高中数学：2.1.1离散型随机变量学案含解析 Word

2．1.1　离散型随机变量
[目标]
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.会用离散型随机变量描述随机现象．
[重点]
1.理解随机变量所表示试验结果的含义.2.离散型随机变量的概念．
[难点]
1.随机变量的意义.2.区分两类随机变量，并能举出离散型随机变量的例子．
知识点一
随机变量
[填一填]
(1)定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：常用字母X，Y，ξ，η等表示．
[答一答]
1．任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？
提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．
2．随机变量是特殊的函数吗？
提示：随机变量是把试验结果映射为实数，而函数是定义在两个非空数集之上的．因此，随机变量应为特殊的映射而非函数．
知识点二
离散型随机变量
[填一填]
离散型随机变量的定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
[答一答]
3．如何辨别一个变量是否是离散型随机变量？
提示：①随机变量的取值能一一列出，这是判定随机变量是否为离散型随机变量的关键．
②离散型随机变量的取值可以是有限个，如取值1,2,3，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….
4．除了离散型随机变量外，还有其他类型的随机变量吗？举例说明．
提示：存在其他类型的随机变量，如人的头发长度，人的身高等等．这些量的取值均无法一一列出．
5．下列不是离散型随机变量的是(　A　)
A．某水站观察到一天中长江的水位
B．某立交桥一天经过的车辆数
C．110报警中心一天内接到的报警电话个数
D．从编号为1,2,3,4的卡片中任取一张，取出的卡号
1．对随机变量的认识
(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．
(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
2．离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示．
(2)试验之前可以判断其出现的所有值．
(3)在试验之前不能确定取何值．
(4)试验结果能一一列出．
类型一
随机变量的概念
【例1】　指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某编辑部一天接到咨询电话的个数；
(2)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(3)某林场树木最高达30
m，此林场中树木的高度；
(4)体积为27
cm3的正方体的棱长．
【分析】　根据随机变量的概念判断．
【解】　(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)被抽取的卡片号数是随机的，是随机变量．
(3)林场树木的高度可以取(0,30]内的一切值，它是一个随机变量．
(4)体积为27
cm3的正方体的棱长为3
cm，为定值，不是随机变量．
在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源.
练习：
将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为(　C　)
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
解析：A，B，D中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量．
类型二
离散型随机变量的判定
【例2】　下列随机变量是否是离散型随机变量，并简述其理由．
(1)在2
006张已编号的卡片(从1号到2006号)中任取1张，被取出的号数为X；
(2)某人连续不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X；
(3)从2
006张已编号的卡片(从1号到2006号)中任取3张，被取出的卡片的号数和为X;
(4)某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺寸之差X.
【分析】　看一个随机变量是否是离散型随机变量，主要看此变量的取值是否是有限个，或虽是无限个，但可以按一定的顺序列举出来．
【解】　(1)随机变量X的值有2
006个，是有限个，因此X是离散型随机变量．
(2)首次命中目标需要的射击次数X虽然有无限个，但是可以列举出来，1,2,3，…，可见，随机变量X是离散型随机变量．
(3)与(1)比较，虽然取的张数有1张和3张区别，但实质是一样的，故X是离散型随机变量．
(4)由于随机变量X的值是(－∞，＋∞)内的一切实数(从理论上看)，不可能列举出来，故随机变量X不是离散型随机变量．
看一个变量是否是离散型随机变量，首先看它是否是随机的，其次是看它是否是离散的，然后才能下结论.
练习：
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)白炽灯的寿命ξ；
(2)某射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分；
(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50
m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
解：(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．
(2)是离散型随机变量，因为射手的得分的取值只有1或0，可一一列举．
(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
类型三
用随机变量表示随机试验的结果
【例3】　写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X.
【分析】　明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果．
【解】　(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．
因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此，要准确写出随机变量的所有取值，就必须弄清楚所有试验的结果.还要注意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果.
练习：
写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y；
(2)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，所含次品的件数X.
解：(1)X可取1,2,3.
X＝i表示“取出i支白粉笔，3－i支红粉笔”，其中i＝1,2,3.
Y可取0,1,2.
Y＝i表示“取出i支红粉笔，3－i支白粉笔”，其中i＝0,1,2.
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4.
X＝i表示“取出的4件产品中有i件次品”，其中i＝0,1,2,3,4.
随机变量与函数的关系
【例4】　抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，试求ξ的值域，并说明“ξ>4”表示的试验结果．
【思路分析】　
【解】　设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6，
依题意得ξ＝x－y.则－5≤ξ≤5，
即ξ的值域为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
则ξ>4?ξ＝5，表示x＝6，y＝1，
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
【解后反思】　随机变量ξ与函数f(x)的区别
函数是研究确定性现象的，它定义在实轴上，有确定的因果关系；随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，这便是“随机”的本源．
练习：
一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
解：(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球2个黑球
取得2个白球1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量．
练习：
1．一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为(　B　)
A．所取球的个数
B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数
D．袋中球的总数
解析：由于A、C、D均为定值，不随试验的变化而变化，故不是随机变量．由于每次取球是随机的，故所含红球的个数可能为0,1,2，因此B是随机变量．
2．下列X是离散型随机变量的是(　B　)
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．②③④
解析：①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围．不能一一列举出来，故选B.
3．已知X，Y均为离散型随机变量．且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为0,1,2.
解析：由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，∴Y∈{0,1,2}．
4．判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量．
(1)某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；
(2)公交车司机下周一收取的费用ξ；
(3)某单位下个月的用水量ξ；
(4)某家庭上个月的电话费ξ.
解：(1)ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0,1，2，…，是随机变量，也是离散型随机变量；
(2)ξ的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量．
(3)ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能取[0，＋∞)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量．
(4)ξ的取值是一个定值，故不是随机变量．
PAGE