4.3.2 等比数列的前n项和公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修二练习

等比数列的前n项和公式练习
一、单选题
中国古代数学著作算法统宗有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378?里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6?天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为
A.
4?里
B.
5?里
C.
6?里
D.
8?里
我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A.
1盏
B.
3盏
C.
5盏
D.
9盏
我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？
A.
第2天
B.
第3天
C.
第4天
D.
第5天
中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了
A.
192?里
B.
96?里
C.
48?里
D.
24?里
已知数列的前n项和为，，，则
A.
B.
C.
D.
设等比数列的前n项和为，若，则???
A.
31
B.
32
C.
63
D.
64
已知等比数列的前n项和为，设，那么数列的前15项和为???
A.
16
B.
80
C.
120
D.
150
已知等比数列的前n项和为，且，，则?
?
A.
12
B.
C.
12或
D.
12或15
数列中，，，若，则???
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比
A.
2
B.
C.
D.
记为等比数列的前n项和．若，，则
A.
B.
C.
D.
设为等比数列的前n项和，若，则
A.
B.
5
C.
8
D.
15
等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为
A.
65
B.
75
C.
90
D.
110
二、单空题
已知等比数列的前n项和为，若，，则________．
已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比_________．
数列中，，，若其前k项和为126，则______．
已知等比数列中，，，则的前6项和为______．
等比数列的前n项和为，若对于任意的正整数k，均有成立，则公比______．
已知各项均为正数的等比数列的前3项和为7，且，则_________．
三、解答题
已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
记，求数列的前n项和．
设数列的前n项和为，已知，
证明：数列是等比数列；
求数列的前n项和．
已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项求????????????
设，求的前n项和．
已知数列满足：，
求数列的通项；
若，求数列的前n项和；
设，，求证：．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：每天走的路形成等比数列，，．
，解得．
该人最后一天走的路程．
2.【答案】B
【解答】
解：设这个塔顶层有a盏灯，
宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
，
解得，
则这个塔顶层有3盏灯．
3.【答案】B
【解答】
解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为，
同理，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，
前n天打洞之和为，
，
即，
解得，取，
即两鼠在第3天相逢．
4.【答案】B
【解答】
解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，
解得，
第此人二天走里，
第二天走了96里，
故选B．
5.【答案】D
【解答】
解：因为，
所以，
则数列是等比数列，首项为1，公比为，
则．
6.【答案】C
【解答】
解法一?
?
?在等比数列中，也成等比数列，
故，
则，
解得．
故选C．
解法二?
??设等比数列的首项为，公比为q．
若，则有，显然不符合题意，故．
由已知可得两式相除得，解得．
故或．
若，代入解得，此时．
若，代入解得，此时．
故选C．
解法三?
??因为数列为等比数列，若，则有，显然不符合题意，故．
设其前n项和为．
由题意可得
两式相除得，
解得，代入解得．
故．
所以．
故选C．
解法四?
??设等比数列的公比为q．
则，
解得．
故．
故选C．
7.【答案】C
【解答】
解：设公比为q，
由题意可得
解得
，
，
数列的前15项和为．
8.【答案】C
【解答】
解：由题意得，即，
又，
所以．
则或．
9.【答案】C
【解答】
解：取，则，
又，所以，
所以是等比数列，则，
所以，得
10.【答案】C
【解答】
解：由已知，
则，解得．
11.【答案】B
【解答】
解：设等比数列的公比为q，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
12.【答案】B
【解答】解：设数列的公比为q，
，，解得，
，
故选B．
13.【答案】A
【解答】
解：设的公比为q，由，知，
则，即，即，
解得，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
于是数列的前10项和为：，
14.【答案】448
【解答】
解：由等比数列的性质知，，，成等比数列，
因为，，
所以，
所以．
15.【答案】
【解答】
解：当数列的公比时，，与矛盾，故不符合题意．
当时，，所以．
因为，
所以，即，则．
故答案为．
16.【答案】6
【解析】解：，，
数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
，
故．
17.【答案】
【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，
若，，则有，解可得，
则，
则的前6项和；
18.【答案】
【解析】解：等比数列的前n项和为，
对于任意的正整数k，均有成立，
，
，
，
当时，
，
，，
，
解得，或舍．
公比．
19.【答案】32
【解答】
解：设正数的等比数列的公比为q，
则
因为，
解得，，
．
故答案为32．
20.【答案】解：由题意可得，
即，
解得：，
数列的通项公式为；
，
．
21.【答案】证明：由，及，
得，
整理，得，
，又，
是以1为首项，2为公比的等比列；
解：由，得，
，
，
由，得．
22.【答案】解：设数列的公差为d，
由题意知：，
又因为，，成等比数列，所以，
由得，，所以，．
因为，
所以
，
所以数列的前n项和．
23.【答案】解：因为，
所以当时，；
又，故．
由1及题设知：，
所以，
所以，
所以．
证明：由及题设知：，
所以
所以
即，所以．
又是递增数列，所以的最小值为；即证；
求出数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，即可证明不等式．