2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章8.6空间直线、平面的垂直 同步练习 Word含解析(1)

空间中的垂直关系同步练习
直线与直线垂直同步练习
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1.
已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定（　　）
A.
与a，b都相交
B.
只能与a，b中的一条相交
C.
至少与a，b中的一条相交
D.
与a，b都平行
2.
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）
A.
相交
B.
异面
C.
平行
D.
垂直
3.
一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（　　）
A.
AB∥CD
B.
AB与CD相交
C.
AB⊥CD
D.
AB与CD所成的角为60°
4.
如图，在长方体ABCD
?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于（
　）
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
5.
已知直三棱柱ABC
?A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.
如图，E是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________。
三、解答题
7.
如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点。
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角。
直线与直线垂直同步练习参考答案
1.
答案：C　
解析：如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾。故选C。
2.
答案：A　
解析：由BC//AD，AD//A1D1知，BC//A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交。
3.
答案：D
解析：如图，把展开图中的各正方形按图①所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图②所示的直观图，可得选项A、B、C不正确。图②中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°。∴正确选项为D。
4.
答案：C
解析：如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角。因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C。
5.
答案：C
解析：如图所示，将直三棱柱ABC?A1B1C1补成直四棱柱ABCD?A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角。
因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AB1＝，AD1＝。在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，
所以B1D1＝＝，
所以cos∠B1AD1＝＝。
6.
答案：
解析：不妨设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角。在△OEC中，边长EC＝，OC＝，OE＝，由余弦定理可得cos∠OEC＝＝。即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为。
7.
（1）证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾。故直线EF与BD是异面直线。
（2）解：取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角。又因为AC⊥BD，则FG⊥EG。
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°。
直线与平面垂直同步练习
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1.
直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能（　　）
A.
平行
B.
相交　　　
C.
异面　　　
D.
垂直
2.
垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是（　　）
A.
垂直
B.
相交但不垂直
C.
平行
D.
不确定
3.
如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　）
A.
60°
B.
45°
C.
30°
D.
120°
二、填空题
4.
如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________。
三、解答题
5.
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D。
6.
如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a?β，a⊥AB。
求证：a∥l。
7.
在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝1，AA1＝，∠ABC＝60°。
（1）求证：AC⊥BD1；
（2）求四面体D1AB1C的体积。
直线与平面垂直同步练习参考答案
1.
答案：A　
解析：若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾。所以直线l与m不可能平行。
2.
答案：A
解析：因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直。选A。
3.
答案：A　
解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，
所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°。故选A。
4.
答案：AB，BC，AC　；AB
解析：因为PC⊥平面ABC，
所以PC垂直于直线AB，BC，AC。
因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
所以AB⊥平面PAC，
又因为AP?平面PAC，
所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB。
5.
证明：如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C?平面A1AC，
∴BD⊥A1C。
同理可证BC1⊥A1C。
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D。
6.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA。
同理l⊥EB。
又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB。
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB。
由线面垂直的性质定理，得a∥l。
7.
（1）证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD。在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1?平面BB1D1D，则AC⊥BD1。
（2）解：VD1AB1C＝VABCD?A1B1C1D1－VB1?ABC－VD1?ACD－VA?A1B1D1－VC?C1B1D1＝VABCD?A1B1C1D1－4VB1?ABC＝×－4×××＝。