等比数列习题课
(20分钟 35分)
1.数列{an}为等比数列,若a1=1,a7=8a4,数列的前n项和为Sn,则S5=
( )
A.
B.
C.7
D.31
【解析】选A.由题意,q6=8q3,解得q=2,
所以an=a1qn-1=2n-1,
因为数列的前n项和为Sn,
所以S5=1++++==.
2.在各项均为正数的等比数列{an}中,=2a16,则数列{log2an}的前7项和等于
( )
A.7
B.8
C.27
D.28
【解析】选A.由题意,得a10=2q6,所以a1·q3=2,
即a4=2,
所以T7=log2a1+log2a2+…+log2a7
=log2(a1·a2·…·a7)=log2=7.
3.已知数列{an}是公比q不为1的等比数列,Sn为其前n项和,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,则S3=
( )
A.5
B.6
C.7
D.9
【解析】选C.数列{an}是公比q不为1的等比数列,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,可得a1q=2,18a4=16a1+2a7,即9a1q3=8a1+a1q6,解得q=2,a1=1,则S3==7.
4.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2Sn,则a4+a5+a6= .?
【解析】根据题意,数列{an}满足:an+1=2Sn,即Sn+1-Sn=2Sn,则有Sn+1=3Sn,又由S1=a1=1,则数列{Sn}为首项为1,公比为3的等比数列,则Sn=1×3n-1=3n-1,
则a4+a5+a6=S6-S3=35-32=234.
答案:234
【补偿训练】
记等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}为等比数列,已知S5=10,且b10=a2+a4,则b5b15= .?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由S5=10,且b10=a2+a4,可得5a1+10d=10,b10=2a1+4d,即有b10=4,b5b15==16.
答案:16
5.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an-1(n∈N
),则S1+S2+…+S100= .?
【解析】设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an-1(n∈N
),①
当n=1时解得a1=1,当n≥2时Sn-1=2an-1-1,②
①-②得an=2an-2an-1,即=2(常数),
所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.
则an=2n-1(首项符合通项).
故Sn=2·2n-1-1=2n-1,
所以S1+S2+…+S100=(21+22+…+2100)-100=-100=2101-102.
答案:2101-102
6.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N
)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
【解析】(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.
解得q=(舍去),或q=2,a1=2.
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.
所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
【补偿训练】
已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=n2+1.等比数列{bn}中b3=9,公比为3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式,以及数列{bn}的前n项和Tn;
(2)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Pn.
【解析】(1)由Sn=n2+1,得S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又上式不适合首项,所以an=.
由b3=b1·32=9得b1=1,
所以bn=3n-1,Tn==(3n-1).
(2)Pn=2×1+3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1,
3Pn=2×1×3+3×32+5×33+7×34+…+(2n-1)·3n,
两式作差得-2Pn=5+2×(32+33+34+…+3n-1)-(2n-1)·3n=5+2×-(2n-1)·3n
=3n-4-(2n-1)·3n=(2-2n)·3n-4,
故Pn=(n-1)·3n+2.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知等比数列{an}的公比为2且a2,a3+2,a4成等差数列,若=32,则n为
( )
A.4
B.5
C.8
D.10
【解析】选A.由题意,得2(a3+2)=a2+a4,
所以2(a1×4+2)=2a1+a1×23,
解得a1=2,所以an=2×2n-1=2n,
因为=32,
所以2×22×23×…×2n=322=210,
即21+2+3+…+n=210,
即1+2+3+…+n=10,
解得n=4.
2.在公差d不为零的等差数列{an}中,a6=17,且a3,a11,a43成等比数列,则d=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.在公差d不为零的等差数列{an}中,a6=17,且a3,a11,a43成等比数列,可得a1+5d=17,且=a3a43,
即(a1+10d)2=(a1+2d)(a1+42d),
解得a1=2,d=3.
3.已知某数列的前n项和Sn=an-3(a为非零实数),则此数列为
( )
A.等比数列
B.从第二项起成等比数列
C.当a≠1时为等比数列
D.从第二项起的等比数列或等差数列
【解析】选D.Sn=an-3(a为非零实数),
当n=1时,a1=S1=a-3,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-3-an-1+3=an-1(a-1),上式对n=1不成立,当a=1时,a1=-2,an=0,n≥2,当a≠0,且a≠1时,a1=a-3,an=(a-1),n≥2.
综上可得此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.
4.已知{an}是等比数列,数列{bn}满足bn=log2an,n∈N
,且b2+b4=4,则a3的值为
( )
A.1
B.2
C.4
D.16
【解析】选C.{an}是等比数列,数列{bn}满足bn=log2an,n∈N
,
且b2+b4=4,则log2(a2·a4)=4,则=24,
整理得a3=±4,由于an>0,
所以a3=-4舍去,故a3=4.
5.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则an等于
( )
A.3×4n
B.3×4n+1
C.
D.
【解析】选C.当n≥1时an+1=3Sn,
则an+2=3Sn+1,
所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,
即an+2=4an+1,
所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.
又a2=3S1=3a1=3.
所以an=
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=2-2an+1,若a2=,则S5= .?
【解析】Sn是数列{an}的前n项和,Sn=2-2an+1,当n≥2时,Sn-1=2-2an,
两式相减得an=-2an+1+2an,所以an+1=an,
又a1=2-2a2=1,a2=,所以{an}是以1为首项,为公比的等比数列,则S5==.
答案:
7.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4= .?
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
因为4a1,2a2,a3成等差数列,
所以4a2=4a1+a3,
所以4q=4+q2,即q2-4q+4=0,
解得q=2,
所以S4==15.
答案:15
8.数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=5+2n(n∈N
),则a5= .?
【解析】根据题意,若a1+a2+a3+…+an=5+2n,①
则a1+a2+a3+…+an-1=5+2(n-1),②
①-②可得:an=2(n≥2),
则an=2n+1(n≥2),则a5=26=64.
答案:64
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}是递增数列,数列{bn}满足bn=,Tn是数列{anbn}的前n项和,求Tn.
【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,
S3=9,a1,a3,a7成等比数列,
可得3a1+3d=9,=a1a7,
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
解得a1=3,d=0或a1=2,d=1,
则an=3或an=n+1.
(2)因为数列{an}是递增数列,所以d>0,
即an=n+1,bn==2n+1,从而anbn=(n+1)·2n+1,
Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1,①,
2Tn=2×23+3×24+4×25+…+(n+1)·2n+2,②,
①-②得-Tn=8+23+24+…+2n+1-(n+1)·2n+2
=8+-(n+1)·2n+2=-n·2n+2,
所以Tn=n·2n+2.
10.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=3an-2,数列{nan}的前n项和为Tn,求满足Tn>100的最小的n值.
【解析】根据题意,数列{an}满足Sn=3an-2,①
当n≥2时,有Sn-1=3an-1-2,②,
①-②可得:an=3an-3an-1,可得2an=3an-1,
当n=1时,有S1=a1=3a1-2,解得a1=1,
则数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=,数列{nan}的前n项和为Tn,
则Tn=1+2×+3×+…+n×,③
则Tn=+2×+3×+…+n×④,
③-④可得-Tn=1+++…+-n×=-2-n×,
变形可得Tn=4+(2n-4)×,若Tn>100,
则4+(2n-4)×>100,
即(2n-4)×>96,经验证可知n≥7.
故满足Tn>100的最小的n值为7.
1.已知数列{an}的通项公式是an=f,其中f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,Sn为数列{an}的前n项和,则S2
019的值为
( )
A.-1
B.0
C.
D.1
【解析】选B.由图象可得=-=,
即T=π,ω==2,再将代入y=sin(2x+φ),可得+φ=2kπ+,k∈Z,
即有φ=2kπ+,k∈Z,可令k=0,可得φ=,
即f(x)=sin,an=f=sin,为最小正周期为6的数列,由a1=,a2=0,a3=-,a4=-,a5=0,a6=,可得一个周期的和为0,
则S2
019=336S6+(a1+a2+a3)=0+0=0.
2.已知递减的等比数列{an}各项均为正数,满足a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由等比数列性质可知a1
·a2
·a3
=
=
8,
所以a2=2,a1·a3=4.
由a1+1,a2+1,a3构成等差数列,可知a1+1+a3=
2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.
联立
,解得
或.
由等比数列{an}递减可知
,于是q=.
所以an=a1·qn-1=4×=.
(2)由(1)可知bn=n·an=n·,
于是Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,
Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,
两式相减得Sn=1×+1×+1×+1×+…+1×-n×
=-n×
=8-(n+2)×,
故Sn=16-(n+2).
PAGE等比数列的前n项和
(20分钟 35分)
1.(2020·太原高一检测)若各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1a5=81,a2=3,则S5=
( )
A.121
B.122
C.123
D.124
【解析】选A.因为a1a5==81,所以a3=9.
又a2=3,所以q=3,a1=1,
故S5==121.
【补偿训练】
设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=,a4=,则S3=
( )
A.或-
B.
C.
D.-
【解析】选A.因为a2=,a4=,
所以q2==,即q=±,
当q=时,a1=,则S3=++=,
当q=-时,a1=-,
则S3=-+-=-.
2.(2020·郑州高一检测)已知等比数列{an}的前k项和为12,前2k项和为48,则前4k项和为
( )
A.324
B.480
C.108
D.156
【解析】选B.由等比数列的前n项和及其性质可得:(48-12)2=12×(S3k-48),
解得:S3k=156.
(156-48)2=(48-12)×(S4k-156),
解得:S4k=480.
3.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=
( )
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为 .?
【解析】显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),
又Sn=(2x·3n-1),所以x=.
答案:
5.一个七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 .?
【解析】设底层所点灯为x盏,则x+++…+=381,所以x=381,解得x=192.
答案:192
6.等比数列{an}中,a1=2,a7=4a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=126,求m.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,
所以q2==4,所以q=±2,
所以an=2n或an=-(-2)n.
(2)由(1)知Sn==2n+1-2
或Sn==[1-(-2)n],
所以2m+1-2=126
或[1-(-2)m]=126(舍去),解得m=6.
【补偿训练】
已知等差数列{an}满足a5=13,a1+a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设Sn是等比数列{bn}的前n项和.若b1=a1,b3=a4-1,求S6.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
又等差数列{an}满足a5=13,a1+a3=8,
所以,解得a1=1,d=3,
所以an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,
又等比数列{bn}中,b1=a1=1,b3=a4-1=9,
所以q2==9,解得q=±3.
当q=-3时,S6==-182;
当q=3时,S6==364.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在公比为2的等比数列{an}中,前n项和为Sn,且S7-2S6=1,则a1+a5=
( )
A.5
B.9
C.17
D.33
【解析】选C.由Sn+1==
=a1+=a1+qSn,因为S7-2S6=1,q=2,
所以a1=1.
所以a1+a5=1+24=17.
2.在等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,S2=3,S4=9,则S6=
( )
A.12
B.18
C.21
D.27
【解析】选C.设数列{an}的公比为q,
因为S2=3,S4=9,所以S4-S2=6,所以q≠-1,
所以S2,S4-S2,S6-S4成以S2为首项,2为公比的等比数列,
所以S6-S4=S2×22=12,
所以S6=S2+(S4-S2)+(S6-S4)=3+6+12=21.
3.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8的值是
( )
A.28
B.32
C.35
D.41
【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q≠1,
因为S3=,S6=,
所以(1-q3)=,(1-q6)=,
解得a1=,q=2.
则a8=×27=32.
4.(2020·全国Ⅱ卷)数列中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.取m=1,则an+1=a1an,
又a1=2,所以=2,
所以是等比数列,则an=2n,
所以ak+1+ak+2+…+ak+10==2k+11-2k+1=215-25,
所以k=4.
5.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1
000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1
000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5===.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q= .?
【解析】设{an}的公比为q,由已知可得q≠1,
则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n=,S奇=.
由题意得=,
所以1+q=3,所以q=2.
答案:2
7.已知数列{an}是单调递减的等比数列,前n项和为Sn,S2=3,a3=,则{an}的公比q= .?
【解析】因为S2=3,a3=,所以+=3,
则{an}的公比q=-,或.
因为数列{an}是单调递减的等比数列,
所以取q=.
答案:
【补偿训练】
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则an= .?
【解析】因为等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=7,S6=63,
所以,解得a1=1,q=2,
所以an=2n-1.
答案:2n-1
8.如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为 .?
【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,
根据题意,设得到的第n个等边三角形的面积为an,
则{an}是以a1=×22=为首项,以q=为公比的等比数列,因为公比q≠1,
故这10个三角形的面积和为
S10===.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且公比q>1,若a2=2,S3=7.
(1)求通项公式an及Sn;
(2)求++…+的值.
【解析】(1)因为a2=2,S3=7,由S3=+2+2q=7,
解得q=2或q=,
又因为q>1,所以q=2,故a1=1,
所以an=2n-1,Sn==2n-1.
(2)因为an=2n-1,所以=4n-1,
所以++…+==.
10.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,n∈N
.
(1)求证:数列{an}为等比数列;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求证:为定值.
【证明】(1)因为Sn=2an-2,n∈N
,
所以Sn-1=2an-1-2,n∈N
,n≥2,
所以an=2an-2an-1,n≥2,an=2an-1,n≥2.
又a1=S1=2a1-2,所以a1=2.所以=2,n≥2.
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知,an=2n,所以=4n.所以==4,
所以数列{}是首项为4,公比为4的等比数列,
所以Tn==(4n-1).
又S2n==2(4n-1),所以==.
即为定值.
记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【解析】(1)设{an}的公比为q.由题设可得
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n.
由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n·
=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
PAGE等比数列的性质
(20分钟 35分)
1.已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2
019=3,则a1
010的值为
( )
A.9
B.
C.27
D.3
【解析】选B.因为数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2
019=3,
所以,
所以a1
010=1×q1
009=.
2.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成
( )
A.511个
B.512个
C.1
023个
D.1
024个
【解析】选B.因为每20分钟分裂一次,
所以经过3小时要分裂9次,即29=512个.
3.在公差不等于零的等差数列{an}中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,则a8=
( )
A.4
B.18
C.24
D.16
【解析】选D.公差不等于零的等差数列{an}中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,
设公差为d,由题意可得=a1·a9,
即(4+d)2=(4-d)(4+7d),求得d=2,
则a8=a2+6d=4+12=16.
4.在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于 .?
【解析】设a1=2,a5=8,
所以a3==4,
所以a2·a3·a4=·a3==43=64.
答案:64
5.已知数列{an}满足log2an+1-log2an=1,则= .?
【解析】因为log2an+1-log2an=1,
所以=2,
所以数列{an}是公比q为2的等比数列,
所以=q2=4.
答案:4
【补偿训练】
已知数列{an}满足an+1=3an,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=
( )
A.5 B.6 C.8 D.11
【解析】选D.根据题意,数列{an}满足an+1=3an,则数列{an}为等比数列,且其公比q=3,
若a2·a4·a6=9,
则(a4)3=a2·a4·a6=9,
则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)
=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.
6.3个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这3个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这3个数.
【解析】由题意,这3个数成等差数列,可设这3个数分别为a-d,a,a+d.
因为a-d+a+a+d=6.
所以a=2,即3个数分别为2-d,2,2+d.
①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),
解得d=6或d=0(舍去),此时3个数分别为-4,2,8.
②若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(舍去),此时3个数分别为8,2,-4.
③若2为等比中项,则有22=(2+d)(2-d),
解得d=0(舍去).
综上可知,这3个数是-4,2,8.
【补偿训练】
有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,前三个数的和为48,后三个数的积为8
000,求这四个数.
【解析】设前三个数分别为a-d,a,a+d,
则有(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.
再设后三个数分别为,b,bq,
则有·b·bq=b3=8
000,即b=20.
所以四个数分别为m,16,20,n.
所以m=2×16-20=12,n==25,
即四个数分别为12,16,20,25.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在等差数列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=( )
A.-
B.-3
C.-6
D.2
【解析】选A.因为a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,所以a2+a14=-6,a2a14=2,
由等差数列的性质可知,a2+a14=2a8=-6,
所以a8=-3,则=-.
2.已知数列{an}满足=anan+2(n∈N
),若a3=1,a7=4a3,则a4a5a6=
( )
A.±8
B.-8
C.8
D.16
【解析】选C.因为数列{an}满足=anan+2(n∈N
),所以{an}是等比数列,
所以a3,a5,a7同号,因为a3=1,a7=4a3,
所以a5==2,所以a4a5a6==8.
3.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=
( )
A.11
B.12
C.14
D.16
【解析】选C.设数列{an}的公比为q,
因为{an}为等比数列,
所以a1a2a3==4,a4a5a6==12,
所以=q9==3,an-1anan+1==(a2·qn-2)3=·q3n-6=324,所以n=14.
4.数列{an}为各项都正的等比数列,a1=1,S3=7.若a1·a2·a3·…·an=433,则n=
( )
A.10
B.11
C.12
D.13
【解析】选C.数列{an}为各项都正的等比数列,a1=1,
则S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=7;
化简得q2+q-6=0,
解得q=2或q=-3(不合题意,舍去);
又a1·a2·a3·…·an=433,
所以1×2×22×23×…×2n-1==266,
即=66,化简得n2-n-132=0,
解得n=12或n=-11(舍去),所以n=12.
5.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,{bn}是等比数列,a1=b1>0,a4=b4>0,则下列说法正确的是
( )
A.a2+a3>b2+b3
B.a2+a3
C.a2+a3=b2+b3
D.a2+a3与b2+b3的大小不确定
【解析】选A.因为数列{an}是公差不为零的等差数列,{bn}是等比数列,a1=b1>0,a4=b4>0,
所以a2+a3=a1+a4=b1+b4=b1(1+q3)=
b1(1+q)(1-q+q2),b2+b3=b1q(1+q),
因为数列{an}是公差不为零的等差数列,
a1=b1>0,a4=b4>0,
所以q>0,q≠1,所以a2+a3>b2+b3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是 .?
【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,=m,所以月平均增长率为-1.
答案:-1
7.在正项等比数列{an}中,an+1【解析】因为数列{an}是正项等比数列,
且a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,
联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,
因为an+1所以q2==,
所以==.
答案:
【补偿训练】
已知数列{an}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为 .?
【解析】由等比数列{an}的性质可得,a3a11=,
由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,
则a3a11=.
则tan(a1a13)=tan=tan=.
答案:
8.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为 .?
【解析】因为=,所以x=1.
因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,
故后两格中数字分别为5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.
所以y=5×,z=6×.
所以x+y+z=1+5×+6×==2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知等比数列{an},a1a2=-,a3=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对任意k∈N
,ak,ak+2,ak+1成等差数列.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
若a1a2=-,则q=-,
若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,解可得:=1,则a1=1,则有q=-,故an=.
(2)根据题意,an=,则ak=,ak+1=,ak+2=;则有ak+ak+1-2ak+2=+-2
==0,
则有ak+ak+1=2ak+2,故ak,ak+2,ak+1成等差数列.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.设cn=an-1,
(1)求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
【解析】(1)因为an+Sn=n,①
所以an+1+Sn+1=n+1,②
②-①得an+1-an+an+1=1.
所以2an+1=an+1,所以2(an+1-1)=an-1,
所以=,
因为首项c1=a1-1,
又a1+a1=1,所以a1=,
所以c1=-,
又cn=an-1,所以q=.
所以{cn}是以-为首项,公比为的等比数列.
(2)由(1)可知cn=·=-,
所以an=cn+1=1-.
所以当n≥2时,bn=an-an-1=1--=-=.
又b1=a1=,代入上式也符合,
所以bn=.
1.在等比数列{an}中,a1=8,+16=8,则a9的值为 .?
【解析】=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,
所以+16·=8,即+16q2=8,解得q2=,
所以a9=a1q8=8×=.
答案:
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N
).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.
【解析】(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N
).所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,
n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,
n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3×n,
所以Sn+1=2an+1-3×(n+1),
两式相减,得an+1=2an+3,
bn=an+3,bn+1=an+1+3,
所以===2,
得bn+1=2bn(n∈N
),且b1=6,
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列,
所以bn=6×2n-1,
所以an=bn-3=6×2n-1-3=3(2n-1).
【补偿训练】
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N
).
(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式;
(2)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,a2=a,bn=anan+1,b3=12,
所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,
又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,
所以d=1,a=2,所以an=n.
(2){an}不能为等比数列,理由如下:
因为bn=anan+1,{bn}是公比为a-1的等比数列,
所以===a-1,
所以a3=a-1,
假设{an}为等比数列,由a1=1,a2=a得a3=a2,
所以a2=a-1,此方程无解,
所以数列{an}一定不为等比数列.
PAGE等
比
数
列
(20分钟 35分)
1.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8,则an=
( )
A.2n-1
B.2n
C.3n-1
D.3n
【解析】选A.若a6=8a3=8,
所以a1q5=8a1q2=8q2,
即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.
2.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于
( )
A.6
B.-6
C.±6
D.±12
【解析】选C.因为a==,b2=(-1)×(-16)=16,所以b=±4,所以ab=±6.
3.某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元,按照复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加入本金,以计算下期的利息)计算,到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为
( )
参考数据:1.058≈1.48,1.059≈1.55,1.0510≈1.63,1.0511≈1.71
A.14.8万
B.15.5万
C.16.3万
D.17.1万
【解析】选C.由题意知,该家庭2021年1月1日本金加收益和为10·(1+5%)=10×1.05,2022年1月1日本金加收益和为10×1.052,2023年1月1日本金加收益和为10×1.053,…,2030年1月1日本金加收益和为10×1.0510≈10×1.63=16.3.
所以到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.
4.正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q= .?
【解析】因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,所以,
解得q=3.所以{an}的公比q=3.
答案:3
5.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4= .?
【解析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若2a2为3a1和a3的等差中项,
则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,
即q2-4q+3=0,解得q=1或3;
又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.
答案:27
6.在等比数列{an}中,
(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;
(2)若a4=2,a7=8,求an.
【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,
q==-3,所以a5=405.
(2)因为所以
由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,
于是a1==,
所以an=a1qn-1=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知各项均为正数的等比数列{an}中,公比q=2,a2a4=4,则a1=
( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选B.各项均为正数的等比数列{an}中,公比q=2,a2a4=4,
所以×24=4,所以a1=.
2.若a,2a+2,3a+3成等比数列,则实数a的值为
( )
A.-1
B.-4
C.1
D.4
【解析】选B.因为a,2a+2,3a+3成等比数列,
所以(2a+2)2=a(3a+3),即a2+5a+4=0,
解得a=-1或a=-4,
又a=-1时,这三个数为-1,0,0,不是等比数列,故舍去.
所以a=-4.
3.在等比数列{an}中,a1+a3=,a4+a6=3,则其公比为
( )
A.-
B.
C.2
D.4
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a3=,a4+a6=3,
所以q3(a1+a3)=q3·=3,解得q=2.
4.已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7=
( )
A.16
B.64
C.128
D.256
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a6+a4=2(a3+a1),
所以q5+q3=2(q2+1),
解得q3=2.
则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.
5.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T,该物质的质量会衰减到原来的一半,铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍,而120小时后两种物质的质量相等,已知物质A的半衰期为7.5小时,则物质B的半衰期为
( )
A.10小时
B.8小时
C.12小时
D.15小时
【解析】选B.=16.设mB=1.则mA=2.
设物质B的半衰期为t小时.
由题意可得:2×=,解得t=8.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= .?
【解析】由已知可知(a+1)2=(a-1)(a+4),
解得a=5,所以a1=4,a2=6,
所以q===,
所以an=4×.
答案:4×
7.在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an= .?
【解析】因为数列{an}中,a2=,a3=,
且数列{nan+1}是等比数列,
2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,
所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以nan+1=2n,
解得an=.
答案:
【补偿训练】
等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg
an}的通项公式为 .?
【解析】因为a5=a4q,所以q=2,
所以a1==,
所以an=·2n-1=2n-3,
所以lg
an=(n-3)lg
2.
答案:lg
an=(n-3)lg
2
8.已知等比数列{an},an>0,n∈N
,且2a1+3a2=33,9=a2a6,则a2
020= .?
【解析】设等比数列{an}的公比为q>0,
因为2a1+3a2=33,9=a2a6,an>0,n∈N
,
所以a1(2+3q)=33,9q4=q6,
解得a1=q=3.
所以an=3n.
则a2
020=32
020.
答案:32
020
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数列{an}是一个等差数列且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项an和前n项和Sn;
(2)设cn=,bn=,证明数列{bn}是等比数列.
【解析】(1)设{an}的公差为d,
由已知条件得,,
解得a1=3,d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5,
Sn=na1+d=-n2+4n.
(2)因为an=-2n+5,
所以cn===n;
所以bn==2n.
因为==2(常数),
所以数列{bn}是等比数列.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,
两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:
an+1-1=(an-1).
又因为cn=an-1,
所以cn+1=cn,
又因为a1+a1=1,即a1=,
所以c1=a1-1=-1=-,
所以数列{cn}是以-为首项,为公比的等比数列;
(2)由(1)可知cn=an-1=-·=-,
所以an=1-.
【补偿训练】
数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列,记bn=a2n-1+a2n(n∈N
).
(1)求a3,a4,a5,a6的值;
(2)求证:{bn}是等比数列.
【解析】(1)因为{anan+1}是公比为3的等比数列,
所以anan+1=a1a2·3n-1=2·3n,
所以a3==6,a4==9,a5==18,a6==27.
(2)因为{anan+1}是公比为3的等比数列,
所以anan+1=3an-1an,即an+1=3an-1,
所以a1,a3,a5,…,,…,与a2,a4,a6,…,a2n,…,都是公比为3的等比数列.
所以a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1,bn=a2n-1+a2n=5·3n-1,
所以==3.
故{bn}是以5为首项,3为公比的等比数列.
1.已知数列{an}是等比数列,有下列四个命题:
①数列{|an|}是等比数列;
②数列{anan+1}是等比数列;
③数列是等比数列;
④数列{lg
}是等比数列.
其中正确的命题是 .(填序号)?
【解析】由{an}是等比数列可得=q(q为常数,q≠0).
①==|q|为常数,故是等比数列;
②===q2为常数,故是等比数列;
③==为常数,故是等比数列;
④数列an=1是等比数列,但是lg
=0不是等比数列.
答案:①②③
2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若任意n∈N
,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,则d==4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2,
故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N
).
设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.
c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,
设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2.
则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N
).
故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N
).
(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N
).当n<3时,bn+1-bn>0,bn即b1当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6,
所以k=3或k=4.
PAGE等差数列习题课
(20分钟 35分)
1.(2020·汉中检测)数列{an}的前n项的平均值是n+1,则这个数列的第18项是
( )
A.13
B.33
C.36
D.37
【解析】选C.由数列{an}的前n项的平均值是n+1,
所以Sn=n(n+1)=n2+n,
所以Sn-1=n(n-1)=n2-n,n≥2,
所以an=Sn-Sn-1=2n,n≥2,
所以这个数列的第18项是a18=2×18=36.
【补偿训练】
已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则过P(1,a1),Q(2,a2)两点的直线的斜率是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为Sn=n2+n,
所以a1=S1=2,a2=S2-S1=6-2=4.
所以过P,Q两点直线的斜率k===2.
2.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为
( )
A.11
B.99
C.120
D.121
【解析】选C.因为an==-,
所以Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120.
3.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2
km,以后每分钟通过的路程增加2
km,在达到离地面240
km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是
( )
A.10分钟
B.13分钟
C.15分钟
D.20分钟
【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=·n=240,
解得n=15或n=-16(舍去).
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+2-3,则an= .?
【解析】根据题意,数列{an}满足Sn=2n+2-3,
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1,
当n=1时有a1=S1=8-3=5,不符合an=2n+1,
故an=.
答案:
5.(2020·大庆高一检测)已知在数列{an}中,若a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|= .?
【解析】由已知可以判断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.
因为a1<0,d>0,a21=0,a22>0,所以数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30×(-60)+×3-2×=765.
答案:765
6.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知解得a1=1,d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)bn===
所以Tn
=
==-.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知公差不为0的等差数列{an}满足=a1·a4,Sn为数列{an}的前n项和,则的值为
( )
A.-2
B.-3
C.2
D.3
【解析】选C.因为公差d≠0的等差数列{an}
满足=a1·a4,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),即a1=-4d,
则====2.
2.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于
( )
A.200
B.-200
C.400
D.-400
【解析】选B.由题意可得数列{an}的通项公式为an=
(-1)n-1·(4n-3),
所以a1=1,a2=-5,a3=9,a4=-13,…,a99=393,a100=-397.所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=-4×50=-200.
3.(2020·大庆高一检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是
( )
A.174斤
B.184斤
C.191斤
D.201斤
【解析】选B.用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,
所以8a1+×17=996,解得a1=65.
所以a8=65+7×17=184.
4.已知数列{an}:,+,++,+++,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为
( )
A.4
B.4
C.1-
D.-
【解析】选A.因为an===,所以bn===4.
所以Sn=41-+-+-+…+-=4.
5.正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足Sn·-Sn-1·=2(n≥2),则a10=
( )
A.72
B.80
C.90
D.82
【解析】选A.由Sn·-Sn-1·=
2(n≥2),两边同除以,得-=2;而S1=a1=1,所以=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=4n2-4n+1;再根据an=Sn-Sn-1,得an=8n-8,所以a10=8×10-8=72.
【补偿训练】
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则
|a1|+|a2|+…+|a10|
的值为
( )
A.61
B.62
C.65
D.67
【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,
所以an=
由通项公式得a1所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.数列{an}的通项公式an=ncos
,其前n项和为Sn,则S2
019等于 .?
【解析】由题意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2,k∈N,故S2
019=504×2+a2
017+a2
018+a2
019=1
008+0-2
018+0=-1
010.
答案:-1
010
7.(2020·郑州高二检测)若数列{an}满足a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,则a2
019= .?
【解析】数列{an}满足a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,①
当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=
(n-1)2an-1,②
①-②得(n-1)2an-1=(n2-n)an,
所以=,…,=,
所有的式子相乘得=,所以an=(n≥2),
因为a1==12,即首项符合通项公式,
故an=,所以a2
019==.
答案:
【补偿训练】
已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an= .?
【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①
当n≥2,n∈N
时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1
=(n-1)n(n+1),②
①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),
所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N
).
又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,
所以an=3(n+1),n∈N
.
答案:3(n+1)(n∈N
)
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N
,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10= .?
【解析】当n=2时,S3+S1=2(S2+1),
即2a1+a2+a3
=2(a1+a2+1),
又a1=1,a2=2,解得a3=4.
当n>1,n∈N
时,
Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),
两式相减得an+2+an=2an+1,
故数列{an}从第二项起是首项为2,公差为2的等差数列,所以S10=1+2×9+×2=91.
答案:91
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.数列{an}满足an=6-(n∈N
,n≥2).
(1)求证:数列是等差数列.
(2)若a1=6,求数列{lg
an}的前999项的和S.
【解析】(1)数列{an}满足,an=6-(n∈N
,n≥2),所以-=-=
=,所以数列是等差数列.
(2)因为a1=6,所以=.
由(1)知:=+=,
所以an=,所以lg
an=lg
3+lg(n+1)-lg
n.
所以数列{lg
an}的前999项和S=999lg
3+(lg
2-lg
1+lg
3-lg
2+…+lg
1
000-lg
999)
=999lg
3+lg
1
000=999lg
3+3.
10.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).
(1)若a3=,求λ的值;
(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为Sn=λan-1,
所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.由a1=λa1-1,可知λ≠1,
所以a1=,a2=,a3=.
因为a3=,所以=,
解得λ=0或λ=2.
(2)假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,
则2a2=a1+a3,由(1)可得=+,
所以==+,
即=0,显然不成立,
所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N
),则S21的值为 .?
【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,
由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,
则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=+=231.
答案:231
2.在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,求数列的前100项和S100.
【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,
所以第1列第n行的数为2+2(n-1)=2n,
第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,
所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,
所以==-,
所以数列的前100项和S100=1-+-+…+-=1-=.
PAGE等差数列的前n项和
(20分钟 35分)
1.(2020·大庆高一检测)正项等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3+a7-+15=0,则S9=
( )
A.35
B.36
C.45
D.54
【解析】选C.在正项等差数列{an}中,由等差数列的性质得a3+a7=2a5,
因为a3+a7-+15=0,
所以2a5-+15=0,即-2a5-15=0,
解得a5=5或a5=-3,
因为数列{an}是正项等差数列,所以a5=5,
所以S9==9a5=9×5=45.
【补偿训练】
若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于
( )
A.12
B.13
C.14
D.15
【解析】选B.因为S5=5a3=25,
所以a3=5,所以d=a3-a2=5-3=2,
所以a7=a2+5d=3+10=13.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=
( )
A.63
B.45
C.36
D.27
【解析】选B.由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,
所以a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=45.
3.(2020·大连高二检测)等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选C.因为等差数列{an}中,|a6|=|a11|,且公差d>0,
所以a6<0,a11>0,a6=-a11,a1=-d,
有Sn=[(n-8)2-64],
所以当n=8时前n项和取最小值.
4.(2020·惠州高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a5=25,S6=57,则{an}的公差为 .?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因为a4+a5=25,S6=57,
所以2a1+7d=25,6a1+d=57,
解得d=3.
答案:3
【补偿训练】
(2020·西安高二检测)在3与156之间插入50个数,使这52个数成等差数列,则插入的50个数的和等于 .?
【解析】根据题意,在3与156之间插入50个数,使这52个数成等差数列,
设这个等差数列为{an},且a1=3,a52=156,插入的50个数的和S===3
975.
答案:3
975
5.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .?
【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,
所以数列为1,7,13,19,…,
即an=1+6(n-1)=6n-5,
所以数列的前n项和为=3n2-2n.
答案:3n2-2n
6.已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,a10=16,a8=10.
(1)判断2
024是否是数列{an}中的项,并说明理由;
(2)求Sn的最值.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
又因为a10=16,所以d==3.
所以a1+7×3=10,解得a1=-11.
所以an=-11+3(n-1)=3n-14,
令2
024=3n-14,解得n=不是整数,
所以2
024不是数列{an}中的项.
(2)由3n-14≤0,可得n≤4+.所以Sn有最小值,无最大值.最小值为S4==-26.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2=1,S5+S7>31,则S10的取值范围是
( )
A.(45,+∞)
B.(50,+∞)
C.(55,+∞)
D.(60,+∞)
【解析】选A.因为a2=1,S5+S7>31,
所以S5+S7=5a3+7a4=5(1+d)+7(1+2d)>31,
所以d>1,所以S10=10a1+45d=10(1-d)+45d=10+35d>45.
2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是
( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
【解析】选B.因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn,所以λ=-1.
3.一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差为10°,最小内角为100°,则边数n=
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.由等差数列的求和公式和多边形的内角和公式可得100n+×10=(n-2)×180,
化简可得n2-17n+72=0,即(n-8)(n-9)=0,
解得n=8或n=9.
当n=9时最大内角为100°+8×10°=180°,不满足多边形为凸n边形,应舍去.所以n=8.
4.已知等差数列{an}中,前m项(m为偶数)和为126,其中偶数项之和为69,且am-a1=20,则数列{an}的公差为
( )
A.-4
B.4
C.6
D.-6
【解析】选B.由题意可得,a1+a3+…+am-1=57,a2+a4+…+am=69,所以57+=69,
因为am-a1=(m-1)d=20,解得,d=4.
【补偿训练】
在等差数列{an}中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为
( )
A.9
B.10
C.11
D.12
【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,①
an+an-1+an-2+an-3=60,②
又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
所以①+②得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.③
Sn==100.④
将③代入④中得n=10.
5.若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且<-1,那么使Sn取最小正值的项数n=
( )
A.15
B.17
C.19
D.21
【解析】选C.由于Sn有最大值,所以d<0,
因为<-1,所以<0,
所以a10>0>a11,且a10+a11<0,
所以S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0,S19=19a10>0,
又a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…,
所以S10>S9>…>S2>S1>0,S10>S11>…>S19>0>S20>S21>…,
又S19-S1=a2+a3+…+a19=9(a10+a11)<0,
所以S19为最小正值.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·南昌高二检测)已知数列{an}中a1=-1,且an+1=an+3n-1,则数列的通项公式an= .?
【解析】依题意,因为an+1=an+3n-1,
所以an+1-an=3n-1,所以,
等式左右两端相加得:an-a1=2+5+…+(3n-4)=×(n-1)=,(2+5+…+(3n-4)为首项为2,公差为3的等差数列的前(n-1)项的和),
又因为a1=-1,所以an=.
答案:
7.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则= .?
【解析】设该等差数列的公差为d,
因为a2=3a1,
所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),
所以====4.
答案:4
【补偿训练】
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m= .?
【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.
答案:4
8.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5,有下列四个结论:①d<0;②S11>0;③S12<0;④S8>S5,正确结论的序号是 .(填序号)?
【解析】依题意,因为S6>S7>S5,
所以a7=S7-S6<0,a6=S6-S5>0,a6+a7=S7-S5>0.
所以d=a7-a6<0,故①对;S11=11a6>0,故②对;
S12=×12=×12>0,故③不正确;S8-S5=a6+a7+a8=3a7<0,故④错误.
答案:①②
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.
(1)求通项an.
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
【解析】(1)由a3=10,S6=72,得
所以an=4n-2.
(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.
由得≤n≤,
因为n∈N
,所以n=15.所以{bn}的前15项为负值,
所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.
10.已知{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,且S7=7,S15=75,求数列的前n项和Tn.
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+d.
因为S7=7,S15=75,
所以即
解得
所以=a1+d=-2+,
所以-=,
所以数列是等差数列,且其首项为-2,公差为.
所以Tn=n2-n.
1.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图(1)所示).将1,2,…,9填入3×3的方格内(如图(2)所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格中,使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n≥3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn,如N3=15,那么N9=
( )
A.41
B.45
C.369
D.321
【解析】选C.根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2.根据等差数列的求和公式得Nn=,
则N9==369.
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;
(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
则所以
所以an=4-6(n-1)=10-6n,Sn=na1+d=7n-3n2.
(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2
=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)
=-6n2-6n+4,
若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.
PAGE等差数列的性质
(20分钟 35分)
1.(2020·榆林高二检测)已知数列{an}是等差数列,a7+a13=20,则a9+a10+a11=( )
A.36
B.30
C.24
D.1
【解析】选B.由于a7+a13=2a10=20,即a10=10,
故a9+a10+a11=3a10=30.
【补偿训练】
已知等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为数列{an}是等差数列,
所以2a3=a1+a5=10,
所以a3=5,
又a4=7,所以数列{an}的公差d=a4-a3=2.
2.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
【解析】选C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{an},且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,
由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值
为( )
A.12
B.8
C.6
D.4
【解析】选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
所以a8=8,又d≠0,所以m=8.
【补偿训练】
在等差数列{an}中,a1=,a2+a5=4,an=33,则n是( )
A.48 B.49 C.50 D.51
【解析】选C.a1=,a2+a5=2a1+5d=4,
所以d=,
所以an=a1+(n-1)d=+(n-1)=33,
所以n=50.
4.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是( )
A.公差为-1的等差数列
B.公差为20的等差数列
C.公差为-20的等差数列
D.公差为19的等差数列
【解析】选D.(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.
所以由等差数列性质知数列{an+bn}是公差为19的等差数列.
5.如果等差数列{an}中,a1=2,a3=6,则数列{2an-3}是公差为________的等差数列.?
【解析】因为a3-a1=6-2=4,
所以2d=4,即d=2.
所以{2an-3}的公差为2d=4.
答案:4
6.已知数列{an}为等差数列,且公差为d.
(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
【解析】(1)等差数列{an}中,
a15=8,a60=20,则
解得d=,a65=a60+5d=20+=.
(2)数列{an}为等差数列,
且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,
解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.
a5=a2+3d,
即13=4+3d或4=13+3d,
解得d=3或d=-3.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=( )
A.7
B.14
C.21
D.7(n-1)
【解析】选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.
2.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则
log6(a5+a7+a9)的值是( )
A.-2
B.-
C.2
D.
【解析】选C.因为an+1-an=3,
所以{an}为等差数列,设其公差为d,则d=3.
a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,
a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,
所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.
补偿训练】
在等差数列{an}中,a2
000=log27,a2
022=log2,则a2
011=( )
A.0
B.7
C.1
D.49
【解析】选A.因为数列{an}是等差数列,
所以由等差数列的性质可知2a2
011=a2
000+a2
022=log27+log2=log21=0,故a2
011=0.
3.设等差数列{an}的公差为d,若数列{2a1an}为递减数列,则( )
A.d<0
B.d>0
C.a1d<0
D.a1d>0
【解析】选C.因为数列{2a1an}为递减数列,a1an=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,
所以a1d<0.
4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2
500元,第5个月利润为4
000元,第m个月后该网店的利润超过5
000元,则m等于( )
A.6
B.7
C.8
D.10
【解析】选B.设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{an},
则a2=2
500,a5=4
000.
由a5=a2+3d,即4
000=2
500+3d,得d=500.
由am=a2+(m-2)×500=5
000,得m=7.
【补偿训练】
《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为( )
A.个
B.个
C.个
D.个
【解析】选C.易得中间的一份为20个面包,
设最小的一份的量为a1,公差为d(d>0),
根据题意,有[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得a1=.故最小一份的量为个.
5.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法.
(1)数列{an}是递增数列;
(2)数列{nan}是递增数列;
(3)数列是递增数列;
(4)数列{an+3nd}是递增数列.其中正确的是( )
A.(1)(2)
B.(3)(4)
C.(2)(3)
D.(1)(4)
【解析】选D.因为an=a1+(n-1)d,d>0,
所以an-an-1=d>0,说法(1)正确;
nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d,与n的大小和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增,说法(2)不正确;
=+d,所以-=,
当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,
但d>a1不一定成立,则(3)不正确;
设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.
所以数列{an+3nd}是递增数列,(4)正确.
综上,正确的说法为(1)(4).
【补偿训练】
若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有( )
①{an+an+1};②{};③{an+1-an};④{2an};⑤{2an+n}.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.设等差数列{an}的公差为d.对于①,
(an+an+1)-(an-1+an)
=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),
所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;
对于②,-=(an+1-an)(an+an+1)
=d(an+an+1)≠常数,所以{}不是等差数列;
对于③,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为常数列;
所以{an+1-an}为等差数列;
对于④,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列;
对于⑤,(2an+1+n+1)-(2an+n)=2d+1,
所以{2an+n}为等差数列.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·成都高二检测)等差数列{an}中,a1=1,a9=21,则a3与a7等差中项的值为________.?
【解析】根据等差数列的性质可知,a3+a7=a1+a9=1+21=22,所以a3与a7的等差中项为(a3+a7)=11.
答案:11
7.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.?
【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,
则解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.
所以这三个数的积为-21.
答案:-21
8.在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为________.?
【解析】方法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,
(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.
方法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)
=3a1+9d=39,所以a1+3d=13,①
因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)
=3a1+12d=33.
所以a1+4d=11,②
联立①②解得
所以a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)
=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27.
答案:27
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数列{an},an=2n-1,bn=a2n-1.
(1)求{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}是否为等差数列?说明理由.
【解析】(1)因为an=2n-1,bn=a2n-1,
所以bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.
(2)由bn=4n-3,知bn-1=4(n-1)-3=4n-7.
因为bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4,b1=4×1-3=1,
所以{bn}是首项为1,公差为4的等差数列.
10.已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).
(1)若a20=30,求公差d;
(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.
【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.
(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),
a30=10,
当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈.
1.如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________.?
【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19.
又{cn}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.
答案:19
2.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?
【解析】(1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N
.所以b1=a3=8-5×3=-7,
b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
所以数列{bn}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d′=-20,所以bn=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1,n∈N
,
所以当n=110时,m=4×110-1=439,
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
PAGE等
差
数
列
(20分钟 35分)
1.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B的度数为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.因为A,B,C的度数成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,
所以3B=180°,所以B=60°.
2.已知等差数列{an}中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=,则公差d=( )
A.0
B.
C.2
D.0或
【解析】选B.根据题意知d≠0,a4+a8=?a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.
又a1=2,则4+10d=(2+2d)2,
解得d=或d=0(舍去).
【补偿训练】
在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=( )
A.50
B.49
C.48
D.47
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,
因为a1=,a4+a5=,
所以2a1+7d=,解得d=,
则an=+(n-1)×=,
则ak==33,解得k=50.
3.下列说法中正确的个数是( )
(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;
(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;
(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;
(4)若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】选B.对于(1),取a=1,b=2,c=3?a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.
对于(2),取a=b=c?2a=2b=2c,(2)正确;
对于(3),因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.
所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正确;
对于(4),取a=b=c≠0?==,(4)正确.
4.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.an=2+(n-1)×3=3n-1,
bn=-2+(n-1)×4=4n-6,
令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.
5.数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=________.?
【解析】因为{an}是等差数列,所以an+1-an=常数,
所以[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)
=2an+a+1=常数,所以2a=0,所以a=0.
答案:0
6.已知等差数列{an}中满足a1=1,a3=-4,
(1)求通项公式an;
(2)求数列{an}中的最大项与最小项.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a1=1,a3=-4,
所以1+2d=(1+d)2-4,解得d=±2.
所以an=1±2(n-1)=2n-1或3-2n.
(2)an=2n-1时,数列{an}单调递增,n=1时,取得最小值为a1=1,无最大值;
an=3-2n时,数列{an}单调递减,n=1时,
取得最大值为a1=1,无最小值.
【补偿训练】
在等差数列{an}中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之间共有多少项?
【解析】由题意,得d=a2-a1=116-112=4,
所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.
令450≤an≤600,解得85.5≤n≤123,
又因为n为正整数,故有38项.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是( )
A.a=-b
B.a=3b
C.a=-b或a=3b
D.a=b=0
【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=,所以=,
即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.
2.已知数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公差为2的等差数列,则a3
等于( )
A.9
B.5
C.4
D.2
【解析】选A.由题意可得,an-an-1=1+2(n-1)=2n-1,a1=1,故a2=4,a3=9.
3.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为( )
A.7或-3
B.log37
C.log27
D.4
【解析】选C.因为log3(2x+11)-log3(2x-1)=
log3(2x-1)-log32,所以=,
即22x-4·2x-21=0,
解得2x=7或2x=-3(舍去),所以x=log27.
4.等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围
是( )
A.d>
B.d<
C.D.【解析】选D.由题意所以
所以【补偿训练】
已知在等差数列{an}中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,则公差为( )
A.-3 B.3 C.4 D.-4
【解析】选A.因为等差数列{an}中,首项为20,
公差是整数,从第8项开始为负项,
所以a1=20,且a7=a1+6d≥0,
a8=a1+7d<0,所以20+6d≥0,且20+7d<0,
解得-≤d<-,又d为整数,所以d=-3.
5.(2020·随州高二检测)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为( )
A.15
B.16
C.17
D.18
【解析】选B.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,
则这个新数列{cn}为:2,14,26,….
首项c1=2,公差d=12.
所以cn=2+12(n-1)=12n-10.
令12n-10≤190,解得n≤16.
所以这个新数列的项数为16.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,由x,2x+1,4x+2成等差数列,得2(2x+1)=x+4x+2,解得x=0,
所以a1=0,a2=1,公差d=1,
故a5=a1+4d=4.
答案:4
7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=,且+=(n≥2),则an=________.?
【解析】因为+=,
所以数列是等差数列,设其公差为d,则公差d=-=.
所以=+(n-1)d=1+(n-1)=.
所以an=.
答案:
【补偿训练】
正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N
,n≥2),则a7=________.?
【解析】因为2=+(n∈N
,n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,
以d=-=4-1=3为公差的等差数列,
所以
=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=,n≥1.
所以a7==.
答案:
8.若在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1(d1≠0),若在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2(d2≠0),那么=________.?
【解析】在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1,则有x+4d1=y①,在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2,则有x+5d2=y②,用①-②可得:4d1=5d2,就有=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.数列{an}是等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,求数列{an}的通项公式an.
【解析】a1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,
a3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7.
因为数列{an}是等差数列,所以2a2=a1+a3,
即0=2x2-8x+6,解得x=1或x=3.
当x=1时,a1=-2,a2=0,a3=2.
由此可求出an=2n-4.
当x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2.
由此可求出an=4-2n.
综上所述:当x=1时,an=2n-4,
当x=3时,an=4-2n.
10.在数列{an}中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=.
(1)证明:数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得
=+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,
所以数列{bn}为等差数列,公差为1.
(2)因为{bn}的首项b1==1.
所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,
所以=n,
所以an=n·2n-1,n∈N
.
【补偿训练】
已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N
).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)由==
==
=+,得-=,n∈N
,
故数列是等差数列.
(2)由(1)知=+(n-1)×=,
所以an=,n∈N
.
1.我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷(guǐ)长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1
350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为( )
A.953分
B.1
052分
C.1
151分
D.1
250分
【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,
且“冬至”时日影长度最大,为1
350分;
“夏至”时日影长度最小,为160分.
从“冬至”到“立春”有:“小寒”和“大寒”,且日影长变短,所以“立春”时日影长度为:1
350+×3=1
052(分).
2.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,bn=.
当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;
当n=4,5时,2≤<3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;
当n=9,10时,4≤<5,bn=4.
所以b1+b2+…+b10=1×3+2×2+3×3+4×2=24.
PAGE数列的通项公式与递推公式
(20分钟 35分)
1.数列,,,,…的递推公式可以是( )
A.an=(n∈N
)
B.an=(n∈N
)
C.a1=,an+1=an(n∈N
)
D.a1=,an+1=2an(n∈N
)
【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为a1=,an+1=an(n∈N
).
2.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的第4项是( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.由a1=1,所以a2=a1+=1,
a3=a2+=,a4=a3+=.
【补偿训练】
数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=( )
A.-3
B.-11
C.-5
D.19
【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,
a4=a3+a2=7+5=12,
a5=a4+a3=12+7=19.
3.已知数列{an},a1=1,ln
an+1-ln
an=1,则数列{an}的通项公式是( )
A.an=n
B.an=
C.an=en-1
D.an=
【解析】选C.因为ln
an+1-ln
an=1,所以ln=1.所以=e.由累乘法可得an=en-1.
4.已知数列{an}满足a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.?
【解析】因为an=nan-1,且n≥2,所以
当n=2时,a2=2a1=2;
当n=3时,a3=3a2=6;
当n=4时,a4=4a3=24;
当n=5时,a5=5a4=120.
答案:120
5.已知数列{an}通项公式为an=|n-|,则an的最小值为________,此时n的值为________.?
【解析】依题意,an=
当n≤3且n∈N
时,an单调递减,所以最小值为a3=;
当n≥4且n∈N
时,an单调递增,所以最小值为a4=;
综上an的最小值为,此时n的值为3.
答案: 3
6.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1=1,an+1=an+(n∈N
);
(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N
).
【解析】(1)a1=1,a2=,a3==2,a4=.猜想an=.
(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如表定义函数f(x):
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则a2
021的值是( )
A.1
B.2
C.5
D.4
【解析】选D.a1=4,an=f(an-1),
所以a2=f(a1)=f(4)=1,
a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,
a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1,
由上可知,数列{an}是4,1,5,2,4,1,…,是周期为4的周期数列,a2
021=a2
020+1=a1=4.
【补偿训练】
已知,在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2
012=( )
A.3
B.-3
C.6
D.-6
【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,
a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,…
故知{an}是周期为6的数列,
所以a2
012=a2=6.
2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.
他们研究过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,设第n个五角形数为an,则当n≥2时,an与an-1的关系为( )
A.an=an-1+n+2
B.an=an-1+3n-2
C.an=an-1+2n
D.an=an-1+3n
【解析】选B.观察图形,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n≥2时,an=an-1+3n-2.
3.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N
),则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n-1
B.an=
C.an=n2
D.an=n
【解析】选D.方法一:由已知整理,得(n+1)an=nan+1,
所以=,所以数列是常数列,且==1,所以an=n.
方法二:当n≥2时,=,=,…,=,=,两边分别相乘,得=n.因为a1=1,所以an=n.又a1=1也符合上式,所以an=n.
4.已知an=(n∈N
),则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别
是( )
A.a1,a30
B.a1,a9
C.a10,a9
D.a10,a30
【解析】选C.an==1+,该函数在(0,)和(,+∞)上都是递减的,图象如图,
因为9<<10.所以这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10,a9.
5.已知数列{an}满足an=若对于任意的n∈N
都有anA.(1,4)
B.(2,5)
C.(1,6)
D.(4,6)
【解析】选A.因为对于任意的n∈N
都有an解得1故实数a的取值范围是(1,4).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N
),则=________.?
【解析】依题意得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,解得a3=,所以a4=+(-1)4,解得a4=3,所以3a5=3+(-1)5,解得a5=,得=.
答案:
7.已知数列{an}满足a1=2,a2=5,a3=23,且an+1=αan+β,则α,β的值分别为________.?
【解析】因为an+1=αan+β,
所以即解得
答案:6,-7
8.已知an=n2-tn+2
020(n∈N
,t∈R),若数列{an}中最小项为第3项,则t∈________.?
【解析】因为已知an=n2-tn+2
020(n∈N
,t∈R),
因为数列{an}中最小项为第3项,所以<<,求得
5答案:(5,7)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=,设an=f(n)(n∈N
).
(1)求证:an<1;
(2){an}是递增数列还是递减数列?为什么?
【解析】(1)an=f(n)=
=1-
<1.
(2)因为an+1-an=-
=-
=>0,
所以an+1>an,所以{an}是递增数列.
10.已知数列{an}满足a1=,n≥2时,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公式.
【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.
所以n≥2时,=+++…+=2+=n+1.所以=n+1,所以当n≥2时,an=.当n=1时,a1=也适合上式,所以an=(n∈N
).
1.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
(n≥3,n∈N
),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2
019项的和为( )
A.672
B.673
C.1
346
D.2
019
【解题指南】由已知写出数列{an}的前若干项,观察发现此数列周期为3,继而可得解.
【解析】选C.因为{an}是“兔子数列”被2整除后的余数构成的数列,所以由“兔子数列”得a1=1,a2=1,a3=0,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,
由不完全归纳可得{an}是以3为周期的数列,
所以S2
019=673(a1+a2+a3)=673×2=1
346.
2.已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,求m所有可能的取值.
【解析】若a5为奇数,则3a5+1=1,a5=0(舍去).
若a5为偶数,则=1,a5=2.
若a4为奇数,则3a4+1=2,a4=(舍去).
若a4为偶数,则=2,a4=4.
若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,
则a2=2,a1=4.
若a3为偶数,则=4,a3=8,
若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去).
若a2为偶数,则=8,a2=16.
若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5.
若a1为偶数,则=16,a1=32.
故m所有可能的取值为4,5,32.
PAGE数列的概念与简单表示法
(15分钟 30分)
1.下列说法正确的是( )
A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列
B.数列-2,3,6,8可以表示为{-2,3,6,8}
C.和an是相同的概念
D.数列0,1,2,3,…可简记为{n}
【解析】选A.根据摆动数列的概念,A正确;
数列-2,3,6,8不能表示为{-2,3,6,8},数列和项的顺序有关,集合和元素顺序无关,故B错误;
表示数列全部的项,而an表示数列的第n项,不是同一概念,故C错误;
数列0,1,2,3,…可简记为{n-1},D错误.
2.(2020·乐山高二检测)已知数列{an}的通项公式为an=则a2·a3等于( )
A.70
B.28
C.20
D.8
【解析】选C.根据题意,数列{an}的通项公式为an=
则a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,则a2·a3=20.
3.下列可作为数列1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( )
A.an=
B.an=
C.an=2-sin
D.an=2-cos[(n-1)π]
【解析】选B.根据题意,数列1,2,1,2,1,2,…
其奇数项为1,可以看作,偶数项为2,可以看作;其通项公式可以为:an=.
【补偿训练】
数列,,,,…的一个通项公式是( )
A.an=
B.an=
C.an=-
D.an=1-
【解析】选C.因为=1-,=-,
=-,=-.
所以推断an=-.
4.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为________.?
【解析】由an=19-2n>0,得n<.因为n∈N
,
所以n≤9.
答案:9
5.已知数列{an}的通项公式是an=.
(1)写出该数列的第4项和第7项;
(2)试判断和是否是该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,说明理由.
【解析】(1)由通项公式an=可得
a4==,a7==.
(2)令=,得n2=9,所以n=3(n=-3舍去),
故是该数列中的项,并且是第3项;
令=,得n2=,所以n=±,
由于±都不是正整数,因此不是数列中的项.
【补偿训练】
数列{an}中,已知an=(-1)nn+a(a为常数),且a1+a4=3a2,求a100.
【解析】由已知an=(-1)nn+a(a为常数),
可得a1=a-1,a2=a+2,a3=a-3,a4=a+4.
因为a1+a4=3a2,所以a-1+a+4=3(a+2),解得a=-3.
所以an=(-1)nn-3.所以a100=(-1)100100-3=97.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·南通高二检测)在数列{an}中,已知an=,n∈N
,则是数列中的第 项.( )?
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.根据题意,数列{an}中,已知an=,若=,即n2+n-1=19,
解得:n=4或-5(舍).
【补偿训练】
已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3( )
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}的第2项
C.只是数列{an}的第6项
D.是数列{an}的第2项或第6项
【解析】选D.令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3可以是该数列的第2项,也可以是该数列的第6项.
2.(2020·南宁高二检测)观察数列1,ln
2,sin
3,4,ln
5,sin
6,7,ln
8,sin
9,…,则该数列的第11项等于( )
A.1
111
B.11
C.ln
11
D.sin
11
【解析】选C.由数列得出规律,是按正整数的顺序排列,且以3为循环节,由11÷3=3余2,所以该数列的第11项为ln
11.
3.(2020·淄博高二检测)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2
019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的项数为( )
A.134
B.135
C.136
D.137
【解析】选B.由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故an=15n-14.由an=15n-14≤2
019,得n≤135,故此数列的项数为135.
4.已知数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2),则它的前30项之积是( )
A.
B.5
C.6
D.
【解析】选B.a1·a2·a3·…·a30=log23×log34×log45×…×log3132
=××…×==log232=log225=5.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}的前四项为11,102,1
003,10
004,…,则它的一个通项公式为________.?
【解析】由于11=10+1,102=102+2,1
003=103+3,10
004=104+4,…,所以该数列的一个通项公式是an=10n+n.
答案:an=10n+n
【补偿训练】
数列,,,,,…的一个通项公式为________.?
【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25…故分母可用n2+1表示,若分子各项都加1为:16,25,36,49,64,…故分子可用(n+3)2-1表示,故其通项公式可为an=.
答案:an=
6.如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为________.?
【解析】我们把图案按如下规律分解:
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.
答案:an=4n+2
三、解答题
7.(10分)已知无穷数列7,4,3,…,,…,
(1)求这个数列的第10项;
(2)是这个数列的第几项?
(3)这个数列有多少个整数项?
(4)是否有等于序号的的项?如果有,求出这些项;如果没有,试说明理由.
【解析】(1)将n=10代入,得第10项为=.
(2)设=,解得n=100,所以是这个数列的第100项.
(3)设=k,变形得n=,
k可取的值有2,3,4,7,即有4个整数项.
(4)有等于序号的的项.计算过程如下:
设=n,解得n=6或n=-3(舍),
第6项为=2,所以第6项等于序号的的项.
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