单元素养评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2020·青岛高一检测)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,
b=1,C=,则a=
( )
A.
B.2
C.
D.3
2.已知在△ABC中,AB=2,sin
A=,tan
C=,则BC=
( )
A.8
B.8
C.4
D.4
3.(2020·扬州高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于
( )
A.
B.
C.
D.2
4.(2020·延安高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60°,b=,则△ABC外接圆的面积是
( )
A.2π
B.π
C.
D.
5.(2020·烟台高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin
C),n=(a+c,sin
B-sin
A),若m∥n,则B的大小为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
6.在△ABC中,D是边BC上一点,若AD⊥AC,
sin
∠BAC=,AD=3,AB=3,则BD=
( )
A.
B.2
C.2
D.3
7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则C=
( )
A.
B.
C.
D.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos
A=(2c-a)cos
B,c=2,a=1,则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.1
D.
【补偿训练】
设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sin
A-sin
C),则A的大小为
( )
A.
B.
C.
D.
9.在△ABC中,A=60°,a=3,则△ABC的周长为
( )
A.6sin(B+30°)+3
B.4sin(B+30°)+3
C.6sin(B+60°)+3
D.4sin(B+60°)+3
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
11.(2020·武汉检测)如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【补偿训练】
如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为
( )
A.20海里
B.40海里
C.20(1+)海里
D.40海里
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2
019c2,+=
( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,a=3,b=2,cos
C=,则△ABC的面积为 .?
14.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A= .?
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则
sin
B= ,c= .?
15.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos
A=bsin
A,则sin
A+sin
C的最大值为 .?
16.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架飞机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则飞机飞行的高度为 (结果保留根号).?
三、解答题(共70分)
17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin
A+csin
C-
asin
C=bsin
B.
(1)求B;
(2)若A=75°,b=2,求a,c.
【补偿训练】
(2019·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin
B=4asin
C.
(1)求cos
B的值;
(2)求sin的值.
18.(12分)在△ABC中,求证:-=-.
19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C
=sin2A+sin
Bsin
C.
(1)求A的大小;
(2)若2sin
Bsin
C+cos
2A=1,判断△ABC的形状.
20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=
6cos
Bcos
C.
(1)求cos
A;
(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.
21.(12分)(2020·盐城高二检测)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,点D为△ABC内一点,满足BD=CD=2,且·+5·=0.
(1)求的值;
(2)求边BC的长.
22.(12分)如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5
km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,求船速多少.
【补偿训练】
如图,观测站C在目标A的南偏西20°方向,经过A处有一条南偏东40°走向的公路,在C处观测到与C相距31
km的B处有一人正沿此公路向A处行走,走20
km到达D处,此时测得C,D相距21
km,求D,A之间的距离.
PAGE单元素养评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2020·青岛高一检测)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,
b=1,C=,则a=
( )
A.
B.2
C.
D.3
【解析】选B.由余弦定理可得,cos
C=,即-=,整理可得a2+a-6=0解得a=2(负值舍去).
2.已知在△ABC中,AB=2,sin
A=,tan
C=,则BC=
( )
A.8
B.8
C.4
D.4
【解析】选B.由AB=2,sin
A=,tan
C==,可得cos
C=sin
C,由sin2C+cos2C=1,可得(sin
C)2+sin2C=1,解得sin
C=,由正弦定理=,可得BC===8.
3.(2020·扬州高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选D.A=60°,a=,由正弦定理可得,====2,
所以b=2sin
B,c=2sin
C,则=2.
4.(2020·延安高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60°,b=,则△ABC外接圆的面积是
( )
A.2π
B.π
C.
D.
【解析】选B.设△ABC
外接圆的半径为r,
则
2r===2,解得r=1,
所以△ABC外接圆的面积=π×12=π.
5.(2020·烟台高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin
C),n=(a+c,sin
B-sin
A),若m∥n,则B的大小为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选D.因为m=(a+b,sin
C),
n=(a+c,sin
B-sin
A),若m∥n,
所以(a+b)(sin
B-sin
A)-sin
C(a+c)=0,
由正弦定理知:(a+b)(b-a)=c(a+c),
即a2+c2-b2=-ac.
由余弦定理知:2accos
B=-ac,
所以cos
B=-,因为B∈(0,π),所以B=150°.
6.在△ABC中,D是边BC上一点,若AD⊥AC,
sin
∠BAC=,AD=3,AB=3,则BD=
( )
A.
B.2
C.2
D.3
【解析】选A.如图所示.
由诱导公式得sin
∠BAC=sin=cos
∠BAD=,在三角形ABD中,由余弦定理得BD==.
7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则C=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由3sin
A=5sin
B可得3a=5b,又因为b+c=2a,可令a=5t,b=3t,c=7t(t>0),可得cos
C==-,
又0
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos
A=(2c-a)cos
B,c=2,a=1,则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos
A=
(2c-a)cos
B,利用正弦定理得sin
Bcos
A=2sin
Ccos
B-sin
Acos
B,
整理得:sin(A+B)=sin
C=2sin
Ccos
B,
由于sin
C≠0,所以cos
B=,由于0则B=.由于c=2,a=1,则S△ABC=acsin
B
=×2×1×=.
【补偿训练】
设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sin
A-sin
C),则A的大小为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sin
B,所以已知等式可化为(b+c)sin
B=(a+c)(sin
A-sin
C),
所以由正弦定理可得:(b+c)b=(a+c)(a-c),
整理可得:b2+c2-a2=-bc,
所以由余弦定理可得:cos
A=-,
由A∈(0,π),可得A=.
9.在△ABC中,A=60°,a=3,则△ABC的周长为
( )
A.6sin(B+30°)+3
B.4sin(B+30°)+3
C.6sin(B+60°)+3
D.4sin(B+60°)+3
【解析】选A.由正弦定理可得==,所以b=2sin
B,c=2sin
C,
因为A+B+C=180°,A=60°,
所以C=180°-A-B=120°-B,那么△ABC的周长:a+b+c=3+2sin
B+
2sin(120°-B)=3+2sin
B+2=3+3sin
B+
3cos
B=3+6sin(B+30°).
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.由已知===,所以=或=0,即C=
90°或=.由正弦定理得=,所以=,即sin
Ccos
C=sin
Bcos
B,即sin
2C=sin
2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
11.(2020·武汉检测)如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选A.在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=2,由正弦定理得=
,sin
∠ADB==;∠BDC=90°-∠ADB,cos
∠BDC=sin
∠ADB=;在△BCD中,DC=4,BD=2,由余弦定理得,BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos
∠BDC
=+-2×2×4×
=48,所以BC=4.
【补偿训练】
如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为
( )
A.20海里
B.40海里
C.20(1+)海里
D.40海里
【解析】选A.连接AB,
由题意可知CD=40,∠ADC=105°,
∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,
所以∠CAD=45°,∠ADB=60°,
在△ACD中,由正弦定理得=,
所以AD=20,在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=40.
在△ABD中,由余弦定理得AB=
=20.
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2
019c2,+=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.+=tan
C=tan
C=
tan
C==.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C,
又因为a2+b2=2
019c2,
所以c2=2
019c2-2abcos
C,
所以1
009c2=abcos
C,所以+=.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,a=3,b=2,cos
C=,则△ABC的面积为 .?
【解析】因为cos
C=,0C=.
所以S△ABC=absin
C=×3×2×=4.
答案:4
14.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A= .?
【解析】因为b=2a,所以sin
B=2sin
A,
又因为B=A+60°,所以sin(A+60°)=2sin
A,
即sin
Acos
60°+cos
Asin
60°=2sin
A,化简得:sin
A=cos
A,所以tan
A=,又0°答案:30°
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则
sin
B= ,c= .?
【解析】由正弦定理=得=,得sin
B=.由余弦定理得
cos
A===,解得c=3(负值舍去).
答案: 3
15.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos
A=bsin
A,则sin
A+sin
C的最大值为 .?
【解析】因为acos
A=bsin
A,由正弦定理可得,sin
Acos
A=sin
Bsin
A,因为sin
A≠0,所以cos
A=sin
B,又B为钝角,所以B=A+,sin
A+sin
C=sin
A+
sin(A+B)=sin
A+cos
2A=sin
A+1-2sin2A=-2+,所以sin
A+sin
C的最大值为.
答案:
16.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架飞机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则飞机飞行的高度为 (结果保留根号).?
【解析】如图,由题上条件可得线AC平行于东西方向,AC==千米;所以
∠ABC=135°;∠BAC=30°;在△ABC中,=?=
?BC==.
如图,
D1C⊥平面ABC,在直角△BD1
C中,tan
∠D1BC==?h=BC·tan
∠D1BC=×
tan
30°=千米.
答案:千米
三、解答题(共70分)
17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin
A+csin
C-
asin
C=bsin
B.
(1)求B;
(2)若A=75°,b=2,求a,c.
【解析】(1)由正弦定理得a2+c2-ac=b2.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,得cos
B=(0(2)sin
A=sin(30°+45°)=sin
30°cos
45°+
cos
30°sin
45°=.
故a=b==1+,
c=b=2×=.
【补偿训练】
(2019·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin
B=4asin
C.
(1)求cos
B的值;
(2)求sin的值.
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsin
C=csin
B,又由
3csin
B=4asin
C,得3bsin
C=4asin
C,因为sin
C≠0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos
B===-.
(2)由(1)可得sin
B==,sin
2B=2sin
Bcos
B=-,cos
2B=
cos2B-sin2B=-,故sin=sin
2Bcos+cos
2Bsin=-×-×=-.
18.(12分)在△ABC中,求证:-=-.
【证明】左边=-
=-2=右边.
所以原式成立.
19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C
=sin2A+sin
Bsin
C.
(1)求A的大小;
(2)若2sin
Bsin
C+cos
2A=1,判断△ABC的形状.
【解析】(1)因为sin2B+sin2C=sin2A+sin
B·sin
C,
由正弦定理得b2+c2=a2+bc,
由余弦定理得cos
A===,
因为0(2)因为2sin
Bsin
C+cos
2A=1,
所以2sin
Bsin
C=1-cos
2A
=1-(1-2sin2A)=2sin2A,
即sin
Bsin
C=sin2A,所以bc=a2,
所以b2+c2=2bc,(b-c)2=0,b=c,又因为A=,
所以△ABC为等边三角形.
20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=
6cos
Bcos
C.
(1)求cos
A;
(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.
【解析】(1)因为3(cos
Bcos
C+sin
Bsin
C)-1=6cos
Bcos
C,
所以3cos
Bcos
C-3sin
Bsin
C=-1,
所以3cos(B+C)=-1,所以cos(π-A)=-,
所以cos
A=.
(2)
由(1)得sin
A=,由面积公式bcsin
A=2可得bc=6①,根据余弦定理得
cos
A===,则b2+c2=13②,①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.
21.(12分)(2020·盐城高二检测)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,点D为△ABC内一点,满足BD=CD=2,且·+5·=0.
(1)求的值;
(2)求边BC的长.
【解析】(1)设BC=a,AC=b,AB=c,
由·+5·=0,
得5×4cos
A+5×2×2cos
D=0,即cos
A=-cos
D,
又A,D为三角形的内角,所以sin
A=sin
D;
在△ABC中,由=,得=;同理=,所以
=,所以=2.
(2)在△ABC中,由余弦定理得cos
A===,同理cos
D=,由(1)可得=-,解得BC=a=.
22.(12分)如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5
km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,求船速多少.
【解析】轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而船始终匀速前进,设t为从B到E的用时,则t=
h,由此可见:BC=4EB,设EB=x,则BC=4x,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150°,
在△AEC中,由正弦定理得:
=,
所以sin
C===,
在△ABC中,由正弦定理得:=,
所以AB===,
在△ABE中,由余弦定理得BE2=AE2+AB2-2AB·AE·cos
30°=25+-2×5××=,故BE=,
所以船速v===.
答:该船的速度为
km/h.
【补偿训练】
如图,观测站C在目标A的南偏西20°方向,经过A处有一条南偏东40°走向的公路,在C处观测到与C相距31
km的B处有一人正沿此公路向A处行走,走20
km到达D处,此时测得C,D相距21
km,求D,A之间的距离.
【解析】由已知,得CD=21
km,BC=31
km,
BD=20
km.在△BCD中,由余弦定理,
得cos
∠BDC==-.
设∠ADC=α,则cos
α=,sin
α=.
在△ACD中,由正弦定理得=,得=,
所以AD=sin(60°+α)==15(km),
即所求的距离为15
km.
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