(共26张PPT)
章
末
归
纳
整
合
【知识构建】
专题一 复数运算中的简化策略
复数一章，以其概念多、涉及面广、题型多样、运算量大而成为学生学习的难点，因此学习中如何选取适当的方法，降低解题难度，减少解题步骤及计算量，既是学好本章的关键，也是提高数学能力的重要途径．
【思想方法专题】
【例2】
求证：方程(z＋1)2n＋(z－1)2n＝0(n∈N
)只有纯虚数根．
分析：可以通过将方程变形，然后再利用复数的几何意义来证明．
【例3】
已知z∈C且|z|＝1，解方程z5＋z＝1.
分析：由题意可得z5＝1－z，两边取模后，式子左右两边的复数z分别代表两个圆，要使等式成立即要求两圆交点．
专题二 复数系中的一元二次方程问题
一元二次方程的系数为实数时，可以利用根的判别式来判别方程的根的情况，而对于复系数的一元二次方程，则需要注意它的系数是实数还是虚数，就不能单纯地考虑根的判别式了．但根与系数的关系对复系数方程仍然适用，对于复数系中的一元二次方程的根及根与系数的有关问题，作如下探讨．
4．如果1＋2i是实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的根，求a＋b的值．
【解析】∵1＋2i是实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的根，所以1－2i是方程的另外一个根，由韦达定理可得(1＋2i)＋(1－2i)＝－a且(1＋2i)(1－2i)＝b，∴a＝－2，b＝1－4i2＝5，∴a＋b＝3.
【例5】
关于t的方程(1＋i)t2－2(a＋i)t＋5－3i＝0有实根，求实数a的值及方程的根．
分析：设实根然后代入方程通过复数相等的充要条件来解答．
5．已知关于x的方程x2＋(4＋i)x＋3＋pi＝0(p∈R)有实数根，求p的值，并解这个方程．
从近几年高考信息统计可以看出，复数这一模板呈现以下特点：考查复数是题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属于容易题；重点考查复数的四则运算及其几何意义，会在几何意义上与几何知识结合处命题．
【解读高考】
1.(2019年新课标Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】依题意，z＝－3－2i，在复平面内对应的点为(－3，－2)，在第三象限.
【答案】D
3.(2019年新课标Ⅲ)z(1＋i)＝2i,则z＝(
)
A.－1－i
B.－1＋i
]
C.1－i
D.1＋i
【答案】D (共26张PPT)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
实部相等、虚部互为相反数
a－bi
1．复数(3＋2i)i等于( )
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
【答案】B
4．已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )
A．－2
B．2
C．－2i
D．2i
【答案】D
复数代数形式的乘除法运算
【解题探究】利用复数乘、除法法则计算即可．
【答案】(1)A (2)0
共轭复数的应用
复数的模与实数的绝对值混淆致误
【示例】
试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
【错解】将方程变为|x|2－5|x|＋6＝0?|x|＝2或|x|＝3?x＝±2或x＝±3.故共有4个．
【错因】这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.
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3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
目标定位
重点难点
1.掌握复数加法与减法运算法则，并能熟悉地进行加、减法运算
2.掌握复数加法与减法的几何意义，并能运用数形结合的思想方法解决有关问题
重点：理解复数的加减法运算法则
难点：理解复数加减法的几何意义
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
交换律
结合律
平行四边形
复数
加法
终点
被减向量
1．(5－i)－(3－i)－5i＝( )
A．5i
B．2－5i
C．2＋5i
D．2
【答案】B
【解析】5－i－3＋i－5i＝2－5i.
3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝( )
A．0
B．2i
C．6
D．6－2i
【答案】D
【解析】z＝3－i－i＋3＝6－2i.
4．若z－(1＋i)＝1＋i，则z＝________.
【答案】2＋2i
【解析】z＝1＋i＋1＋i＝2＋2i.
复数的加减运算
几个复数相加减，运算法则为这些复数的所有实部相加减，所有虚部相加减．第(3)小题的解法一是从整体上把握，将计算分实部和虚部进行，有机构造特殊数列的和进而求得结果．解法二是从局部入手，抓住了式中相邻两项和的特点，恰当地分组，使计算得以简化．
1．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.
复数加减运算的几何意义
复数概念不清致误
【示例】
有以下命题：
(1)若a，b∈R，z1＝a＋bi，z2＝a－bi，则z1－z2是纯虚数；
(2)若z1，z2∈C且z1－z2＞0，则z1＞z2；
(3)若a＞b，则a＋i＞b＋i.
其中，正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【错解】D
【错因分析】对复数的概念理解不够清晰，当b＝0时，z1－z2＝0为实数；z1－z2＞0，若z1，z2的虚部相等且不为0，则z1，z2不能比较大小；若a＞b，即a，b为实数，复数a＋i与b＋i的虚部不为0，所以两个复数不能比较大小．
【正解】A
【警示】不能把实数中的运算直接推广至复数上．
【答案】D
【解析】z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B.
4．(2019年浙江温州校级模拟)已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝_______，y＝_______.
【答案】6
11(共28张PPT)
3.1.2 复数的几何意义
1．复平面
建立直角坐标系来表示________的平面叫做复平面，____叫做实轴，____叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示______；除了_____外，虚轴上的点都表示________．
复数
x轴
y轴
实数
原点
纯虚数
所有的点
向量
1．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴的右侧，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．b>0，a∈R
D．a>0，b∈R
【答案】D
2．如果复数z＝a＋bi在复平面内的对应点在第二象限，则( )
A．a>b，b<0
B．a>0，b>0
C．a<0，b<0
D．a<0，b>0
【答案】D
3．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【例1】
当实数m为何值时，复数z＝m2－8m＋15＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
【解题探究】根据要求分别列出复数的实部和虚部的关系式，解出m即可．
复数的几何意义
利用复数与点的对应解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.
（2）列出方程：建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
复数的模
【错解】A或C
1．(2017年江西抚州月考)若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1＞0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1＜0.复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)在第四象限．故选D．
【答案】B
3．(2019年吉林延边期末)已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
【答案】B
4．欧拉公式eix＝cos
x＋isin
x(i为虚数单位，e为自然对数的底数，x为实数)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B (共25张PPT)
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
目标定位
重点难点
1.了解引进虚数i的必要性，了解数集的扩充过程
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部等
3.理解复数相等的充要条件
重点：理解有关复数的一些概念
难点：理解复数相等的充要条件
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b________，i叫做__________，a叫做复数的______，b叫做复数的______．
②表示方法：复数通常用______表示，即____________．
(2)复数集
①定义：________所构成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母_____表示．
∈R
虚数单位
实部
虚部
字母z
z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数
C
实数
虚数
a＝0
a≠0
a＝c且b＝d
a＝b＝0
1．如果复数a＋bi(a，b∈R)为实数0，则( )
A．a＝0，b＝1
B．a＝1，b＝0
C．a＝b＝0
D．a＋b＝0
【答案】C
2．复数1－i的虚部是( )
A．i
B．－i
C．－1
D．1
【答案】C
3．(多选题)下列说法中正确的是( )
A.实数是复数
B.虚数是复数
C.实数集和虚数集的交集不是空集
D.实数集与虚数集的并集等于复数集
【答案】ABC
【例1】
已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②两个复数不能比较大小；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
复数的概念
其中真命题的个数是( )
A．0个
B．1个
C．3个
D．4个
【解题探究】利用复数的概念进行判断．
【答案】A
1.复数的概念
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0
2.复数分类的关键
利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.
1．若复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数(i是虚数单位)，则实数m＝( )
A．2
B．3
C．0
D．2或3
【答案】A
复数相等的充要条件的应用
两个复数相等，一定要注意分清两个复数的实部和虚部，然后利用复数相等的充要条件将复数问题转化为实数问题．
2．如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，求实数x，y的值．
复数相等的概念模糊致误
【示例】
已知x是实数，y是纯虚数且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x和y的值．
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，还要注意b≠0.
2．复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，桥梁是z＝a＋bi(a，b∈R)，依据是复数相等的充要条件．
1．若复数a2－1＋(a－1)i(i是虚数单位)是实数，则实数a＝( )
A．±1
B．－1
C．0
D．1
【答案】D
【解析】∵复数a2－1＋(a－1)i(i是虚数单位)是实数，∴a－1＝0，解得a＝1.故选D．
【答案】D
3．(2018年山西太原模拟)若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
【答案】A
4．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是________.
【答案】3－3i
