8.2 立体图形的直观图课件（共24张PPT）

8.2　立体图形的直观图
第八章　立体几何初步
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.
学习目标
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴
或y′轴的线段
保持原长度不变
一半
知识点二　空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴，直观图中与之对应的是 轴.
(2)画底面：平面 表示水平平面，平面 和 表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中 和______
都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 .
z
z′
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行性
长度
虚线
思考辨析 判断正误
1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.(　　)
2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.(　　)
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(　　)
×
√
×
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
一、平面图形的直观图的画法
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝ ，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1　已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.
解　画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
二、空间几何体的直观图
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
解　(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ .分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
反思感悟
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)
解　画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的
直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；
画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，
在y′轴上取M′N′＝ ，以点N′为中点，画出B′C′平行于
x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，
并且长度等于EF；
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，
在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，
并擦去x′轴、y′轴和z′轴，
便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).
三、直观图的还原与计算
例3　如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是
√
反思感悟
平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测

画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝
跟踪训练3　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
√
解析　如图，在原图形OABC中，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
1
2
3
4
5
√
解析　由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，
因此答案为B.
课堂练习
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于
A.45° B.135°
C.90° D.45°或135°
解析　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，
所以∠A＝90°，
在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，
即∠A′＝45°或135°.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是
√
解析　可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.
4.利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是________.(填序号)
1
2
3
4
5
①②
解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，
因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
1
2
3
4
5
5.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
2.5
解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，
且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，
所求中线长为2.5.
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间几何体直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
课堂小结