2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明 易错题之角平分线综合专练（三）（Word版 含答案）

八年级数学下册第一章《三角形的证明》
易错题之角平分线综合专练（三）
1．如图，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD．求证：∠DAB+∠BCD＝180°．
2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．
3．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
求证：OC是∠AOB的平分线．
4．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝吗？请说明理由．
6．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC＝4OB．
（1）若△ABC的面积为10，分别求点B、C的坐标；
（2）如图①，向x轴正方向移动点B，使∠ABC﹣∠ACB＝90°，作∠BAC的平分线AD交x轴于点D，求∠ADO的度数；
（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q，作∠AQM＝∠DQP，它们的边分别交x、y轴于点M、P，作∠FMG＝∠DMQ，试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD＝DF＝AF，DE⊥AB于点E．
求证：（1）AD平分∠BAC；
（2）CF＝BE．
8．小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
10．如图所示，OC平分∠AOB，OA＝OB，P为OC上一点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：PE＝PF．
11．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+　 　＝2AF，请加以证明．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
13．如图直线EF∥GH，点A、点B分别在EF、GH上，连接AB，∠FAB的角平分线AD交GH于D，过点D作DC⊥AB交AB延长线于点C，若∠CAD＝36°，求∠BDC的度数．
14．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图③，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求S△ABC的值．
15．已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．
16．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．
参考答案
1．证明：作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠DAE＝∠DCB，
∵∠DAB+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠BCD＝180°．
2．解：AE＝FG，AE∥FG．
理由如下：∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC＝90°，FG⊥BC，
∴FA＝FG，∠AFC＝∠CED，
∵∠AEF＝∠CED，
∴∠AEF＝∠AFC，
∴AE＝AF，
∴AE＝FG，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥FG，
∴AE＝FG，AE∥FG．
3．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
4．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）连接OC，
∴AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB＝90°+∠ACB，
即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，
∴∠ACB＝60°；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OE，
∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，
∴OD＝2，
∴S△AOB＝10×2＝10．
5．解：＝，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示．
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF．
∵S△ABD＝AB?DE＝BD?AH，S△ACD＝AC?DF＝CD?AH，
∴＝＝＝．
6．解：（1）∵点A的坐标为（0，4），
∴OA＝4，
∵△ABC的面积为10，
∴×AO×BC＝10，
∴BC＝5，
∵OC＝4OB，
∴OB＝，OC＝，
∴点B（，0），点C（，0）；
（2）∵∠ABC﹣∠ACB＝90°，∠ABC＝90°+∠BAO，
∴∠BAO＝∠ACB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD+∠DAC＝∠BAO+∠BAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠DAO＝∠ADO＝45°；
（3）FM⊥PQ，
理由如下：延长FM交QP于H，
设∠DQP＝∠AQM＝x，∠FMG＝∠DMQ＝y，
则∠DMH＝∠FMG＝y，
∠AQM＝∠QMD+∠QDM，即x＝y+45°，
∴∠1＝180°﹣∠DQP﹣∠ADO＝90°﹣y，
则∠2＝∠1＝90°﹣y，
∴∠2+∠DMH＝y+90°﹣y＝90°，
∴∠MHQ＝90°，即FM⊥PQ．
7．证明：（1）∵DF＝AF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵DF∥AB，
∴∠BAD＝∠FDA，
∴∠FAD＝∠BAD，即AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝BE．
8．解：小明的做法可行．理由如下：
在直角尺DEMN中，DN∥EM，
∴∠DPO＝∠POM，
∵DP＝OD，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POM＝∠DOP，
∴OC平分∠AOB．
9．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
10．证明：在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠ACO＝∠BCO，又PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF．
11．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF；
（2）解：AM+AN＝2AF；
证明如下：由（1）得DE＝DF，
∵∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME＝NF，
∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；
（3）由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠ADN，
∴AN＝DN，
在Rt△CDN中，DN＝2CN，
∵AC＝6，
∴DN＝AN＝×6＝4，
∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，
∴∠CDE＝∠MDN，
∴DM＝DN＝4，
∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．
12．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是角平分线．
13．解：∵∠FAB的角平分线AD，∠CAD＝36°，
∴∠DAF＝∠CAD＝36°，
∵DC⊥AB，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣36°＝54°，
∵EF∥GH，
∴∠ADB＝∠DAF＝36°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝54°﹣36°＝18°．
14．解：（1）如图1中，过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）如图2中，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）如图3中，
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9．
15．证明：延长AD交BC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠DFE＝∠DAE，
∴AE＝FE，
∵ED⊥AD，
∴ED平分∠AEB．
16．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM＝PN，
∴PQ＝PN，
∴点P在∠C的平分线．