2011中考冲刺数学专题4 -信息型问题

2011中考冲刺数学专题4——信息型问题
【备考点睛】
图表信息类试题是题设条件或结论中包含有图表的试题，这类试题的解题条件主要靠图表给出。它主要表现在数轴、直角坐标系、点的坐标、一次函数、二次函数、反比例函数的图像、实用统计图及部分几何图形等，所提供的形状特征、位置特征、变化趋势等数学基础知识，很好地考查了观察问题、分析问题、解决问题的能力。跨学科型是综合利用各个学科的特点，和数学有关知识有机结合在一起。这类试题是近几年考试的常见试题，信息型试题也是考试的热点问题。
【经典例题】
例题1．（2010浙江宁波）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米. 小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 ▲ 分钟，小聪返回学校的速度为 ▲ 千米/分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米
解答： (1)15，　
(2)由图象可知，是的正比例函数
设所求函数的解析式为
代入(45，4)得: ，
解得:
∴s与t的函数关系式为 ()
(3) 由图象可知，小聪在的时段内，是的
一次函数，设函数解析式为，
代入(30，4)，(45，0)得:
解得:
∴
令，解得
当时， ，
答: 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米.
例题2．（2010湖北咸宁）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为、（km），、与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为 km， ；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
解答：（1）120，；
（2）由点（3，90）求得，．
当＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）
求得，．
当时，，解得，．
此时．所以点P的坐标为（1，30）
该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，
此时两船离B港的距离为30 km．
求点P的坐标的另一种方法：
由图可得，甲的速度为（km/h），乙的速度为（km/h）．
则甲追上乙所用的时间为（h）．此时乙船行驶的路程为（km）．
所以点P的坐标为（1，30）．
（3）①当≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，．
依题意，≤10． 解得，≥．不合题意．
②当0.5＜≤1时，依题意，≤10．
解得，≥．所以≤≤1．
③当＞1时，依题意，≤10．
解得，≤．所以1＜≤．
综上所述，当≤≤时，甲、乙两船可以相互望见．
例题3．（2010广西河池）李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图9所示.根据图象，解答下列问题：
（1）求李明上坡时所走的路程（米）与时间t（分钟）之间的函数关系式和下坡时所走的路程（米）与时间t（分钟）之间的函数关系式；
（2）若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟？
解答：（1）设
∵ 图象经过点 ∴ 900
解方程，得 ∴
设
∵图象经过点,
∴
解这个方程组，得
∴
（2）李明返回时所用时间为
（分钟）
答: 李明返回时所用时间为11分钟.
例题4．（2010山东临沂）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，、两地相距10千米，甲班从地出发匀速步行到地，乙班从地出发匀速步行到地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为小时，甲、乙两班离地的距离分别为千米、千米，、与的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出、与的函数关系式；
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离地多少千米？
（3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时
解答：（1）y1=4x（0≤x≤2.5）,y2=-5x+10（0≤x≤2）
（2）根据题意可知：两班相遇时，甲乙离A地的距离相等，即y1=y2，由此可得一元一次方程-5x+10=4x,
解这个方程，得x=（小时）。
当x=时，y2=--5×+10=（千米）.
（3）根据题意，得y2 -y1=4.
即-5x+10-4x=4.
解这个方程，得x=（小时）。
答：甲乙两班首次相距4千米所用时间是小时。
【技巧提炼】
在解决信息问题时要注意以下几点：①细读图表：首先要注重整体阅读：先对材料及图表资料等有一个整体的了解，把握大体方向,搜索有效信息；其次重视数据变化：数据的变化往往说明了某些特征，这个特征正是解题的突破口；最后关注图表细节：图表细节起提示作用，如图表下的“注”“数字单位”等。②审清要求：扣住问题的角度，抓住题目在字数句数限制、比较对象、变化情况上的要求。③准确表达：正确分析图表中所列对象的相互联系，探索规律，归纳结论。在表述时要对具体的数据分析比较，全面客观地反映图表包含的信息，特别要注意题目中的特殊限制。
在处理跨学科问题时，需要注意以下几点：①抓住该学科知识点，搞清题意；②找出与数学学科的内在联系；③进行合情推理、演算、得出结论。
【体验中考】
1. （2011预测）甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．
（2）求甲船在逆流中行驶的路程．
（3）求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式．
（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．
【参考公式：船顺流航行的速度船在静水中航行的速度＋水流速度，
船逆流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度．】
2． A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．
3．小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．
(1)　小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？
(2)　下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：
①　小刚到家的时间是下午几时？
②　小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．
4. 某果品基地用汽车装运A、B、C三种不同品牌的水果到外地销售，按规定每辆汽车只能装同种水果，且必须装满，其中A、B、C三种水果的重量及利润按下表提供信息：
水果品牌 A B C
每辆汽车载重量（吨） 2．2 2．1 2
每吨水果可获利润（百元） 6 8 5
（1）若用7辆汽车装运A、C两种水果共15吨到甲地销售，如何安排汽车装运A、C两种水果？
（2）计划用20辆汽车装运A、B、C三种不同水果共42吨到乙地销售（每种水果不少于2车），请你设计一种装运方案，可使果品基地获得最大利润，并求出最大利润.
5．某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.
　　（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；
（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；
（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；
（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.
图a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图b
6．某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A地的路程（单位：千米）与所用时间（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
(1) 请在下图中画出货车距离A地的路程（千米）与所用时间(时)的函数图象
(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
(3) 求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
7．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)
8．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．
（1）求a的值．
（2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数．
（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？
9．我国青海省玉树地区发生强烈地震以后，国家立即启动救灾预案，积极展开向灾区运送救灾物资和对伤员的救治工作．已知西宁机场和玉树机场相距800千米，甲、乙两机沿同一航线各自从西宁、玉树出发，相向而行．如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两机离玉树机场的距离S（百千米）和所用去的时间t（小时）之间的函数关系的图象（注：为了方便计算，将平面直角坐标系中距离S的单位定为（百千米））．观察图象回答下列问题：
（1）乙机在甲机出发后几小时，才从玉树机场出发？甲、乙两机的飞行速度每小时各为多少千米？
（2）求甲、乙两机各自的S与t的函数关系式；
（3）甲、乙两机相遇时，乙机飞行了几小时？离西宁机场多少千米？
10. 为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂（假设在骑自行车过程中匀速行驶）．李明离家的距离y（米）与离家时间x（分钟）的关系表示如下图：
（1）李明从家出发到出现故障时的速度为 米／分钟；
（2）李明修车用时 分钟；
（3）求线段BC所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
11.张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量(升)与行驶时间(小时)之间的关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升；
（2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式；
（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．
12.一方有难，八方支援。2010年4月14日青海玉树发生地震，全国各地积极运送物质支援灾区。现有甲、乙两车要从M地沿同一公路运输救援物资往玉树灾区的N地，乙车比甲车先行1小时，设甲车和乙车之间的路程为y（km）,甲车行驶时间为t(h),y(km)与t(h)之间函数关系的图象如图所示，结合图象解答下列问题（假设甲，乙两车的速度始终保持不变）：
（1）乙车的速度是 km／h;
(2)求甲车的速度和a的值。
13.因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少.为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式予以支援.下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：
（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？
（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？
（3）求直线AD的函数解析式．
答案：
1. 【详解】：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h．
（2）甲船在逆流中行驶的路程为(km)．
（3）方法一：
设甲船顺流的速度为km/h，
由图象得．
解得a9．
当0≤x≤2时，．
当2≤x≤2.5时，设．
把，代入，得．
∴．
当2.5≤x≤3.5时，设．
把，代入，得．
∴．
方法二：
设甲船顺流的速度为km/h，
由图象得．
解得a9．
当0≤x≤2时，．
令，则．
当2≤x≤2.5时，．
即．
令，则．
当2.5≤x≤3.5时，．
．
（4）水流速度为(km/h)．
设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．
根据题意，得．
解得．
．
即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5 km．
2.【详解】：（1）①当0≤≤6时，
；
②当6＜≤14时，
设，
∵图象过（6，600），（14，0）两点，
∴ 解得
∴．
∴
（2）当时，，
（千米/小时）．
3.【详解】：(1)　小刚每分钟走1200÷10=120(步)，每步走100÷150=(米)，
所以小刚上学的步行速度是120×=80(米/分)．
小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米)．
少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米)．
(2)　①　(分钟)，
所以小刚到家的时间是下午5：00．
②　小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1 100米，所以点B的坐标是（20，1100）．
线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 ，
即线段CD所在直线的函数解析式是．
(线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：
点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）
设线段CD所在直线的函数解析式是，将点C，D的坐标代入，得
解得　
所以线段CD所在直线的函数解析式是)
4.【详解】：（1）设安排x辆汽车装运A种水果，则安排（7-x）辆汽车装运C种水果.
根据题意得，2.2x +2（7-x）=15
解得，x=5，∴7-x=2
答：安排5辆汽车装运A种水果，安排2辆汽车装运C种水果。
（2）设安排m辆汽车装运A种水果，安排n辆汽车装运B种水果，则安排（20-m-n）辆装运C种水果。根据题意得，2.2m+2.1n+2（20-m-n）= 42
∴n =20-2m
又∵∴ ∴ （m是整数）
设此次装运所获的利润为w，则w=6×2.2m +8×2.1n +5×2×（20-m-n）=－10.4m＋336…
∵-10.4＜0， ∴W随m的增大而减小，
∴当m=2时，W=315.2（百元）=31520（元）
即，各用2辆车装运A、C种水果，用16辆车装运B种水果使果品基地获得最大利润，最大利润为31520元.
5．【详解】：（1）
（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）
（3）
(4)　相等的关系
6．【详解】：（1）图象如图；
（2）4次；
（3）如图，设直线的解析式为，
∵图象过，，
．①
设直线的解析式为，∵图象过，，
．②
解由①，②组成的方程组得
最后一次相遇时距离地的路程为100km，货车从地出发8小时．
7．【详解】：（1）线段AB所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，
将（1.5，70）、（2，0）代入得：，解得：，
所以线段AB所在直线的函数解析式为：y＝－140x＋280，当x＝0时，
y＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米．
（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，由题意得：
，解得：，所以快车的速度为80千米/时，
所以．
（3）如图所示．
8．【详解】：（1）由图象知，，所以；
（2）设BC的解析式为，则把（40，320）和（104，0）代入，得，解得，因此，当时，，即售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人；
（3）设同时开放个窗口，则由题知，解得，因为为整数，所以，即至少需要同时开放6个售票窗口。
9．【详解】：（１）由图像可知乙机在甲机出发后1小时才从玉树机场出发；
甲机的速度＝＝160千米每小时，乙机的速度＝＝200千米每小时；
（2）设甲机的函数关系式为S甲=k1t+b1，
因图像过点A（0，8）和点B（5，0）
将两点坐标代入可得
解得，
得甲机的函数关系为S甲=t+8；
设乙机的函数关系式为S乙=k2t+b2，
因图像过点C（1，0）和点D（5，8）
将两点坐标代入可得
解得
得乙机的函数关系式为S乙=2t－2；
（3）由解得
所以两机相遇时，乙飞机飞行了小时；
乙飞机离西宁机场为8－=千米。
10.【详解】：（1）200
（2）5
（3）设线段BC解析式为：y=kx+b,
依题意得：
解得：k=200,b=﹣1000
所以解析式为y=200x﹣1000
11.【详解】：（1）3，31．
（2）设与的函数关系式是，
根据题意，得：
解得：
因此，加油前油箱剩油量与行驶时间的函数关系式是：．
（3）由图可知汽车每小时用油（升），
所以汽车要准备油(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用．
12.【详解】：
13.【详解】：（1）甲水库每天的放水量为(3000－1000)÷5＝400（万米3/天）
（2）甲水库输出的水第10天时开始注入乙水库
设直线AB的解析式为：y＝kx＋b
∵B(0,800)，C(5,550)
∴k＝－50 b＝800
∴直线AB的解析式为：yAB＝－50x＋800
当x＝10时，y＝300
∴此时乙水库的蓄水量为300（万米3）
（3）∵甲水库单位时间的放水量与乙水库单位时间的进水量相同且损耗不计
∴乙水库的进水时间为5天
∵乙水库15天后的蓄水量为：300＋(3000－1000) －50×5＝2050(万米3) A(0,300)，D(15,2050)
设直线AB的解析式为： y＝k1x＋b1
∴k1＝350 b1＝－3200
∴直线AD的解析式为：yAD＝350x－3200
O
y/km
90
30
a
0.5
3
P
甲
乙
x/h
x/小时
y/千米
600
14
6
O
F
E
C
D
t(分)
O
s(米)
A
B
C
D
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
-21
50
100
150
200
O
-50
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
t（时）
y（百千米）
A
B
C
D
(5,8)
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
50
100
150
200
O
F
G
C
E
D