6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时 作业与测评2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册 Word含解析

第2课时　正弦定理
　　　　　　　　　 　 　　　　　 　 　
知识点一　已知两边及一边的对角解三角形
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝(　　)
A. B. C. D．1
2．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.
3．(1)在△ABC中，b＝10，c＝5，C＝60°，求边长a的值；
(2)在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，求角B，C和边长c的值．
知识点二　已知两角及一边解三角形
4.一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边的长是6，那么60°角所对的边的长是(　　)
A．3 B．3 C．3 D．2
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.
知识点三　正弦定理的应用
6.△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　)
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
7．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B.等边三角形
C．直角三角形 D.等腰直角三角形
知识点四　正弦定理与余弦定理的综合应用
8.在△ABC中，B＝，AB＝，BC＝3，则sinA＝(　　)
A. B. C. D.
9．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC，则下列说法中正确的是(　　)
A．b＝a B．sinB＝
C．cos2B＝－ D．sin＝－
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cosA＝ccosA＋acosC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)
A．± B. C．－ D.
易错分析　本题在求出sinB＝后，对cosB的符号判断不清，误选A或C.
　　　　　　　　　 　 　　　　　 　 　
一、选择题
1．在钝角三角形ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为(　　)
A．120° B．45° C．30° D．15°
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝(　　)
A. B．2 C. D.
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)
A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
二、填空题
6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝75°，B＝45°，c＝3，则边b的值为________．
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝(3a－c)cosB.若·＝4，则ac的值为________．
三、解答题
9．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
10．已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx,2cosωx－sinωx)，ω>0，函数f(x)＝m·n＋|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)＝2，c＝2，S△ABC＝，求a的值．
第2课时　正弦定理
　　　　　　　　　 　 　　　　　 　 　
知识点一　已知两边及一边的对角解三角形
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　由＝，知＝，即sinB＝.故选B.
2．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.
答案　
解析　由正弦定理，得＝，即sinC＝＝＝.由题意可知C为锐角，∴cosC＝＝.∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin60°cosC－cos60°sinC＝.
3．(1)在△ABC中，b＝10，c＝5，C＝60°，求边长a的值；
(2)在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，求角B，C和边长c的值．
解　(1)由正弦定理得，sinB＝＝＝，
又b∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°，
∴a＝＝＝＝5(＋1)．
(2)由正弦定理得，sinB＝＝＝，
∴B＝60°或B＝120°，均满足条件，
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
故B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
知识点二　已知两角及一边解三角形
4.一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边的长是6，那么60°角所对的边的长是(　　)
A．3 B．3 C．3 D．2
答案　A
解析　设60°角所对的边的长为x，由＝，得x＝＝＝3，故选A.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.
答案　2
解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，由＝，得c＝＝＝2.
知识点三　正弦定理的应用
6.△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　)
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
答案　B
解析　∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＝bsin30°>bsinC，又c7．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B.等边三角形
C．直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　A
解析　由正弦定理，acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，由于－π知识点四　正弦定理与余弦定理的综合应用
8.在△ABC中，B＝，AB＝，BC＝3，则sinA＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝2＋9－2××3×＝5.所以AC＝.由正弦定理，得＝，所以sinA＝＝＝.
9．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC，则下列说法中正确的是(　　)
A．b＝a B．sinB＝
C．cos2B＝－ D．sin＝－
答案　ACD
解析　在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.又b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a，故A正确；由余弦定理可得cosB＝＝＝－.从而sinB＝＝，故B错误；cos2B＝cos2B－sin2B＝－，故C正确；sin2B＝2sinBcosB＝－，sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－，故D正确．故选ACD.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cosA＝ccosA＋acosC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解　(1)由正弦定理，得2bcosA＝ccosA＋acosC?2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
(2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，把b＋c＝4代入，得bc＝3.
　　课时易错点
易错点　忽视三角形中的边角关系
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)
A．± B. C．－ D.
易错分析　本题在求出sinB＝后，对cosB的符号判断不清，误选A或C.
答案　D
正解　根据正弦定理＝，得sinB＝＝，又a＞b，所以角B为锐角，所以cosB＝.故选D.
　　　　　　　　　 　 　　　　　 　 　
一、选择题
1．在钝角三角形ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为(　　)
A．120° B．45° C．30° D．15°
答案　C
解析　由于＝，将AB＝，AC＝1，B＝30°代入，求得sinC＝.又由△ABC是钝角三角形，知C＝120°，所以A＝30°.故选C.
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝(　　)
A. B．2 C. D.
答案　D
解析　由正弦定理，得＝，∴sinC＝＝.又c3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
答案　C
解析　由正弦定理＝，得sinB＝＝＝>1.∴B不存在．即满足条件的三角形不存在．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案　D
解析　由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin2A＝sin2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.故选D.
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)
A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
答案　ACD
解析　因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设a＋b＝9t，a＋c＝10t，b＋c＝11t，t>0，解得a＝4t，b＝5t，c＝6t.由正弦定理易知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；由余弦定理易知cosC＝＝＝>0，所以C为锐角，又c为最大边，所以△ABC为锐角三角形，故B错误；由余弦定理易知cosA＝＝＝，所以cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cosC，又2A，C∈(0，π)，所以2A＝C，故C正确；设△ABC外接圆半径为R，由c＝6，可得2R＝＝＝，所以△ABC外接圆的半径为，故D正确．故选ACD.
二、填空题
6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________.
答案　1
解析　设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝75°，B＝45°，c＝3，则边b的值为________．
答案　2
解析　因为A＝75°，B＝45°，所以C＝60°，由正弦定理可得b＝＝＝2.
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝(3a－c)cosB.若·＝4，则ac的值为________．
答案　12
解析　由正弦定理，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB.化简，得cosB＝.又·＝accosB＝4，∴ac＝＝12.
三、解答题
9．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
解　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)，知cosA＝，所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.
10．已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx,2cosωx－sinωx)，ω>0，函数f(x)＝m·n＋|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)＝2，c＝2，S△ABC＝，求a的值．
解　(1)f(x)＝m·n＋|m|＝cos2ωx＋2sinωxcosωx－sin2ωx＋1＝cos2ωx＋sin2ωx＋1＝2sin＋1.
由题意，知T＝π，又T＝＝π，∴ω＝1.
(2)∵f(x)＝2sin＋1，
∴f(A)＝2sin＋1＝2，sin＝.
∵0∴2A＋＝，∴A＝.
∴S△ABC＝bcsinA＝，∴b＝1.
∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×＝3.
∴a＝.