第二章平面向量综合评价检测 (Word含解析)2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修4

人教A版必修4第二章综合评价检测
平面向量
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．三个向量共面，即它们所在的直线共面
C．若，则存在唯一的实数，使
D．零向量是模为，方向任意的向量
2．设向量，，．若，则实数x的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面向量，，满足，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．在直角三角形中，角为直角，且，点是斜边上的一个三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．2
7．设，是两个非零向量（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数λ，使得
D．若存在实数λ，使得，则
8．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设，，，，且，
则向量在上的投影的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
10．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
11．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
12．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．
若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．下列说法中正确的是_________（填序号）．①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若，则；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量．
14．设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
15．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是______________．
16．若是所在平面内一点，且满足，
则的形状为___________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
18．（12分）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
19．（12分）如图，已知四边形为平行四边形，与相交于，，，设，，试用基底表示向量，，．
20．（12分）设两个向量，，满足，．
（1）若，求，的夹角；
（2）若，夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
21．（12分）在中，，记，，且为正实数）．
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小．
22．（12分）如图，在中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
人教A版必修4第二章综合评价检测
答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】A选项，若，则根据零向量方向的任意性，可以与共线，与共线；但与不一定共线，故A错；
B选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；
C选项，根据共线向量定理，若，其中，则存在唯一的实数使；故C错；
D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为，方向任意的向量，即D正确，
故选D．
2．【答案】D
【解析】因为，，所以，
因为，所以，得，故选D．
3．【答案】D
【解析】由，
得，则，
即，故选D．
4．【答案】B
【解析】由题意，则，
又，即，
由向量模的定义，，故选B．
5．【答案】B
【解析】建立直角坐标系，设，，，，
则，故选B．
6．【答案】C
【解析】∵，
∴．
当时，有最大值，故选C．
7．【答案】C
【解析】若，则，共线，即存在实数λ，使得，
故C正确；
选项A：当时，，可为反向的共线向量，故A错误；
选项B：若，由矩形得不成立，故B错误；
选项D：若存在实数λ，使得，，可为同向的共线向量，
此时显然不成立，故D错误，
故选C．
8．【答案】B
【解析】关于的方程有实根，，
设与的夹角为，则，
又，，，
又，，本题正确选项B．
9．【答案】C
【解析】由于，则，
由于，，如图所示建系，
设，，
由于，且，则P、A、B三点共线．
设，则，即．
向量在上的投影为，
设，所以当时，．
当时，，
当时，，所以，解得；
当时，，所以，解得，
综上，向量在上的投影的取值范围为，故选C．
10．【答案】C
【解析】，
，
，
．
设向量与向量的夹角为，则．
又，所以，故选C．
11．【答案】B
【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线一致，
又，，
向量的方向与的角平分线一致，
点的轨迹一定经过的内心，故选B．
12．【答案】B
【解析】由题意，设，，
则在平行四边形ABCD中，因为，，
所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以，
故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】④
【解析】温度的零上和零下表示温度的大小，温度没有方向，所以温度不是向量，故①错误；
零向量的模为0，不是正实数，故②错误；
向量含有方向，不能比较大小，故③错误；
若长度相等，方向相同，则向量相等，故④正确，
故只有④正确，故答案为④．
14．【答案】
【解析】因为，，，
所以，
由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得，
所以，
又因为与不共线，所以，解得，
故答案为．
15．【答案】
【解析】由题意，
与向量的夹角为钝角，则，
即，解得，
又由，得，
∴所求的范围是，
故答案为．
16．【答案】直角三角形
【解析】∵，，
∴，即，
∵，∴，
由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，
∴，得的形状是直角三角形，故答案为直角三角形．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）设，且，
，解得或，
或．
（2）由已知得，，
即，，
整理得，，
又，．
18．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1），
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，．
（2）．
（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以．
设，则，
因为，所以，解得，
即点A的坐标为．
19．【答案】，，．
【解析】是平行四边形，，，，，
，
，
．
20．【答案】（1）；（2）且．
【解析】（1）因为，所以，
即，
又，，所以，
所以，
又，所以向量，的夹角是．
（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，
且向量与不反向共线，即，
又，夹角为，所以，
所以，解得，
又向量与不反向共线，
所以，解得，
所以的取值范围是且．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）最小值为2，．
【解析】（1）在中，，可得，
所以，所以．
（2）由，可得，
即，整理得，
所以．
（3）由（2）知，
因为为正实数，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为2，即，
此时，
因为，可得，
又因为，此时为等边三角形，所以．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，，
，，，，
，
∴．
（2），，
，
．