高中数学选修1-1导数的性质及其应用课后测试（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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高中数学选修1-1导数的性质及其应用课后测试
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知直线y=x+1与曲线
相切，则a的值为（??
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?-1??????????????????????????????????????????D.?-2
2.函数
的单调递减区间为（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(
??)
A.?y＝sin
x????????????????????????????B.?y＝xe2????????????????????????????C.?y＝x3－x????????????????????????????D.?y＝ln
x－x
4.已知定义在R上的函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
5.函数
的图象大致为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????????????????D.?
6.已知函数
在
上有导函数，
图象如图所示，则下列不等式正确的是（??
）
A.??????B.??????C.??????D.?
7.已知函数
，若
，
，则
的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
8.设函数
，若存在唯一的正整数
，使得
，则实数
的取值范围是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
9.已知函数
，
，则下列说法正确的有（
???）
A.?
是奇函数????????????????????????????????????????????????????????????????????B.?
是周期函数
C.?曲线
在点
处的切线方程为
?????D.?在区间
上，
单调递增
10.如图是函数
的导函数
的图象，则下面判断正确的是（???
）
A.?
在
上是增函数???????????????????????????????B.?
在
上是减函数
C.?
在
上是增函数???????????????????????????????????D.?当
时，
取得极小值
11.设
，
都是单调函数，其导函数分别为
，
，
，下列命题中，正确的是（???
）
A.?若
，
，则
单调递增；
B.?若
，
，则
单调递增；
C.?
，
，则
单调递减；
D.?若
，
，则
单调递减；
12.下列命题正确的是（???
）
A.?若
，则函数
在
处无切线
B.?函数
的切线与函数的图象可以有两个公共点
C.?曲线
在
处的切线方程为
，则当
时，
D.?若函数
的导数
，且
，则
的图象在
处的切线方程为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知函数
的图象在点
处的切线方程为
，则
的值为________.
14.已知
为偶函数，当
时，
，则曲线
在
处的切线方程为________．
15.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是________.
16.已知函数
在区间
上存在极大值与极小值，则实数
的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知函数
．
（Ⅰ）若曲线
在
处的切线方程为
，求
的值；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的极值．
18.已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
的单调区间及极值；
（2）讨论函数
的零点个数.
19.已知函数
的图象在
处的切线方程为
.
（1）求
的解析式；
（2）若关于
的方程
在
上有解，求
的取值范围.
20.已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，不等式
对于任意
恒成立，求实数
的取值范围.
21.已知函数
．
（1）若
的单调递减区间为
，求实数a的值；
（2）若
在区间
内单调递减，求实数a的取值范围．
22.已知函数
．
（1）若函数
在
内是单调函数，求实数
的取值范围；
（2）已知
、
是函数
的两个极值点，当
时，均有
成立，求实数
的取值范围（
为自然对数的底数）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】【解答】设切点
，则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又
，
故答案为：B．
【分析】根据题意由导数与切线方程斜率之间的关系求出导函数令由此计算出a的值。
2.【答案】
D
【解析】【解答】由题意得，函数
的定义域为
，
．
令
，得
，解得
，
故函数
的单调递减区间为
．
故答案为：D
【分析】根据题意对函数求导由导函数
，
求解出x的取值范围即为原函数的减区间。
3.【答案】
B
【解析】【解答】易知A不符合题意；
B中y′＝e2＞0在(0，＋∞)内恒成立．
C中
?不恒成立；D
当
，
故答案为：B
【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可判断出函数的单调性，由此对选项逐一判断即可得出答案。
4.【答案】
B
【解析】【解答】
，则
，
，
，
所以，切点坐标为
，所求切线的斜率为
，因此，所求切线的方程为
.
故答案为：B.
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值x=0代入到的导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式求出切线的方程。
5.【答案】
B
【解析】【解答】由
得：
，即
定义域为
则
当
时，
；当
和
时，
即
在
上单调递增，在
和
上单调递减，可排除
又
???
在
上的最大值小于零，可排除
故答案为：B
【分析】
利用函数的导数判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可。
6.【答案】
A
【解析】【解答】解：设函数
，
则
，
则函数
为增函数，
又
，
则
，
故答案为：A.
【分析】由已知条件结合导函数与原函数单调性的关系，求出导函数由一次函数的性质即可得出导函数为增函数结合单调性的定义即可得出答案。
?
7.【答案】
A
【解析】【解答】由
，得
．设
，则
．令
，得
；令
，得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，从而
，
故
．
故答案为：A.
【分析】问题转化为
，
设
，
根据函数的单调性求出的最大值，求出的范围即可。
8.【答案】
C
【解析】【解答】当
时，由
，
，
令
，
.
当
或
时，
；当
时，
.
所以，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
函数
的极大值为
，极小值为
，且
，
，
，
如下图所示：
设
，若存在唯一的正整数
使得
，即
，
可得
，即
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：C.
【分析】当
时，由
可得出
，
令
，
，
作出函数和的图像，由题意可得关于实数a的不等式组，由此可解的实数a的取值范围。
二、多选题
9.【答案】
A,C
【解析】【解答】解：对A，
的定义域为
关于原点对称，
，
故
是奇函数，即A符合题意；
对B，若
是周期函数，则存在非零常数
，
使
，
，
易知：不存在非零常数
，使
，故
不是周期函数；B不符合题意；
对C，
，
，
又
，
故
在点
处的切线方程为：
，
即
，C符合题意；
对D，
，
当
，
故
，
故在
上，
单调递减，所以D不符合题意。
故答案为：AC。
【分析】利用奇函数的定义、周期函数的定义、求导的方法求出函数在切点处的切线方程、利用求导的方法判断函数的单调性，从而选出说法正确的选项。
10.【答案】
C,D
【解析】【解答】
的图象在
上先小于0，后大于0，故
在
上先减后增，因此A不符合题意；
的图象在
上先大于0，后小于0，故
在
上先增后减，因此B不符合题意；
由图可知，当
时，
，所以
在
上单调递增，因此C符合题意；
当
时，
，当
时，
，所以当
时，
取得极小值，因此D符合题意．
故答案为：CD．
【分析】
由于f′（x）≥0?函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0?单调f（x）单调递减，观察f′（x）的图象可知，通过观察f′（x）的符号判定函数的单调性即可。
11.【答案】
B,C
【解析】【解答】
，函数为增函数，
时，函数为减函数，同理
时，函数为增函数，
时，函数为减函数，
不妨取
，
，则满足
，
，
，显然
是减函数，排除A选项；
取
，
，满足
，
，
则
，故
是增函数，排除D；
当
，
时，函数
为增函数，
为减函数，则
为增函数，
所以
为增函数，B符合题意；
当
，
时，
为减函数，
为增函数，
为减函数，
所以
为减函数，C符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意求出函数的导函数结合导函数的性质即可得出原函数的单调性，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12.【答案】
B,D
【解析】【解答】若
，则函数
在
处的切线斜率为0，
A错误；
函数
的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数
，在
处的切线为
，与函数的图象还有一个公共点
，
B正确；
因为曲线
在
处的切线方程为
，所以
又
，
C错误；
因为函数
的导数
，所以
，又
，所以切点坐标为
，斜率为
，所以切线方程为
，化简得
，
D正确．
故答案为：BD．
【分析】由导数与切线斜率的关系即可得出斜率为0
由此判断出选项A错误；通过举例子即可得出选项B正确；结合导数的几何意义代入数值计算出结果由此判断出选项C错误；由导数的值求出切线的斜率再由点斜式求出切线的方程即可由此判断出选项D正确，进而得出答案。
三、填空题
13.【答案】
2
【解析】【解答】由于函数
的图象在点
处的切线方程为
，
则点
在直线
上，可得
，解得
，
直线
的斜率为
，由导数的几何意义可得
.
因此，
.
故答案为：2.
【分析】根据题意由点在直线上代入求出
，
再由导数与切线斜率的关系即可得出由此计算出结果即可。
14.【答案】
y=2x-1
【解析】【解答】设
，则
，∴
，
∵
为偶函数，∴
，则
，∴
，
又
，∴曲线
在
处的切线方程为
，即y=2x-1．
故答案为：y=2x-1.
【分析】根据题意由偶函数的性质求出当时函数的解析式，对函数求导把数值代入到导函数的解析式计算出斜率的值，再由点斜式求出切线的方程即可。
15.【答案】
（0,1）
【解析】【解答】
f
′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a).
当a≤0时，f
′(x)＞0，
∴f
(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.
当a＞0时，f
′(x)＝3(x－
)(x＋
).
当x∈(－∞，－
)和(
，＋∞)时，f
(x)单调递增；
当x∈(－
，
)时，f
(x)单调递减，
所以当
＜1，即0＜a＜1时，f
(x)在(0，1)内有最小值.填（0,1）．
【分析】
对f（x）进行求导，要求函数f(x)＝x3－3ax－a
在（0，1）内有最小值，说明f（x）的极小值在（0，1）内，从而讨论a与0大小，从而进行求解．
16.【答案】
（-3，-2）
【解析】【解答】
，则
，
令
，可得
，
，列表如下：
-2
0
0
0
极大值
极小值
所以，函数
的极大值点为
，极小值点为
，
由于函数
在区间
上存在极大值与极小值，
所以，
，解得
.
因此，实数
的取值范围是（-3，-2）。
故答案为：（-3，-2）。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，再利用已知条件函数
在区间
上存在极大值与极小值，
从而求出实数m的取值范围。
四、解答题
17.【答案】
解：（Ⅰ）因为
，
所以
，
所以
.
因为
在
处的切线方程为
.
所以
，
解得
.
（Ⅱ）因为
，
，
所以
，
①当
，即
时，
在
恒成立，
所以
在
单调递增；
所以
在
无极值；
②当
，即
时，
在
恒成立，
所以
在
单调递减，
所以
在
无极值；
③当
，即
时，
变化如下表：
-
0
+
单调递减↘
极小值
单调递增↗
因此，
的减区间为
，增区间为
．
所以当
时，
有极小值为
，无极大值
【解析】【分析】（Ⅰ）求出
的导数，求出切线方程，然后求解
即可；
（Ⅱ）求出
?，通过①
当??，即??时
，②
当?
，③
当?
，判断导函数的符号，函数的单调性，然后求解函数的极值．
18.【答案】
（1）解：由题得，函数
的定义域为
.
当
时，
，
所以
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
所以当
时，
有极大值，
且极大值为
，无极小值
（2）解：由
，得
.
当
时，
恒成立，函数
单调递增，
当
时，
，
又
，所以函数
有且只有一个零点；
当
时，令
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减，
所以
的极大值为
，
①当
，即得
时，
解得
，此时函数
没有零点；
②当
，即
时，函数
有1个零点；
③当
，即
时，
.
当
时，令
，
则
在
上恒成立，
所以
，即
，
所以
，
故当
且
时，
.
当
时，有
，
所以函数
有2个零点.
综上所述：当
时，函数
没有零点；
当
或
时.函数
有1个零点；
当
时，函数
有2个零点
【解析】【分析】
（1）先求出函数的定义域，求解导数，然后根据导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间及极值，
（2）结合导数与单调性关系先分析函数的单调性，再结合特殊位置函数的取值即可判断．
19.【答案】
（1）解：
，
因为
，所以
，
解得
，
，所以
（2）解：令
，
则
.
令
，则
在
上单调递增.
当
，即
时，
，
所以
单调递增，又
，所以
；
当
，即
时，则存在
，使得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，则
.
当
时，
，所以
在
上有解.
综上，
的取值范围为
【解析】【分析】
（1）先对函数求导，由已知结合导数的几何意义可分别求出m，n，进而可求函数的解析式；
（2）可令
?
，然后求导，结合导数与单调性的关系可分析及零点判定定理可求．
20.【答案】
（1）解：函数
的定义域为
，
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，由
得，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减
（2）解：设
，
则题意等价于：当
时，
恒成立，
，
设
，则
，所以
在
上单调递增.
又
，
，
所以存在唯一
，使
，即
，
且当
时，
，即
，函数
单调递减，
当
时，
，即
，函数
单调递增.
所以，
.
即
.
所以，实数
的取值范围为
【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数
，
当??时，??，所以??在??上单调递增；
当??时，
由求得函数增区间，由求得函数减区间；
（2）
设??，则题意等价于：当??时，??恒成立，只需g（x）min>m．利用导数求其最小值得答案．
21.【答案】
（1）解：由题意得
．
∵
的单调递减区间为
，
∴
和1是方程
的两个根，
∴
，∴
．
当
时，
，由
得
，所以
的单调递减区间为
，符合题意，
所以
（2）解：∵
在区间
内单调递减，∴
在
内恒成立．
又二次函数
的图象开口向上，方程
的一根为
，
∴
，∴
．
∴实数a的取值范围是
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的导函数由已知条件即可得出的两个根为-1和1
，结合韦达定理即可计算出a的值，经检验满足题意由此得出a的取值。
(2)利用函数的单调性与导函数的之间的关系，结合已知条件即可得出在恒成立。由二次函数的性质以及根的个数，即可得出关于a的不等式求解出a的取值范围即可。
22.【答案】
（1）解：函数
的定义域为
，且
.
设
.
（i）若函数
在
内单调递增，则对任意的
，
.
二次函数
的图象开口向上，对称轴为直线
.
①若
，则函数
在
上单调递增，所以
，解得
，此时
；
②若
，由题意可得
，解得
，此时，
.
所以，当
时，函数
在
上为增函数.
（ii）若函数
在
内单调递减，则对任意的
，
，
若
，则对任意的
，
，不合乎题意；
若
，解不等式
，即
，解得
，不合乎题意.
综上所述，实数
的取值范围是
（2）解：由题意可知，
、
是方程
的两个正根，则
，解得
.
由韦达定理可得
.
，
由
，可得
，
即
，即
，
即
，
令
，可得
，可得
，
令
，其中
，
，
所以，函数
在区间
上单调递减，当
时，
.
所以，
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
【解析】【分析】
（Ⅰ）首先求出f（x）的导函数，当a＜0时，求出函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数；当a≥0时，利用基本不等式求出f'（x）的最小值，则将问题转化为f'（x）的最小值大于等于0，求解即可；
（Ⅱ）根据题意把
、
是函数f（x）的两个极值点，转化成
、
是
的两个不相等的正根，从而得到
令
即可得到再构造函数
?
然后利用导数研究函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性再将恒成立问题通过化简变形参变量分离，即可得到。
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