7.2离散型随机变量及其分布列练习题2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册 Word含解析

离散型随机变量及其分布列
1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y(　　)
A.不一定是随机变量
B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量
C.可能是定值
D.一定是离散型随机变量
2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是(　　)
A.两颗都是4点
B.两颗都是2点
C.—颗是1点,一颗是3点
D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点
3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为(　　)
A.0.3　　　B.0.5　　　C.0.1　　　D.0.2
4.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于
(　　)
A. B. C. D.
5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是(　　)
A.P(0C.P D.P
6.随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.?
7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.?
8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;
(2)设X=m2,求X的分布列.
9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
扩展练习
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=(　　)
A. B. C. D.
2. (多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为(　　)
A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局
3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0.5<δ<2.5)=________.?
4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.?
X 1 2 3 4
P
m

5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:
X -1 0 1
P
1-2a a2
则a等于________,X2的分布列为________.?
6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5;能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;
(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.
7.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.
(1)求甲获胜的概率;
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列.
参考答案
1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y(　　)
A.不一定是随机变量
B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量
C.可能是定值
D.一定是离散型随机变量
分析：选D.由于X是离散型随机变量,因此Y=aX+b也是离散型随机变量.
2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是(　　)
A.两颗都是4点
B.两颗都是2点
C.—颗是1点,一颗是3点
D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点
分析：选D.X=4表示抛掷两颗骰子,所得点数之和为4的所有结果,可能是一颗1点,另一颗3点,也可能是两颗均为2点.
3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为(　　)
A.0.3　　　B.0.5　　　C.0.1　　　D.0.2
分析：选A.Y<6,即2X-1<6,所以X<3.5.X=1,2,3,P=.
4.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于
(　　)
A. B. C. D.
分析：选D.因为随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),
所以a+2a+3a+4a=1,解得a=0.1,
所以P=P+P=2×0.1+3×0.1=.
5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是(　　)
A.P(0C.P D.P
分析：选B.本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球.
6.随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.?
分析：因为随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P a b c
所以a+b+c=1,且a,b,c∈[0,1].①
因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,②
联立①②,得b=,a+c=,
所以P(|x|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.
答案:
7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.?
分析：易知函数f(x)=x2-13x+1在区间[6.5,+∞)上单调递增,所以ξ≥6.5,即所求事件A的概率是P(A)=P(ξ≥6.5)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=0.88.
答案:0.88
8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;
(2)设X=m2,求X的分布列.
分析：(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,
即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以X=m2的所有不同取值为0,1,4,9,
且有P(X=0)=,P(X=1)==,
P(X=4)==,P(X=9)=.
故X的分布列为
X 0 1 4 9
P



9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
分析：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种:{2个白球},{1个白球,1个黄球},{1个白球,1个黑球},{2个黄球},{1个黑球,1个黄球},{2个黑球}.
当取到2个白球时,随机变量X=-2;
当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;
当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;
当取到2个黄球时,随机变量X=0;
当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;
当取到2个黑球时,随机变量X=4;
所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.
P(X=-2)==,
P(X=-1)==,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=4)==.
所以X的概率分布列如表:
X -2 -1 0 1 2 4
P





(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=.
扩展练习
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=(　　)
A. B. C. D.
分析：选A.因为随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,
所以=+++…+=a=a=1,
解得a=,
所以P(3≤X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.
2. (多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为(　　)
A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局
分析：选BC.甲赢一局输两局得3分,甲与乙平三局得3分.
3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0.5<δ<2.5)=________.?
分析：因为随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,所以++=1,所以c=.
所以P(0.5<δ<2.5)=P(δ=1)+P(δ=2)=+=c=.
答案:
4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.?
X 1 2 3 4
P
m

分析：由|x-2|=1,解得x=1,3,
所以P(|x-2|=1)=P(X=1或3)=+=.
答案:
5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:
X -1 0 1
P
1-2a a2
则a等于________,X2的分布列为________.?
分析：由离散型随机变量的分布列的性质得:
解得a=1-.
由题意X2=0,1,P=P=-1,
P=1-=2-.
所以X2的分布列为
X2 0 1
P -1 2-
答案:1-
X2 0 1
P -1 2-
6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5;能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;
(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.
分析：(1)设A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”,
则所求概率P=P(A)+P(B)+P(C)=0.5×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.5)×0.6×(1-0.5)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.5=0.35.
(2)甲制成饼茶的概率为P甲=0.5×0.8=0.4,同理P乙=0.6×0.5=0.3,P丙=0.5×0.4=0.2.
随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.3)×(1-0.2)=0.336,
P(X=1)=0.4×(1-0.3)×(1-0.2)+(1-0.4)×(1-0.3)×0.2+(1-0.4)×0.3×(1-0.2)=0.452,
P(X=2)=0.4×0.3×(1-0.2)+0.4×(1-0.3)×0.2+(1-0.4)×0.3×0.2=0.188,
P(X=3)=0.4×0.3×0.2=0.024.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.336 0.452 0.188 0.024
7.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.
(1)求甲获胜的概率;
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列.
分析：(1)由题意甲获胜的概率:
P=+××+××××=.
(2)由题意知,投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=+×=,
P(X=2)=××+×××=,
P(X=3)=××××+×××××+×××××=,
所以X的分布列为:
X 1 2 3
P