保证不遗漏，一定能找到正确的答案。
师：在尝试的过程中，你们发现了什么规律？
生：多一只兔子就会减少一只鸡，就会增加两只脚。
师：发现这个规律有什么用呢？
生：可以不用再逐一尝试了，直接想到正确的答案。
方法二：跳跃尝试
生：对结果进行分析后再进行调整，可以更快地找到答案。
方法三：“对半”尝试
②小结：通过尝试可以得到问题的结果，更重要的是在尝试的过程中发现规律，而规律往往是解决问题的基础。
2．你还能用其他的方法解决吗？
想一想，然后试着在练习本上做一做，做完后可以在小组内交流，说说你是怎样解答的。
学生独立完成。
交流汇报。
师：说说你的方法是什么，是怎样解决问题的。
生：假设法。
(1)假设笼子里都是鸡。
a．2×8＝16(只)脚
b．6－16＝10(只)脚
c．10÷(4－2)＝5(只)兔
d．8－5＝3(只)鸡
师：说说每步求的是什么。
生：a.如果笼子里全是鸡，共有多少只脚。
b．还多余多少只脚。
c．调成多少只兔(接脚)。
d．有多少只鸡。
师：你能解释一下为什么“10÷(4－2)”求的就是兔子的只数吗？
生：因为把1只鸡换成1只兔就会多2只脚，10里有5个2，所以多余10只脚就可以给5只鸡每只添上两只脚换成5只兔。
师：演示课件。
(2)假设笼子里都是兔。
4×8＝32(只)脚
32－26＝6(只)脚
6÷(4－2)＝3(只)
8－3＝5(只)
师：为什么“6÷(4－2)”求的就是鸡的只数呢？
生：因为把1只兔换成1只鸡就会少2只脚，少6只脚就需要把3只兔换成3只鸡。
师：比较这两种假设的方法有什么相同点和不同点？
生：不同点：一种是假设都是鸡，一种是假设都是兔。
相同点：都是把两种动物化成一种来研究，把繁琐的尝试过程化成了简便的算式。
师：不论怎样假设，都利用了同一规律——每调一只鸡或兔，总差两只脚。我们就是抓住了脚数的变化进行了调整，从而得出答案的。
师：还有用别的方法解决问题的吗？
生：列方程。
(1)解：设有x只兔，那么就有(8－x)只鸡。
鸡兔共有26只脚，就是：
4x＋2(8－x)＝,26
2x＋16＝26
x＝5
8－5＝3(只)
师：你是依据什么数量关系来列方程的？
生：兔的只数×4＋鸡的只数×2＝26只脚
师：依据这个数量关系还可以设谁为x?
(2)解：设有x只鸡，那么就有(8－x)只兔。
2x＋4(8－x)＝26
2x＋32－4x＝26
32－2x＝26
2x＝32－26
2x＝6
x＝3
8－3＝5(只)
师：用列方程的方法不论是设鸡为x还是设兔为x，都是根据相同的数量关系式列出方程的。你能对列方程的方法进行一下评价吗？
验证。
A．师：刚才我们用假设法和列方程法都求出了鸡、兔的只数，我们求的得数对吗？怎样验证？
生：得数代入原题验算。4×5＋2×3＝26(只)
B．你们想知道古人是怎样解答“鸡兔同笼”问题的吗？
课件演示并介绍“抬脚法”。
小结：古人所用的“抬脚法”其实也是假设法中的一种思路，可见古人的解题思路是多么的灵活。
C．研究完简单的问题后，《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题你是不是也会解决了呢？有兴趣的同学可以用你喜欢的方法在课下解决。
师：“鸡兔同笼”问题在生活中其实并不实用，为什么古人还要对它进行研究，使“鸡兔同笼”问题流传至今呢？
因为数学源于生活，更高于生活。“鸡兔同笼”问题本身的解决并不是最重要的，更重要的是“鸡兔同笼”问题传播了一种数学思想。在我们生活中还有很多类似这样的问题，同学们不要满足于知道问题的结果，重要的是掌握解决这类题的方法，这样就能帮助我们解决生活中的问题了。
三、典型例题
【例】 一个大笼子里装着若干只鸡和兔子，数一数它们的头，一共是11个，数一数它们的脚一共有30只，请你算一算，笼子里的鸡和兔子各有多少只？
解析 想象一：把11只全都想象成鸡，11只鸡共有22只脚。
30－22＝8(只)
为什么“脚”少了呢？8只脚到哪里去了？这是因为我们把兔子当成鸡，只算它有2只脚。每只兔子少算了2只脚，兔子的只数是：
8÷(4－2)＝4(只)……兔子
11－4＝7(只)……鸡
想象二：把11只全都想象成兔子。
11只兔子共有44只脚。
44－30＝14(只)
这一次为什么反而比原来多出“14只脚”呢？这是因为我们把鸡当成4只脚来算了，每只鸡多算了2只脚，鸡的只数是：
14÷(4－2)＝7(只)……鸡
11－7＝4(只)……兔子
想象三：让鸡和兔子都各自把脚“收起”一半，即鸡用一只脚站在地上，兔子用两只脚站在地上。这时它们站在地上的脚一共是：
30÷2＝15(只)
在这15只脚中，鸡用的都是1只脚，而兔子比鸡多用1只脚。由此算兔子的只数就很容易了。
四、巩固练习
1．教具厂要用长度相等的木条钉制三角形和正方形学具，一共用了190根木条，共制成了55个学具，制作三角形学具用了多少根木条？
师：独立完成后在小组内说说你是用什么方法解答的。
2．下面是游乐园1小时内的售票情况统计表：
游戏项目
单价(元)
总价(元)
总票数(张)
峡谷漂流
25
770
50
旋转木马
10
你知道峡谷漂流和旋转木马的票款各是多少元吗？
五、课堂小结
师：今天的学习有趣吗？大家有哪些收获？
生1：我很开心。因为我知道了用多种方法来解决“鸡兔同笼”问题。
生2：我从其他同学身上学到很多自己弄不懂的解题方法。讨论式的学习方法可以互相启发，我很喜欢这种学习方法。
生3：我还会解一些不是“鸡兔”的“鸡兔同笼”问题，不过还不是很熟练。
……
师：同学们今天的收获真不少！“鸡兔同笼”问题是我国三大趣题之一，这类问题在日本被称为“龟鹤算”。老师希望你们能用今天学到的方法去解决更多实际生活中的数学问题。下一节“鸡兔同笼”练习课将继续研究这个有趣的问题。
六、课外作业
完成教材习题和同步练习册对应练习。
金19克、银10克，在水中称量都减轻1克，今有金银合金106克，在水中称量得99克，金重多少克？银重多少克？
【答案】把金19克，银10克各看作1份，每份在水中减轻1克。
银：10×{[19×(106－99)－106]÷(19－10)}＝30(克)
金：106－30＝76(克)
