6.4.3 正弦定理2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第六章课时跟踪检测Word含解析

课时跟踪检测 正弦定理
A级——学考合格性考试达标练
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　　)
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
4．已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝，c＝，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　)
A. B．(，2)
C．(1,2) D．(1，)
6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求的值．
B级——面向全国卷高考高分练
1．[多选]下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则三角形一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4 ，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)
A．10 B．12
C．8＋ D．8＋2
5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
6．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
C级——拓展探索性题目应用练
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
课时跟踪检测 正弦定理
A级——学考合格性考试达标练
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　根据正弦定理得＝＝.故选A.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.
3．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为(　　)
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
解析：选B　由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.
4．已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
解析：选C　由正弦定理和已知条件得＝，∴sin B＝>1，∴此三角形无解．故选C.
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝，c＝，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　)
A. B．(，2)
C．(1,2) D．(1，)
解析：选B　在△ABC中，根据正弦定理＝即＝，所以sinA＝x，由题意可得，当A∈(，)时，满足条件的△ABC有两个，所以6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.
答案：2
7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.
答案：
8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝，
∴由正弦定理＝，得＝.
∴sin A＝.
答案：
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，
则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，所以最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理，得
a＝＝＝－1，
所以最小边长为－1.
10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求的值．
解：(1)由题意知，
b2＝ac?cos A＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由b2＝ac，得＝，
∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝.
B级——面向全国卷高考高分练
1．[多选]下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
解析：选ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B?a>b?A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acos B，则三角形一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C　∵c＝2acos B，∴sin C＝2sin Acos B，
∴sin(A＋B)＝2sin Acos B，∴sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Acos B，∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.故选C.
3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选A　∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴ ＝6.故选A.
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4 ，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)
A．10 B．12
C．8＋ D．8＋2
解析：选B　∵2bcos A＋a＝2c，∴2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又∵A＋B＋C＝π，
∴2sin Bcos A＋sin A＝2sin(A＋B)＝2sin Acos B＋2cos Asin B，
∴sin A＝2sin Acos B，∵sin A≠0，∴cos B＝，
又∵0由△ABC的面积为4 得acsin B＝4 ，∴ac＝16，又∵a＋c＝8
∴a＝c＝4，∴△ABC为等边三角形，∴△ABC的周长为3×4＝12.故选B.
5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
答案：7
6．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案：　3
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，
得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)
＝sin B.
∵sin B≠0，∴cos A＝.
∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)根据余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝3.
C级——拓展探索性题目应用练
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解：(1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0＜C＜π，
∴sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，
由正弦定理＝，得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0＜C＜π，
得cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得b2±b－12＝0(b＞0)，
解得b＝或2，
∴或