(共38张PPT)
章末归纳整合
互斥事件、相互独立事件的概率及条件概率
2．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，作为教材新增内容之一，在学习知识上起到了完备性的作用，在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．
方法点评：对立事件，互斥事件，相互独立事件是概率中三个最重要的概念，也是容易混淆的概念，在学习中我们要仔细体会，彻底搞清楚其具体含义，在具体的问题情景中辨别清楚它们，只有这样我们才算学好了概率的基础知识．
1．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．
2．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能性事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．
离散型随机变量的分布列、均值与方差
3．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．
【例2】
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
方法点评：求离散型随机变量的分布列，必须首先弄清ξ的含义及ξ的取值情况，并准确求出ξ取值下的概率，然后检验计算结果是否满足分布列的第二条性质．
在本章的学习中，正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．
正态分布
离散型随机变量分布列的计算是均值和方差计算的基础，又是概率计算的延伸，涉及排列、组合、二项式定理和概率的知识，综合性强，因而是高考考查的重点．特别是两点分布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型，应用性强，更是高考命题的重中之重．
2.(2019年新课标Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是
．
【答案】0.18
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)，写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
4.(2019年新课标Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…，7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8.
①证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．(共3张PPT)
本章的主要内容是离散型随机变量及其分布列、均值与方差，二项分布及其应用，正态分布．
研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述．
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第二章随机变量及具9而
内容概述
章导学
学法指导(共31张PPT)
2.4 正态分布
目标定位
重点难点
1.掌握正态分布曲线的特点表示的意义．
2．知道什么样的随机变量服从正态分布.
重点：正态分布密度曲线的特点及所表示的意义．
难点：正态分布密度曲线所表示的意义.
上方
不相交
x＝μ
1
(5)当________一定时，曲线随着________的变化而沿x轴平移(如图1)；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ________，曲线越“瘦高”；σ________，曲线越“矮胖”(如图2)．
σ
μ
越小
越大
0.682
6
0.954
4
0.997
4
4．正态分布的3σ原则
(1)3σ原则的含义
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取__________________之间的值，并简称之为3σ原则．
(2)正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率
正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002
6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
(μ－3σ，μ＋3σ)
【答案】B
3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3
的三种正态曲线N(0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是________．
【例1】如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
正态曲线
8
正态分布中的参数μ和σ(σ＞0)分别表示总体的平均值与标准差．
【例2】
已知ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，求ξ在(0，＋∞)内取值的概率．
【解题探究】利用正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等这一性质求解．
【解析】∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ>0)，
∴正态曲线的对称轴是直线x＝4，
∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.
又ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，
∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.
正态分布的概率计算
8
求解正态分布的概率的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．
2．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)且P(2≤X≤4)＝0.682
6，求P(X>4)的值．
【例3】
已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，求其长度误差落在区间(3,6)内的概率．
附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%.
【解题探究】将所求问题转化为已知概率的区间．
正态分布的实际应用
8
对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ【示例】
某人从某城市的南区乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)满足X～N(50,22)，求他在时间段(46,54)内赶到火车站的概率．
错解：∵X～N(50,22)，
∴μ＝50，σ＝22＝4.
∴P(466.
错误使用数据致错
错因分析：上述错解是把N(μ，σ2)中的第二个数σ2
错记为σ.
正解：∵X～N(50,22)，∴μ＝50，σ2＝22.则σ＝2.
∴P(464.
警示：正态分布由参数μ与σ确定，正态曲线关于直线x＝μ对称且面积为1，求正态变量在某区间取值的概率时，往往把所求问题转化到(μ－σ，μ＋σ)或(μ－2σ，μ＋2σ)或(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内解决．
3．参数μ，σ对正态分布的密度函数图象的作用
因μ＝E(X)，μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，μ的值的大小决定对称轴在坐标系中的位置；由σ2＝D(X)知σ反映的是正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”．
4．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，
P(μ－2σ4，
P(μ－3σ4.
1.(2020年九江模拟)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(XA.6
B.7
C.8
D.9
【答案】B
2.(2019年滁州期末)今年全国高考,某校有3000人参加考试，其数学考试成绩X~N(100,a2)(a>0，试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩高于130分的人数为100，则该校此次数学考试成绩高于100分且低于130分的学生人数约为(
)
A.1300??????????????????????
B.1350????????????C.1400??????????????????????
D.1450
【答案】C
3.(2020年太原模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158
7，则P(2＜X＜4)＝( )
A.0.682
6
B.0.341
3
C.0.460
3
D.0.920
7
【答案】A (共37张PPT)
2.3.2 离散型随机变量的方差
目标定位
重点难点
1.理解离散型随机变量的方差的含义．
2．利用离散型随机变量的方差解决实际问题.
重点：离散型随机变量的方差的含义．
难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题.
1．离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
偏离程度
平均偏离程度
2．离散型随机变量的性质
若Y＝aX＋b(a，b为常数)，则E(aX＋b)＝__________，D(aX＋b)＝________，当a＝0时，D(b)＝________，即常数的方差等于0.
3．两点分布与二项分布的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝__________.
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝npq(q＝1－p)．
aE(X)＋b
a2D(X)
0
p(1－p)
1．下面说法中正确的是( )
A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平
D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平
【答案】D
【例1】
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b
的值．
【解题探究】(1)先写出ξ的分布列，再求期望和方差．(2)利用期望和方差的性质，列方程求解．
离散型随机变量的方差
8
要求期望，需先求出分布列，要求出分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．熟练掌握期望和方差的性质，可以避免复杂的计算．
二项分布与两点分布的方差
8
判定某一离散型随机变量是否服从两点分布或二项分布是直接利用公式求期望和方差的先决条件．
2．一次数学测验由25道选择题构成，每答对一题得4分，不作答或答错不得分，某学生答对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差．
【例3】
(2017年北京)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“＋”表示未服药者．
概率、分布列、均值、方差的综合应用
8
离散型随机变量期望与方差的应用问题，一般先分析题意，明确题目欲求的是期望还是方差．在此基础上将题目考查的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的期望与方差．
【示例】
某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下，进行对比实验，100公顷的产量列表如下：
甲品种
忽略对方差的比较
每公顷产量/吨
9.4
9.5
9.8
10.2
公顷数
11
32
42
15
乙品种
试判断这两个品种哪一个较好？
每公顷产量/吨
9.2
9.5
10
11
公顷数
35
20
35
10
错因分析：对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察．
正解：由错解，知E(X)甲＝E(X)乙＝9.72，
D(X)甲＝(9.4－9.72)2×0.11＋(9.5－9.72)2×0.32＋(9.8－9.72)2×0.42＋(10.2－9.72)2×0.15＝0.064，
D(X)乙＝(9.2－9.72)2×0.35＋(9.5－9.72)2×0.2＋(10－9.72)2×0.35＋(11－9.72)2×0.1＝0.295
6.
D(X)甲＜D(X)乙．所以甲品种质量更好一点．
警示：对于两个对象的优劣的比较，首先要比较它们的均值，当均值一致时，还必须利用方差，对其稳定性进行分析比较．
1．求方差的步骤：(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的期望E(ξ)；(3)利用方差定义求D(ξ)．
2．随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因而，在比较两种产品的优劣、两人技术水平的高低时，如果均值相同，就需用方差来决定产品或技术的稳定情况．
3．方差的性质：D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
4．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)．
5．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．
1．已知随机变量ξ满足Dξ＝2，则D(2ξ＋3)＝( )
A．8
B．5
C．4
D．2
【答案】A
2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )
A．0.2
B．0.8
C．0.196
D．0.804
【答案】C
【答案】B(共40张PPT)
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
目标定位
重点难点
1.理解离散型随机变量的均值的含义．
2．利用离散型随机变量的均值解决实际问题.
重点：离散型随机变量的均值的含义．
难点：利用离散型随机变量的均值解决实际问题.
1．离散型随机变量的均值(或数学期望)
若离散型随机变量X的分布列为
则称____________________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
2．离散型随机变量均值的性质
若X为随机变量，Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量且E(Y)＝________.
3．两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝________.
4．二项分布的均值
若X～B(n，p)，则E(X)＝________.
aE(X)＋b
p
np
【例1】
由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以?代替)，其表如下：
(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
离散型随机变量的均值
【解题探究】利用分布列的性质及离散型随机变量的均值的定义求解．
8
求离散型随机变量的期望的关键是确定随机变量的所有的可能性，写出随机变量的分布列，正确运用公式进行计算．
1．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X)．
【例2】某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望.
【解题探究】(1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.
二项分布与两点分布的均值
8
(1)设p为一次试验中成功的概率，则两点分布E(X)＝p；二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.
(2)两点分布与二项分布的相同点：一次试验中要么发生，要么不发生.不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n；②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.
【例3】
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
离散型随机变量均值的应用
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及数学期望E(η)．
【解题探究】(1)利用其对立事件求解．(2)先列出η的取值及其对应的概率，再求解即可．
8
(1)均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.
(2)概率模型的解答步骤：①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.②确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
3．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机
器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
未正确理解随机变量取值的意义致错
警示：在求随机变量取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免失误．
1．对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值Eξ是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数学特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
2．求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用Eξ的计算公式计算Eξ.
3．求两点分布的均值方法：先确定p的值，再用公式EX＝p得均值．
4．求二项分布的均值方法：先确定B(n，p)中的n的值和p的值，再利用公式EX＝np求解．
5．随机变量ξ的线性函数η＝aξ＋b(其中a，b是常数)的期望等于该随机变量的期望的线性函数，即Eη＝aEξ＋b.
1．设X是离散型随机变量，E(X)＝3，Y＝2X＋4，则E(Y)＝( )
A．10
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【解析】E(Y)＝2E(X)＋4＝10.(共36张PPT)
2.2.3 独立重复试验与二项分布
目标定位
重点难点
1.理解n次独立重复试验及二项分布模型．
2．理解二项分布模型并能解决一些简单的实际问题.
重点：理解n次独立重复试验及二项分布模型．
难点：利用二项分布模型解决实际问题.
1．n次独立重复试验
在________条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
相同
2．二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为_____________________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～__________，并称p为__________．
B(n，p)
成功概率
1．独立重复试验应满足的条件是：
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生与不发生两种结果；
③每次试验中发生的机会是均等的；
④各次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
【答案】C
3．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
【答案】0.048
6
【例1】
判断下列试验是不是独立重复试验．
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上．
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中．
(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
【解题探究】由独立重复试验的定义去分析相应的实例．
独立重复试验的判断
【解析】(1)试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
8
独立重复试验必须满足两个特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．
1．小明同小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷，问：(1)小明共投掷n次，是否可看作n次独立重复试验？小华共投掷m次，是否可看作m次独立重复试验？(2)在游戏的全过程中共投掷了m＋n次，则这m＋n次是否可看作m＋n次独立重复试验?
【解析】(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的n次和m次可看作n次独立重复试验和m次独立重复试验．
(2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作m＋n次独立重复试验．
【例2】
某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确且其中第3次预报准确的概率．
【解题探究】利用独立重复试验的概率公式求解即可．
独立重复试验的概率
8
解决此类问题，首先要确定随机变量，再判断是否满足独立重复试验，若满足，可直接利用相互独立事件的概率公式求解．对于所求事件，如果较为复杂，可利用对立事件去求．
二项分布问题
8
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.当随机变量X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.
【示例】
某娱乐节目为每位选手准备了5道试题，每道题设有“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的．选手每答对一题，获得一个商标．假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题．
(1)求甲获得2个商标的概率；
(2)求乙只获得3个商标且是连续获得3个商标的概率．
思维不周致误
错因分析：对于错解1，(1)(2)两问都是由于题意不清致误．对于错解2，主要原因是思维不周密，前三次获得商标，则4,5次必须不获得商标，步骤需要完善．
警示：在求某事件的概率时，要善于从具体问题中抽象出独立重复试验的模型，并明确n是多少，事件A是什么，其发生的概率是多少等问题．
1．独立重复试验
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
2．二项分布
满足条件：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；(2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．(共39张PPT)
2.2.2 事件的相互独立性
目标定位
重点难点
1.理解两个事件相互独立的定义，并会判定事件的独立性．
2．掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式，并能解决实际问题.
重点：独立性的概念及相互独立事件同时发生的乘法公式．
难点：理解独立性的概念.
1．相互独立事件的概念
(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)＝__________，则称事件A与事件B相互独立．
(2)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，也称_______________________．
P(A)P(B)
A，B是相互独立事件
2．判断事件是否相互独立的方法
(1)利用定义：事件A，B相互独立?__________________.
(2)利用性质：A与B相互独立，则__________，________，________也都相互独立．
P(AB)＝P(A)·P(B)
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
【答案】D
【例1】
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
【解题探究】可利用独立事件的意义以及独立事件概率公式来判定．
事件相互独立性的判断
8
判断事件是否独立，可由事件本身的性质看是否相互影响，从而得出相互独立与否，在不易直接判断各事件间是否相互影响时，一般都采取计算概率的方法判断，此外，还应把相互独立事件同互斥事件、对立事件区别开．
1．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两事件是否相互独立？为什么？
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
【例2】
从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，C＝“抽到J”，判断下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A．
【解题探究】利用互斥事件、对立事件的概念及独立事件概率公式来判断．
互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨析
8
解决相互独立问题关键在于找准并设出相互独立的事件，若从正面比较难解答，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．
2．判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．
(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
(2)甲、乙两名运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
(3)甲、乙两名运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
(4)甲、乙两名运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
【解析】(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．
(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件．
(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．
(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不是相互独立事件．
相互独立事件同时发生的概率的计算
8
求由几个基本事件组成的一般事件的概率时，一般都要判断各基本事件是否相互独立，然后再利用相互独立事件概率乘法公式求概率，从而使问题变得更加简洁．
未搞清事件关系致错
1．判定相互独立事件的方法
(1)由定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B相互独立，即如果A，B同时成立的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得事件A，B为相互独立事件．
(2)有些事件根本没有必要通过概率的计算，常常通过对事物本质进行分析就能直接判定出相互独立与否．(共33张PPT)
2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
目标定位
重点难点
1.理解条件概率的概念，分清条件概率与非条件概率的区别．
2．掌握条件概率的两种计算方法.
重点：条件概率的概念及其计算方法．
难点：条件概率的判断.
A发生的条件下B发生的概率
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的概率都在0和1之间，即_______________．
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝__________________.
0≤P(B|A)≤1
P(B|A)＋P(C|A)
4．(多空题)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
【例1】
抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？
【解题探究】由条件分析求解即可．
条件概率的计算
8
在等可能性事件的问题中，求条件概率采用古典概型的方法更容易理解．计算出基本事件的总数，然后算出所求事件件数，从而求出概率．
【例2】
一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两只，每次取一只，取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．
【解题探究】此题适合运用条件概率公式来求解．
运用条件概率公式求概率
8
求条件概率问题要把握在什么前提条件下，也就是搞清事件A，事件B以及事件AB和它们发生的概率，再利用条件概率进行求解．
2．一班和二班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到二班同学时，正好碰到的是一名女同学的概率．
【例3】
在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【解题探究】首先把事件分成两个(或多个)互不相容较简单的事件之和，再利用条件概率公式求解．
条件概率的综合应用
8
为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.
3．一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作5
000小时的概率分别为90%,80%,70%，求任取一个元件能工作5
000小时以上的概率．
【解析】令Bi＝{取到元件为i等品}(i＝1,2,3)，
A＝{取到的元件能工作5
000小时以上}，
则P(A)＝P(AB1∪AB2∪AB3)
＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)
＝P(B1)·P(A|B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(B3)·P(A|B3)
＝95%·90%＋4%·80%＋1%·70%
＝0.894.
【示例】
抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率．
未理解题意致错
1．事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
2．应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一个事件在此条件下发生的概率．(共38张PPT)
2.1.2 离散型随机变量的分布列
目标定位
重点难点
1.理解离散型随机变量的分布列定义，掌握其性质．
2．会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布．
3．理解两点分布、超几何分布，并能计算超几何分布概率.
重点：离散型随机变量的分布列及其性质．
难点：离散型随机变量的分布列的求法.
1．离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，x取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
为随机变量X的概率分布，简称为X的________．离散型随机变量的分布列具有性质：
(1)___________________；(2)_____________________．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
分布列
pi≥0，i＝1,2，…，n
p1＋p2＋…＋pn＝1
成功
1．设随机变量X的分布列如下，则m的值为( )
X
0
1
2
P
m
0.3
0.4
2．如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )
A．ξ取每个可能值的概率是非负实数
B．ξ取所有可能值的概率之和为1
C．ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．ξ取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和
【答案】D
【答案】0 0.45 0.45
【例1】
从集合{1,2,3,4,5}的非空子集中，等可能地取出一个．
(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．
【解题探究】(1)求出基本事件总数和要求的基本事件数即可得出结果．(2)明确X的取值，再计算X的取值的概率．
求离散型随机变量的分布列
8
求分布列的步骤：①列出随机变量的所有可能取值；②计算每个取值的概率；③列出表格表示分布列．
1．一个口袋装有5只同样大小的球，编号分别为1,2,3,4,5，从中同时取出3只，以X表示取出球的最小号码，求X的分布列．
分布列性质的应用
2．若离散型随机变量X的分布列为
试求出常数c.
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
超几何分布
8
超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，关键是要正确理解题意，分清M，N，n的值，此外要加强对一些符号的认识理解．
3．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
求分布列出错
正解：结合上述分析，可得分布列为
1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能漏掉某些试验结果．
3．判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征，即一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(M个)，B(N－M个)，任取n个，其中恰有X个A，符合即可断定是超几何分布．
【答案】C
3.随机变量η的分布列如下：
则x＝ ，P(η≤3)＝ .
4.(2019年周口期末)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率;
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列.(共30张PPT)
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
目标定位
重点难点
1.理解随机变量的概念．
2．会区分离散型与非离散型随机变量．
3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.
重点：随机变量的概念．
难点：随机变量的含义.
1．随机变量与离散型随机变量
在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都可用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着___________的变化而变化．这种随着试验结果的变化而变化的变量称为__________，随机变量常用字母X，Y或ξ，η等表示．所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
试验结果
随机变量
一一列出
2．随机变量与函数的关系
随机变量与函数都是一种________，随机变量把试验结果映射为________．函数把实数映射为________．随机变量的取值范围相当于函数的________，__________的范围相当于函数的定义域．
映射
实数
实数
值域
试验结果
1.(多选)下列各个量是随机变量的是( )
A.北京国际机场候机厅中未来一天的旅客数量
B.某市下个月某一天从0时至24时感染新冠肺炎的人数
C.广州到北京的某次动车到北京站的时间
D.体积为1
000
cm3的球的半径长
【答案】ABC
2．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某城市在1天内发生的火警次数；
④1天内的温度η.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【答案】C
3．一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．
【答案】0,1,2,3
4．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数的差为X，请问：“X＞4”表示的试验结果是____________________．
【答案】第一枚为6点，第二枚为1点
【例1】
指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
①任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
②投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
③某个人的属相随年龄的变化；
④在标准状况下，水在0
℃时结冰．
【解题探究】利用随机变量的定义去分析相应的实例．
随机变量的概念
【解析】①任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
②投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
③属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．
④标准状况下，在0
℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．
8
判断一试验结果是否为随机变量，注意两点：一是试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同；二是试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
【答案】C
【例2】
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差．
离散型随机变量的判定
【解题探究】解答此题的关键是把握住“一一列出”这一特性．
【解析】(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
8
分析离散型随机变量时，一定要紧扣定义，是否能一一列出，若能，则是离散型随机变量；若不能，则不是离散型随机变量．
2．①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X；
②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X；
③射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．
上述问题中的X是离散型随机变量的是( )
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
【答案】A
【例3】
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ；
(2)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ.
【解题探究】根据题目的实际意义和随机变量的意义去分析所表示的结果．
随机变量的综合应用
【解析】(1)ξ可取0,1,2.
ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.
(2)ξ可取3,4,5.
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
8
理解清楚随机变量可能的取值及其每一个值对应的事件的意义，不要漏取或多取，同时要找好对应量．
3．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数Y.
【解析】(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出编号为k号的球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，X的可能取值为2,3,4，…，12，则
X＝2表示(1,1)；
X＝3表示(1,2)，(2,1)；
X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…；
X＝12表示(6,6)．
Y的可能取值为2,4,6,8,10,12.
Y＝2表示(1,1)；
Y＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…；
Y＝12表示(6,6)．
【示例】
小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1
000元，3
000元，6
000元的奖品(不重复得奖)，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的可能取值．
未理解题意，审题不清致错
错解：ξ的可能取值为：
0,1
000,3
000,4
000,6
000,9
000,10
000.
错因分析：①对题目背景理解不准确．比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的，而错解中理解为可进入下一关．
②忽略题目中的条件．忽略不重复得奖，最高奖不会超过6
000元．
正解：ξ的可能取值为0,1
000,3
000,6
000.
ξ＝0表示第一关就没有过；
ξ＝1
000表示第一关过而第二关没有通过；
ξ＝3
000表示第一关通过，第二关通过而第三关没有通过；
ξ＝6
000表示三关都通过．
警示：解决此类问题的关键是理解清楚随机变量所有可能的取值及其取每一个值时对应的意义，不要漏掉或多取值，同时要找好对应关系．
1．随机变量的概念
所谓随机变量，就是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的．这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数的概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量ξ是试验结果．
2．随机变量和函数的关系
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．
1.(2019年武威月考)先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是(?
)
A.出现7点的次数
B.出现偶数点的次数
C.出现2点的次数
D.出现的点数大于2小于6的次数
【答案】A
【解析】抛掷一枚骰子不可能出现7点，即出现7点的次数恒为0，不能作为随机变量.故选A.
2.(多选)下列随机变量中是离散型随机变量的是(
)
A.某宾馆每天入住的旅客数量X
B.广州某水文站观测到一天中珠江的水位X
C.深圳欢乐谷一日接待游客的数量X
D.虎门大桥一天经过的车辆数是X
【答案】ACD
【解析】A，C，D中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.综上，选ACD.
3．袋中有大小相同的五个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．5
B．9
C．10
D．25
【答案】B
【解析】号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种．
4．有5把钥匙，其中只有一把能打开锁，某人依次尝试开锁，若打不开就把该钥匙扔掉，直到打开为止，则试验次数ξ的最大取值为________．
【答案】5
【解析】ξ的可能取值为1,2,3,4,5，所以ξ的最大取值为5.
