(共24张PPT)
中国历史上的方程求解
约公元50~100年编成的《九章算术》，以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的方法。
7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法。
11世纪北宋数学家贾宪以“立成释锁法”解三次或三次以上的高次方程式，同时，还提出了一种更简单的“增乘开方法”。
13世纪，南宋数学家秦九韶提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法。
观察抛物线y=x2-2x-3，思考下面的问题：
（1）抛物线与x轴有几个公共点？
公共点的坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，函数y=x2-2x-3的值是0？
（3）一元二次方程x2-2x-3=0有没有根？
如果有根，它的根是什么？
（4）一元二次方程x2-2x-3=0的根和抛物线
y=x2-2x-3与x轴的公共点的横坐标有什么关系？
观察抛物线
，思考下面的问题：
（1）抛物线与x轴有几个公共点？
交点的坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，函数
的值是0？
（3）一元二次方程
有没有根？
如果有根，它的根是什么？
（4）一元二次方程
的根和抛物线
与x轴的公共点的横坐标有什么关系？
你能猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标的关系吗？
y=x2-2x-3
抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标，
恰为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。
若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则
抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，且
公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。
y=x2-2x-3
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有公共点
二次方程ax2+bx+c=0
有实根
转化为
转化为
画抛物线y=x2-3x-2，判断一元二次方程x2-3x-2=0根的情况。
例1
用图象法讨论一元二次方程x2-3x-2=0的根
解：
（1）画抛物线y=x2-3x-2.
（2）由图象可知，在-1与0
之间以及
3与4之间各有一个根.
分别计算x=0，x=-1，x=-0.5的函数值，列表如下：
x
y
-1
-0.5
0
2
-0.25
-2
由于当x=-1时，y＞0，当x=-0.5时，y＜0，所以方程的根在-1和-0.5之间。
由于在画图和观察过程中
存在误差，所以得到的往往
是二次方程根的近似值
（精确到0.1）
可再将-1和-0.5之间分为5等份，每个分点作为x值，利用计算器求出所对应的函数值，列表：
x
y
-1.0
-0.7
-0.9
-0.8
2
-0.5
-0.6
1.04
1.51
0.16
0.59
-0.25
可以看出，这个根在-0.6和-0.5之间，由于本题要求精确到0.1，所以可以将-0.6或-0.5看作二次方程
x2-3x-2=0较小根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较小根为x≈-0.6或x≈-0.5
你能求出二次方程
x2-3x-2=0较大根
的近似值吗？试试看！
同样的，可以求出一元二次方程x2-3x-2=0的较大根的近似值，列表如下：
由上表可见，方程的较大根在3.5和3.6之间，
所以可以将3.5或3.6看作二次方程x2-3x-2=0较大根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较大根为x≈3.5或x≈3.6
3.0
-0.25
-2
0.16
3.7
3.6
3.5
1.04
0.59
3.9
3.8
2
1.51
4.0
x
y
例2
用图象法讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根。
x
y
解：
（1）画出抛物线y=x2-2x+3
（2）由于图象与x轴没有公共点，所以一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴无公共点
二次方程ax2+bx+c=0
无实根
转化为
转化为
x
y
广角镜
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），
①
由于一元二次方程的根的个数由代数式b2-4ac的符号决定，因此把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母
表示，即
=b2-4ac
具体来说，一元二次方程的根有三种情况：
（1）当
＞0时，方程①有两个不相等的实数根；
（2）当
＝0时，方程①有两个相等的实数根；
（3）当
＜0时，方程①没有实数根。
一元二次方程根的判别式
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有公共点
二次方程ax2+bx+c=0
有实根
二次方程ax2+bx+c=0
的根的判别式
≥
0
转化为
转化为
为化转
转化为
为化转
转化为
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴无公共点
二次方程ax2+bx+c=0
无实根
二次方程ax2+bx+c=0
的根的判别式
＜0
转化为
转化为
为化转
转化为
为化转
转化为
二次函数y=ax2+bx+c的图象
二次方程ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的个数
二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式
两个公共点
一个公共点
没有公共点
有两个不等实根
有两个相等实根
没有实根
＝0
＞0
＜0
课堂小结：
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程
ax2+bx+c=0的关系。
2、根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。
3、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
课堂小结：
当堂检测：
2、如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有
两个相等的实数根，则m=
，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有
个公共点。
1、二次方程x2+x-6=0的两根为x1=-3，x2=2，
则二次函数y=x2+x-6的图象与x轴公共点的坐标为
。
3、用图象法讨论一元二次方程
的根。
（-3,0），（2,0）
1
1
4、用图象法讨论一元二次方程
的根
（精确到0.1）。
当堂检测：
分析：
为求0和1之间的根，计算：
当x=0.8时，y=0.12
当x=0.9时，y=-0.20
为求7和8之间的根，计算：
当x=7.1时，y=-0.20
当x=7.2时，y=0.12
作业布置：
（1）习题5.9
第二题和第三题
（2）我们今天所学习的用图象法求一元二次方程的近似解，利用了数形结合及逼近的数学思想，与数学领域的二分法求方程近似解类似，课下有兴趣的同学可以上网查阅资料了解一下什么是二分法？
小游戏：猜价格
礼品盒的价格是0元到10元之间的一个整数，你能快速猜出礼品盒的价格吗？
（规则：在你猜对之前，你每猜出一个价格，只告诉你猜的价格比正确价格高了还是低了）
价格在盒子下面！
价格：6元。
你猜对了吗？
x1
x2
y1
y2《5.6二次函数的图象与一元二次方程》教学设计
课
题
5.6二次函数的图象与一元二次方程
课型
新授课
教学目
标
探索二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系，体会二者之间实质性关联，感受数学的整体性。能根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。能利用二次函数图象求一元二次方程的近似解，通过利用图象求一元
二次方程近似解的过程，感悟转化、逼近和数形结合的思想，发展估算能力。
重点
探索二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系,以及与x轴的位置关系。利用二次函数的图象求二次方程的近似解。
难点
利用二次函数图象求二次方程的近似解的操作过程。
教学方法
操作------实验
课前准备：多媒体、坐标纸
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
课
题
引
入
多媒体展示中国古代数学史。师：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，我们的先辈在几百年前就使用多种方法解决了方程求解问题，我们在上册也学习了几种解一元二次方程的方法，但都是继承的古人的方法，我希望在座的同学们能够好好学习数学，超越古人，成为一名出色的数学家。今天我们就来学习如何用图像法解一元二次方程。（教师板书课题）
给学生展示中国历史上的方程求解方法，从而引入课题。增强学生的民族自豪感，激发学生的求知欲望。
观察与思考
学生独立思考，举手回答。
设计这两个观察与思考，目的1是把抛物线与x轴有交点和无交点分成两类处理；目的2是为了总结抛物线与x轴的公共点的横坐标和对应二次方程根的关系。
归纳新知
你能猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标的关系吗？归纳：1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标，恰为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。2、若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。
学生小组交流并回答。
学生小组交流并回答，锻炼学生的语言表达能力。体会转化思想。
试一试
试一试：画抛物线y=x2-3x-2，判断一元二次方程x2-3x-2=0根的情况。（教师巡视学生作图情况）师：通过你作的抛物线，你能判断方程根的情况吗？师：咱们能不能利用图象确定这两个根是多少？（教师多媒体展示例1）
学生利用手中的坐标纸画图。
对新知的一个检验。为例题做铺垫。锻炼学生的作图能力。
例
题
分
析（1）
例1：用图象法讨论一元二次方程x2-3x-2=0的根（精确到0.1）。师：由于在画图和观察过程中存在误差，所以我们利用图象得到的往往是二次方程根的近似值。观察图象，可知一元二次方程x2-3x-2=0的两根在-1与0及3与4之间。我们先来确定在-1与0之间的这个根的近似值是多少，我把刚才所作的图象局部放大，我们再来观察图象，当x由-1增加到0时，图象由x轴上方穿过x轴下降到y轴的下方，也就是说，在-1与0之间，在交点的左侧函数值大于0，,右侧函数值小于0，我在坐标轴上找了两点，这两点的函数值一个大于0，一个小于0，则方程的根一定在x1与x2之间，所以一个直观的想法是：能不能把交点横坐标的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们就可以得到根的近似值。那么如何缩小范围呐？我们先来做一个小游戏：猜价格。（展示幻灯片）师：做完了小游戏，我们回到问题中来，你怎么缩小范围？师：我们算出x=-0.5的函数值小于0，可以确定方程的根在-1与-0.5之间，由于要求精确到0.1，所以我们可以将-1和-0.5之间分为5等份，每个分点作为x值，利用计算器求出对应的函数值，就可以确定方程根的近似值。师：我们确定了-1与0之间的根的近似值，你能按照刚才的方法，试着确定3与4之间根的近似值吗？
师生合作探究。
使学生掌握利用图象求一元二次方程近似解的方法。
例题分析
（2）
例2用图象法讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根。归纳总结：
学生动手操作、合作、交流、探讨
利用例2总结：抛物线与x轴无公共点转化为对应二次方程无实根。
综
合
提
升
课堂小结
当堂检测
作业布置
