2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明易错题之角平分线综合专练（二）（Word版，附答案）

八年级数学下册第一章《三角形的证明》
易错题之角平分线综合专练（二）
1．如图，△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积．
2．如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM平分∠DAB；
（2）DM⊥AM．
3．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是　
　cm
（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．
4．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分线交于点P，PE⊥AB交AB的延长线于E，PF⊥AC交AC的延长线于F，求证：BC＝BE+CF．
5．如图，E为△ABC中AB边的中点，D为△ABC外一点，且DE⊥AB，过点D作DN⊥AC于点N，DM⊥BC交BC的延长线于点M，已知AN＝BM，求证：点D在△ABC的外角平分线上．
6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC＝40°．
（1）求∠BAC；
（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）求∠CAP．
7．已知：如图，在△ABC中，E是∠BAC、外角CBD的平分线的交点．求证：点E在外角BCF的平分线上．
8．如图，EQ、FQ分别是∠MEF和∠NFE的平分线，交点是Q，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上．如果∠Q＝68°，求∠P的度数．
9．如图，已知∠A＝∠B＝90°，∠BCD，∠ADC的平分线交AB于E．求证：
（1）AE＝BE；
（2）∠DEC＝90°．
10．已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）
11．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN．
12．已知如图，∠BAC＝∠BPC，AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，求的值．
13．如图：△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交∠BAC的外角∠CAM于点D，求证：CE＝ED；
（3）当△ABC再添加一个条件，可得AP∥BC，请写出这个条件（不必证明）．
14．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上．
15．如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？
参考答案
1．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝AB?OE+BC?OD+AC?OF
＝×2×（AB+BC+AC）
＝×2×12
＝12．
2．（1）AM平分∠DAB．
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC＝MB，
∴ME＝MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）DM⊥AM．
证明：∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1＝∠CDA，∠3＝∠DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠AMD＝90度．即DM⊥AM．
3．解：（1）如图①，作DE⊥AB于E，
∵BC＝6cm，BD＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm，
故答案为：2；
（2）证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE，
同理，PF＝PE，
∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC．
4．证明：作PH⊥BC于H，
∵CP是∠FCB的平分线，PF⊥AC，PH⊥BC，
∴PF＝PH，
∴CF＝CH，
同理，BH＝BE，
∴BC＝CH+BH＝BE+CF．
5．证明：连接DA、DB，
∵DE⊥AB，E为△ABC中AB边的中点，
∴DA＝DB，
在Rt△DAN和Rt△BDM中，
，
∴Rt△DAN≌Rt△BDM，
∴DN＝DM，
在Rt△NDC和Rt△MDC中，
，
∴Rt△NDC≌Rt△MDC，
∴∠NDC＝∠MDC，
∴点D在△ABC的外角平分线上．
6．解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠APC+∠PCB＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠PCB，
∴∠PCD＝∠BAC，
∴∠BPC＝40°，
∴∠BAC＝2×40°＝80°，
即∠BAC＝80°；
（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵CP是∠ACD的平分线，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF＝PG，
同理，PE＝PF，
∴PE＝PF＝PG，即点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．
7．证明：作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，EP⊥AC于P，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EP⊥AC，
∴EG＝EP，
∵BE平分∠CBG，EG⊥AB，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∴EH＝EP，EP⊥AC，EH⊥BC，
∴点E在外角BCF的平分线上．
8．解：∵EQ、FQ分别是∠MEF和∠NFE的平分线，
∴∠QFE＝∠NFE，∠QEF＝∠MEF，
∴∠Q＝180°﹣∠NFE﹣∠MEF
＝180°﹣（∠NFE+∠MEF）
＝180°﹣（360°﹣∠AFE﹣∠AEF）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A＝68°，
同理，∠P＝90°﹣∠A＝68°．
9．证明：（1）作EF⊥DC于F，
∵DE是∠ADC的平分线，
∴EA＝EF，
∵CE是∠BCD的平分线，
∴EB＝EF，
∴AE＝BE；
（2）∵∠A＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DE是∠ADC的平分线，∴∠EDC＝∠ADC，
同理∠ECD＝∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠DEC＝90°．
10．证明：作MN⊥CD于N，如图所示：
∵DM平分∠ADC，∠A＝90°，MN⊥CD，
∴MA＝MN，
∵M是AB的中点，
∴MA＝MB，
∴MB＝MN，
∵∠B＝90°，MN⊥CD，
∴CM是∠BCD的平分线，
即CM平分∠BCD．
11．解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADP＝∠CDP，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°，
在△PDM和△PDN中，
，
∴△PDM≌△PDN（AAS），
∴PM＝PN．
12．解：∵AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，
∴PM＝PN，
∵∠BAC＝∠BPC，
∴∠NBP＝∠MCP，
在△NBP和△MCP中，
，
∴△NBP≌△MCP，
∴NB＝CM，
∴AC+AB＝2CM，
∴＝2．
13．（1）证明：过点P分别作PH⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点H、F、G，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PH＝PF，PF＝PG，
∴PH＝PG，
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）证明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAE．
∵CE⊥AP，
∴∠AED＝∠AEC＝90°．
在△ADE与△ACE中，
∵，
∴△ADE≌△ACE，
∴CE＝DE；
（3）当∠DAE＝∠ABC时，AP∥BC．
故添加的条件可以为：∠DAE＝∠ABC．
14．证明：如图，作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠CDF，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴FC＝EC，
∴点C在∠DAB的角平分线上．
15．解：点P在∠AOB的平分线上．
理由：过点P分别向OA，OB作垂线，
∵S△PFG＝FG?PE，S△PMN＝MN?PH，FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，
∴PH＝PE，
∴点P是在∠AOB的平分线上．