2011中考冲刺数学专题10-几何计算问题

2011中考冲刺数学专题10——几何计算问题
【备考点睛】
几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数，、求图形的面积等。研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：
一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；
二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；
三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。
几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段，是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。
【经典例题】
类型一、用解直角三角形的知识进行几何计算
例题1 如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30°得到， 与AB相交于点D。求BD的长。
解答：分析：注意到若作于点G，如图（1`）则
可得中，DG=BG，同时在，
而CB=1，从而可构造关于BD的方程，求得其值。
解：如图（2），作于点G，设BD=，
中，
在中，，
。
即解得。
的长为。
例题2 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若于点F，且AF平分求的值。
解答：首先，在中，
剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数式。
为此，去研究相应的条件：
①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；
②由知 且AF平分得是等腰三角形，
设AF交BD于点G，则
③由BG//EC，知∽,
如此一来，
当然就有。
例题3 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中，，斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图（2）， 这时AB与相交于点，与AB相交于点F。
（1）求的度数；
（2）求线段的长；
（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到，这时点B在的内部，外部，还是边上？证明你的判断。
解答：分析：对于（1），如图（3），设CB与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值；
对于（2），可先推出，并导出的长；
对于（3），设直线CB交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。
解：（1）设CB与相交于点G，如图（3），则：
。
（2）连结，
又
。
在 （3）
。
（3）点B在内部，理由如下：
设BC（或延长线）交于点，
在，
又，即点B在内部。
例题4 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）
A、
B、
C、
D、
解答： 分析：将原问题抽象为图（2），在菱形ABCD中，，顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1，求菱形ABCD的面积。
为此，作交CD的延长线于点H，则有
其中
解：应选A。
类型二、用两个三角形相似关系进行几何计算
例题5 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，
则EQ：EF的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
（1）
解答：分析：容易看出∽得
即。
而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置，
由有，
解：选C。
说明：在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来，分别将线段EQ，EF借助BP表示出来，从而算出这两条线段的比。
例题6 已知，三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。
解答：分析：可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长，
这就需要借助于图中的直角三角形的相似关系。
解：如图，∽∽
则
。
说明：正是借助于图中的相似三角形，使得线段CM，EN，从而线段GM，FN的计算得以落实。
例题7 某装修公司要在如图所示的五角星图形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若米，则共需要装闪光灯（ ）
A、 100盏
B、 101盏
C、 102盏
D、 103盏
解答：分析：研究，由计算出AB的长来，
如图在中，（正五边形的外角）=72°，
作交AC于点D，则AD=BD=BC，
又∽，得：，
即，也既
解得。。
灯的盏数应为
解：选A。
说明：在本题，关键是根据特定条件，构造出∽。
例题8 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，于点E，连结ED，交OC于点F，作于点G。
（1）CG和CB有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若想在CB上确定一点H，使，请依据（1）得出的结果，说出画图的方法（不必说明理由）
解答：分析：显然，图中有一些相似三角形，比如：
∽∽（Ⅰ组）；∽（Ⅱ组）
∽（Ⅲ组）；∽（Ⅳ组）等。
通过分析可知，应用到第Ⅰ组，因为其中含有线段CG和CB（即与 ）
而其中的CF又包含在第Ⅲ组的三角形中，这样就有：
解：（1）有结论在和中，由OE//CD，易知∽，
即
也即。
在和中，
∽，
得
（2）应这样确定点H，连结DG，交CO于点M，作于H，则应用。
说明：在不少情况，需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两对或几对相似三角形，这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的的进行深入分析。
例题9 在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，点E，F分别在线段AD，DC上，（点E与点A，D不重合）且设。
（1）求的函数表达式；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
解答：分析：这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。
解：（1）在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，
∽。
的函数表达式是
；
（2）。
时，有最大值，最大值为。
说明：象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。
【技巧提炼】
几何计算的两种主要方法是：1、借助于解直角三角形；2、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算
（1）凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。
（2）在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件，图形的其他特征相结合，通过有关的性质及定理，把一些数值和数量关系转化到这个直角三角形中去。
2、善于用两个三角形相似关系完成几何计算
当两个三角形相似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段的代数式，那么这样的比例等式就成了未知线段的方程，借此方程求出未知线段，因此，用两个三角形之间的相似关系，也可以实施与完成许多几何计算。
（1）要善于选用相似三角形，充分发挥相似三角形在几何计算中的重要作用。
（2）要善于构造相似三角形，要有借助相似三角形完成几何计算的高度意识。
只要充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能，几何计算问题就不是难题，从而能轻松解决更多的综合型问题！
【体验中考】
1．（2010广西南宁）如图，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式：（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形
的是（ ）
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6
3．（2010浙江杭州）如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个 小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为（ ）
A. 48 B. 24
C. 12 D. 6
4．（2010江苏无锡）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2
5．（2010云南昆明）如图，在△ABC中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（　 ）
A． B．
C． D．
6．（2010湖南益阳）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝　　　．
7．（2010 浙江台州）如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为(结果保留π) ．
8．（2010辽宁丹东）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．
9．（2010河南）如图．矩形ABCD中,AB=1，AD=.以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为 .
10．（2010 浙江温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于 ．
11．（2010福建泉州）如图，两同心圆的圆心为，大圆的弦切小圆于，两圆的半径分别为和，则弦长= ；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 .(结果保留根号)
12．（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 ．
13．（2010 福建南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中 度．
14．（2010 广西钦州）一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ _°．
15．（2010 山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段__________条.
16．（2010山西）在D是AB的中点，CD=4cm，则AB= cm。
17．（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=，则AB= ．
18．（2010 广西玉林）两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A＝，AC＝10，则此时两直角顶点C、间的距离是 。
19．（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD的长为 。
20．（2010浙江杭州）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，
点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长.
21. 如图，是边长为4的等边三角形，D为BC边上一个动点，作DE//CA，交AB于点E，于点F，当BD的长取什么值时，可使？
22．（2010辽宁丹东）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
23．（2010浙江杭州）已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形， 高为, 体积为V, 表面积等于S.
(1) 当a = 2, h = 3时，分别求V和S；
(2) 当V = 12，S = 32时，求的值.
24. 如图，已知中，，点E，F在AB上，设的面积为。
求证：
25. （2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
26. （2009济宁）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.
（1）当为何值时，⊙与相切；
（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.
27．（2010四川内江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D.
（1）求证：AD平分∠BAC .
（2）若AC＝3，AE＝4.
①求AD的值；
②求图中阴影部分的面积.
28.（2009广西钦州）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是__ ，b＝_ _，c＝_ _；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q
为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；
若不存在，说明理由．
29．（2010 福建南安）如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，于点．
（1）试说明△ABC∽△DBE；
（2）当∠A=30°，AF=时，求⊙O中劣弧 的长．
30．（2010河南）
（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．
31．（2010青海） 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F.
（1）求证：△AOE≌△BOF
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
答案：
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】4
7．【答案】（8+4）π
8．【答案】
9．【答案】
10．【答案】
11．【答案】
12．【答案】2
13．【答案】120
14．【答案】65
15．【答案】8
16．【答案】8
17．【答案】12
18．【答案】5
19．【答案】4或或
20．【答案】
(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ DBA = CAE,
又∵ , ∴ △ABD∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴D =90°,
由（1）得 E =D = 90°,
∵ AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 ,
∴ BC =a .
21. 【答案】分析：本题是研究数量与位置关系的对应性，可借助“逆向探究”的方法。如图，假若，则必有从而有∽。由此求出BD的长，再逆过来予以判定。
解：如图，若则
进而又有
∽。
设则，
又。
，解得
成立。
说明：在本题，虽用了直角三角形一些数量关系，但更主要是要借助于三角形相似。
22．【答案】（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．
在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4．
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．
∴S阴影==．
法二：连结AD．
∵AC⊥BD，AC是直径，
∴AC垂直平分BD．
∴AB=AD，BF=FD，．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．
∵BF=AB=2，sin60°=，
AF=AB·sin60°=4×=6．
∴OB2=BF2+OF2．即．
∴OB=4．
∴S阴影=S圆=．
法三：连结BC．
∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°．
∵AB=4，
∴．
∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，
∴∠BOD=120°．
∴S阴影=π·OA2=×42·π=．
以下同法一．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴．
∴．
23．【答案】
(1) 当a = 2, h = 3时，
V = a2h= 12 ;
S = 2a2+ 4ah =32.
(2) ∵a2h= 12, 2a(a + 2h) =32，
∴ , (a + 2h) =,
∴===.
24. 【答案】注意到，就容易发现有∽。
证明：在和中，
，
∽，得，即。
。
说明：利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟悉，且能灵活运用。
25.【答案】（1）证明：
是直径
是的切线，切点为
（2）
26.【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，
则.
∴∽.∴.
∵,,
∴.∴.
(2)证明：∵，，∴∥.
当时，.
∴.∴.
∴.
∵∽,∴.∴，
∴.∴.
∴当时，四边形为平行四边形.
27．【答案】（1）证明：连接OD，则OA＝OD，∴∠1＝∠3；
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC.
∵AC⊥BC ，
∴OD∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC.
（2）①连结ED.
∵AE为直径，∴∠ADE＝∠C＝90°,
又由（1）知∠1＝∠2，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝,
∵AC＝3，AE＝4，
∴AD2＝AE·AC＝3×4＝12,
∴AD＝＝2.
②在Rt△ADE中，cos∠1＝＝ EQ \f(2,4)＝ EQ \f(,2),
∴∠1＝30°，
∴∠AOD＝120°，DE＝2.
∴S△AOD＝S△ADE＝×AD·DE＝，
S扇形AOD＝＝π.
∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝π－.
28.【答案】（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．
（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2＋2t－1＝0．
∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．
综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．
29．【答案】（1）证明：∵为⊙O的直径，
∴．
∵，
∴，
∴∠ACB=∠DEB．.
又∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DEB ．
（2）连结，则，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=120° ．
，
∴∠AFO=90°．
在Rt△AFO中，，∴
∴AC弧的长为
30．【答案】⑴同意，连接EF，则∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF．
∴ Rt△EGF≌Rt△EDF．
∴ GF＝DF．
⑵ 由⑴知，GF＝DF．设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y.
∵DC＝2DF，∴CF＝x，DC＝AB＝BG＝2x．
∴BF＝BG＋GF＝3x．
在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋x2＝(3x)2．
∴y＝2x，∴．
⑶由⑴知，GF=DF，设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y．
∵DC＝n·DF，∴DC＝AB＝BG＝nx．
∴CF＝(n－1)x，BF＝BG＋GF＝(n＋1)x．
在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n－1)x]2＝[(n＋1)x]2．
∴y＝2x．∴（或）
评析：本题立意新颖，是整个试卷的亮点．“操作发现——问题解决——类比探究”本题所呈现的是完整的探究性学习过程，解答本题，学生需要经历观察、猜想、判断、证明、推广等数学活动．本题的意义不仅在于考查学生对矩形、三角形、勾股定理、解方程等知识的本质理解与掌握，在很大程度上是检验学生的学习过程和学习方式，考查学生的数学思维活动过程．充分体现了新课标理念，对课堂教学具有很好的导向作用．
31．【答案】分析根据ASA证明全等，全等则面积相等，从而求得重叠部分的面积．
（1）证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°
∵∠AOE+∠EOB=90°, ∠BOF+∠EOB=90°
∴∠AOE=∠BOF
在△AOE和△BOF中
∴△AOE≌△BOF
(2)答：两个正方形重叠部分面积等于
因为△AOE≌△BOF
所以：S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=
点评：（1）考查三角形全等的判定（2）考查三角形全等的性质，此题属容易题，只要细心观察，很容易得分。
A
B
E
D
C
F
G
A
C
B
F
O
G
A
B
C
D
F
P
E
Q
A
B
C
D
F
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E
Q
G
2
3
5
G
J
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H
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