8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件（共22张PPT）

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章　8.3　简单几何体的表面积与体积
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式
求几何体的表面积与体积.
学习目标
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
?
图形
表面积
多面体
?




多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是 的面积
展开图
思考　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？
答案　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的 ，h为棱柱的____
棱锥

S为棱锥的 ，h为棱锥的____
棱台

S′，S分别为棱台的 ，h为棱台的____
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
思考辨析 判断正误
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　　)
2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(　　)
3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)
4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(　　)
×
√
×
√
例1　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
反思感悟
棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
√
解析　设三棱锥B1－ABC的高为h，
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
反思感悟
求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.
跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的

体积为____.
核心素养之直观想象
几何体体积的求法
典例1　等积变换法
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
解　由 ，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
典例2　分割法
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
素养提升
(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.
(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
1
2
3
4
5
解析　V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
√
课堂练习
2.正方体的表面积为96，则正方体的体积为
A. B.64
C.16 D.96
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为
√
解析　如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为等边三角形PBC边BC上的高，
4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为_________.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥

A－DED1的体积为_____.
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
2.方法归纳：等积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
课堂小结