专题1
第2讲 三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换及其应用
授课提示：对应学生用书第17页
考情调研
考向分析
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中、低档难度.
1.应用三角变换化简求值．2.结合三角变换研究三角函数的图象和性质.
[题组练透]
1．若sin＝，则sin＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，根据诱导公式可得sin＝cos
＝cos，又由余弦的倍角公式，可得cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，即sin＝，故选D.
答案：D
2．(2019·三明质检)下列数值最接近的是( )
A.cos
14°＋sin
14°
B.cos
24°＋sin
24°
C.cos
64°＋sin
64°
D.cos
74°＋sin
74°
解析：选项A：cos
14°＋sin
14°＝2sin(60°＋14°)＝2sin
74°；
选项B：cos
24°＋sin
24°＝2sin(60°＋24°)＝2sin
84°；
选项C：cos
64°＋sin
64°＝2sin(60°＋64°)＝2sin
124°＝2sin
56°；
选项D：cos
74°＋sin
74°＝2sin(60°＋74°)＝2sin
134°＝2sin
46°，
经过化简后，可以得出每一个选项都具有2sin
α，0°＜α＜90°的形式，
要使得选项的数值接近，
故只需要sin
α接近于sin
45°，根据三角函数y＝sin
x，0°＜x＜90°图象可以得出sin
46°最接近sin
45°，故选D.
答案：D
3．(2019·滨州模拟)函数y＝(cos
x＋sin
x)·cos的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：函数的解析式y＝(cos
x＋sin
x)·sin
x
＝sin
xcos
x＋sin2x＝sin
2x＋
＝＋sin.
函数的单调递增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
表示为区间形式即(k∈Z)．
故选B.
答案：B
4．(2019·青岛模拟)已知cos＝，则sin
2α＝________.
解析：∵cos＝，∴cos＝2cos2－1＝－1＝－，又cos＝－sin
2α，∴sin
2α＝.
答案：
[题后悟通]
三角函数求值的类型及方法
(1)给角求值：解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变换．
(2)给值求值：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
(3)给值求角：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
正弦定理与余弦定理
授课提示：对应学生用书第19页
考情调研
考向分析
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强直观想象的应用意识．题型多样，中档难度.
1.利用正、余弦定理解三角形．2.判断三角形的形状．3.计算三角形的面积.
[题组练透]
1．(2019·桂林、崇左模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若ccos
B＋bcos
C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则＝( )
A.
B.
C．2
D.
解析：把余弦定理代入ccos
B＋bcos
C＝，得a＝，
由b2＋c2－a2＝bc得2bccos
A＝bc，∴cos
A＝，∴A＝.
∴＝＝2.
故选C.
答案：C
2．(2019·保定模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边a、b、c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角边不相等的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析：因为a、b、c依次成等差数列，所以b＝，
由余弦定理可得cos
B＝＝，
将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0，
所以a＝c，又B＝，
可得△ABC为等边三角形．
故选A.
答案：A
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin
Acos
C＋csin
Acos
B＝.
(1)求sin
A；
(2)若a＝3，b＝4，求c.
解析：(1)因为bsin
Acos
C＋csin
Acos
B＝，
所以由正弦定理，得sin
Bsin
Acos
C＋sin
Csin
Acos
B＝，
因为sin
A≠0，所以sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝，
所以sin(B＋C)＝，
所以sin(π－A)＝，所以sin
A＝.
(2)法一：因为△ABC为锐角三角形，所以A为锐角，
因为sin
A＝，所以cos
A＝.
因为a＝3，b＝4，由余弦定理得(3)2＝42＋c2－2×4×c×，
所以c2－2c－2＝0，所以c＝＋1.
法二：因为△ABC为锐角三角形，所以A，B为锐角，
因为a＝3，b＝4，
所以由正弦定理得sin
B＝＝＝，
所以cos
B＝.
因为sin
A＝，所以cos
A＝.
所以sin
C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B
＝，
由正弦定理得c＝＝＋1.
[题后悟通]
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
3．解三角形实际应用问题的步骤
解三角形与三角函数的交汇问题
授课提示：对应学生用书第20页
考情调研
考向分析
利用正弦定理、余弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的综合性考查．题型主要为选择题和填空题，中档难度.
1.三角函数与解三角形．2.解三角形与其他知识交汇.
[题组练透]
1．(2019·吉安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos
B＝2a＋b.
(1)求角C的大小；
(2)若函数f(x)＝2sin＋mcos
2x(m∈R)图象的一条对称轴方程为x＝且f＝，求cos(2α＋C)的值．
解析：(1)由题意，根据正弦定理，可得2sin
Ccos
B＝2sin
A＋sin
B，
又由A＝π－(B＋C)，所以
sin
A＝sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C，
可得2sin
Ccos
B＝2sin
Bcos
C＋2cos
Bsin
C＋sin
B，即2sin
Bcos
C＋sin
B＝0，
又因为B∈(0，π)，则sin
B>0，
可得cos
C＝－，∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)f(x)＝2sin＋mcos
2x
＝2sin
2x
cos＋2cos
2xsin＋mcos
2x
＝sin
2x＋(m＋1)cos
2x，
由题意知函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝，
所以f(0)＝f，得m＋1＝sin＋(m＋1)cos，即m＝－2，
所以f(x)＝sin
2x－cos
2x＝2sin，
又f＝2sin＝，
所以sin＝，
所以cos(2α＋C)＝cos＝－cos＝－cos
2＝2sin2－1＝－.
2．已知函数f(x)＝sin
ωxcos
ωx－sin2ωx＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a＝，f(A)＝1，求△ABC面积S的最大值．
解析：(1)f(x)＝sin
2ωx－＋1＝sin(2ωx＋)＋.因为函数f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.
所以f(x)＝sin(2x＋)＋.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)由f(A)＝1得sin(2A＋)＝.
因为2A＋∈(，)，所以2A＋＝，得A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A，
即()2＝b2＋c2－2bccos
，
所以bc＋3＝b2＋c2≥2bc，解得bc≤3，
当且仅当b＝c时等号成立．
所以S△ABC＝bcsin
A≤×3×＝.
[题后悟通]
解三角形与三角函数交汇问题一般步骤
PAGE三角函数与解三角形
专题1
第1讲 三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
授课提示：对应学生用书第14页
考情调研
考向分析
考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变换的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度.
1.利用同角三角函数基本关系式求值．2.诱导公式的应用.
[题组练透]
1．(2019·渭南模拟)已知cos
α＝－，α∈，则sin(π＋α)＝( )
A.
B．－
C．±
D.
解析：∵cos
α＝－，α∈，
∴sin
α＝＝＝，
∴sin(π＋α)＝－sin
α＝－.故选B.
答案：B
2．已知sin
θ＋cos
θ＝(－π<θ<0)，则sin
θ－cos
θ的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由sin
θ＋cos
θ＝可得1＋2sin
θcos
θ＝，
∴sin
2θ＝－<0，则－<θ<0，
∴sin
θ－cos
θ＝－＝－＝－.故选D.
答案：D
3．(2019·石家庄模拟)已知sin
α＝，α∈，则tan
α＝________.
解析：根据三角函数的基本关系式可得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝，又因为α∈，所以cos
α＝，所以tan
α＝＝.
答案：
[题后悟通]
1．同角三角函数基本关系式的应用技巧
知弦求弦
利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解
知弦求切
常通过平方关系、对称式sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，建立联系，注意tan
α＝的灵活应用
知切求弦
通常先利用商数关系转化为sin
α＝tan
α·cos
α的形式，然后用平方关系求解
和积转换法
如利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ的关系进行变形、转化
巧用“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ
2.利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)
三角函数的性质
授课提示：对应学生用书第15页
考情调研
考向分析
以考查三角函数的性质为主，题目涉及三角函数的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
1.三角函数的单调性．2.三角函数的最值与值域．3.三角函数的奇偶性与对称性．4.三角函数的周期性.
[题组练透]
1．(2019·合肥质检)若函数f(x)＝sin－1(ω>0)的最小正周期为，则f(x)图象的一条对称轴为( )
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
解析：函数f(x)的最小正周期为T＝＝，解得ω＝3.
f(x)＝sin－1，令3x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，
取k＝1，可得f(x)图象的一条对称轴为x＝.故选C.
答案：C
2．(2019·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则函数f(x)在区间上的值域是( )
A.
B．(－2,1)
C.
D．[－2,1]
解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，而ω>0，T＝?ω＝2，又因为函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin，由函数g(x)为偶函数，可得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝－，因此f(x)＝2sin，x∈?2x－∈?sin∈，所以函数f(x)在区间上的值域是[－2,1]，故选D.
答案：D
3．(2019·武汉质检)已知函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
解析：2x＋φ＝＋kπ(k∈Z)?x＝＋－(k∈Z)，
∴y＝2sin(2x＋φ)的对称轴为x＝＋－(k∈Z)．
又x＝为对称轴，
∴＝＋(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)．
又－<φ<，
∴k＝0，即φ＝.
答案：
[题后悟通]
1．求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin
z(或y＝Acos
z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
三角函数的图象
授课提示：对应学生用书第16页
考情调研
考向分析
以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.
1.由图象求解析式．2.图象的平移、变换.
[题组练透]
1．(2019·云南质检)为得到函数y＝2sin的图象，只需要将函数y＝2sin的图象( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：依题意y＝2sin向右平移×＝个单位长度，得到y＝2sin的图象．
答案：D
2．(2019·南宁模拟)已知P，Q分别是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)图象上相邻的最高点和最低点，则ωφ＝( )
A.
B．－
C．－
D.
解析：因为2×＝T＝，所以ω＝3，把P的坐标代入y＝sin(3x＋φ)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝，ωφ＝.故选D.
答案：D
3．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：由图可得＝－＝，故T＝π＝，解得ω＝2，
将点代入函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，即A＝Asin，故sin＝1.
因为|φ|<，所以φ＝，故函数f(x)＝Asin，
因为将f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，
所以g(x)＝Asin＝Asin，
当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z时
解得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z，
故当x∈，k∈Z时，g(x)单调递增，故选A.
答案：A
4．(2019·海口质检)将函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是________．
解析：依题意可得g(x)＝sin，所以g(x)的最小正周期是T＝＝π.
答案：π
[题后悟通]
1．由“图”定“式”找“对应”的方法
由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
2．关于三角函数的图象变换的方法
沿x轴
沿y轴
平移变换
由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移
由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移
伸缩变换
由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍
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