(共43张PPT)
2.3 数学归纳法
目标定位
重点难点
1.了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点
2.会用数学归纳法证明有关数学命题
重点：归纳法的原理、证明步骤及变形特点
难点：数学归纳法证明有关几何问题、整除问题和归纳猜想的问题
1．数学归纳法适用于证明一个与__________有关的命题．
2．数学归纳法的步骤
(1)(归纳奠基)_______________________________；
(2)(归纳递推)_____________________________________
_______________________；
(3)结论：由(1)(2)可知命题对一切n≥n0的自然数都成立．
正整数n
证明当n取第一个值n0时命题成立
假设n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明
当n＝k＋1时命题也成立
3．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】C
用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1证明目标的表达式变形．
1．用数学归纳法证明：当n∈N
时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．
证明：(1)当n＝1时，左式＝1·22－2·32＝－14，
右式＝－1·2·7＝－14.等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即
(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，
则(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]
＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]
＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)(6k＋7)
＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)
＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．
说明当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)，可知等式对一切n∈N
都成立．
不等式的证明
用数学归纳法证明不等式的关键
（1）验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
（2）用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论.（3）用数学归纳法证明不等式，由n＝k时成立证n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
【例3】
用数学归纳法证明x2n－1＋y2n－1(n∈N
)能被x＋y
整除．
【解题探究】利用数学归纳法证明时，要注意“n＝k”与“n＝k＋1”之间项的关系．
证明：(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．
证明整除问题
(2)假设当n＝k(k∈N
且k≥1)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．
那么当n＝k＋1时，
x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．
∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，
∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．
由(1)(2)，可知原命题成立．
用数学归纳法证明整除问题时，要注意将式子拆成几部分的和、差或乘积形式，然后分析每一个部分能否整除．
3．用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N
)能被7整除．
证明：(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N
且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，
62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)(2)，知命题成立．
【例4】
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N
)，其中λ>0.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
【解题探究】根据条件求出a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式，然后用数学归纳法证明．
归纳、猜想、证明
【解析】(1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，
将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4.
将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8.
将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.
(2)由a2，a3，a4对{an}的通项公式做出猜想：
an＝(n－1)λn＋2n.
当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．
假设当n＝k(k∈N
且k≥1)时，ak＝(k－1)λk＋2k，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝(k－1)λk＋1＋2kλ＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.
由此可知，当n＝k＋1时，
ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．
综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N
都成立．
归纳、猜想、证明的一般环节
（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础.
（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般结论.
（3）证明：对一般结论用数学归纳法进行证明.
4．用数学归纳法证明结论：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×2×…×(2n－1)(n∈N
)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式为________．
【答案】2(2k＋1)(共27张PPT)
2.2.2 反证法
1．反证法
假设原命题_______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了___________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________矛盾，或与____矛盾或与____________________矛盾等．
不成立
假设错误
原命题成立
已知条件
假设
定义、公理、定理、事实
1．反证法是( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
【答案】A
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
【答案】C
3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的说法为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
4．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________________．
【答案】x＝a或x＝b
【解析】否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.
【例1】
设a，b，c，d∈R且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
【解题探究】此题结论为否定形式的命题，可考虑用反证法进行证明．
“否定”型命题
1.一般当题目中含有“不可能”“都不”等否定性词语时，宜采用反证法证明．
2.用反证法证明数学命题的步骤：（1）反设.假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.（2）归谬.从反面和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.（3）存真.由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立.
1．已知a，b，c是一组勾股数，即a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
证明：假设a，b，c都是奇数，∵a，b，c是一勾股数，
∴a2＋b2＝c2.(
)
∵a，b，c都是奇数，∴a2，b2，c2也都是奇数．
∴a2＋b2是偶数，这样(
)式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾．
∴a，b，c不可能都是奇数．
【例2】
已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．
【解题探究】结论以“只有一个”形式出现，可采用反证法进行证明．
“唯一”型命题
证明：如图．假设过直线a且平行于直线b的平面至少有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d.由b∥α，知b∥c，同理b∥d.故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾．故假设不成立，原结论成立．
“唯一”型命题从正面往往难于证明，可采用反证法假设不唯一，经推理得出矛盾．值得注意的是，若命题中含有“有且只有”“唯一存在”等语句，则既要证明存在性，又要证明唯一性．
2．求证：方程2x＝3有且只有一个根．
证明：x＝log23时，2x＝3.这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
“至多”“至少”型命题
题目叙述中有“至少”“至多”等字眼，用反证法证明可减少讨论情况．此外，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等词的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现错误．
3．若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
反设出错致误
【例4】
已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则
Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加，有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由题意a，b，c互不相等，可知上式不能成立．
所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
【警示】用反证法证明含有“至少”“至多”等字眼的命题时，一定要先写出正确的否定．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法；
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背，但推导出的矛盾必须是明显的．
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
【答案】B
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
【答案】C
3．(2018年河北秦皇岛模拟)若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然正确；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错误．
4．用反证法证明命题“a是正数”，第一步应假设______．
【答案】a≤0(共31张PPT)
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
1．综合法
(1)定义：利用_________和某些数学______、________、________等，经过一系列的___________，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．
已知条件
定义
公理
定理
推理论证
已知条件
定义
公理
定理
证明的结论
结论
充分条件
1．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件( )
A．a2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2
D．a2≤b2＋c2
【答案】C
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0A．[2,3]
B．[1,3]
C．(1,2)
D．(1,3)
【答案】C
3．已知a，b，c为三条不同的直线且a?平面M，b?平面N，M∩N＝c.
①若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
②若a∥b，则必有a∥c；
③若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.
以上命题中正确的是( )
A．①
B．②
C．③
D．②③
【答案】B
【解析】由线面平行的判定与性质，可知②正确．
4．若0【答案】a＋b
综合法的应用
用综合法证题
【解题探究】运用综合法，结合an与Sn的关系及数列的知识来论证．
分析法证明不等式的依据、范围、方法与技巧
（1）解题依据：不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.
（2）适用范围：条件简单、结论复杂的不等式的证明.
（3）思路方法：从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
（4）应用技巧：恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
分析法的应用
若条件不易入手，则转而从结论入手，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知或显然成立的关系式，这就是分析法．它多用于含有无理式、分式、绝对值等关系式的证明．
综合法与分析法的综合应用
本题的证明是先用综合法，然后用分析法且以分析法为主．在实际证题时，常把分析法与综合法结合起来运用，先以分析法探寻证题思路，再用综合法有条理地表达证明过程．(共27张PPT)
2.1.2 演绎推理
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出________________的结论的推理．
(2)特点：由______到______的推理．
(3)一般模式：__________.
大前提：________________________________；
小前提：________________________________；
结论：______________________________________.
某个特殊情况下
一般
特殊
三段论
已知的一般原理
所研究的特殊情况
根据一般原理，对特殊情况作出的判断
2．“三段论”的常用格式
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：______.
S是P
1．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
【答案】B
2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”此推理的小前提是( )
A．①
B．②
C．③
D．①②
【答案】B
3．下面说法正确的有( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
4．从推理形式上看，归纳推理是由____________，类比推理是由____________，演绎推理是由____________．
【答案】特殊到一般 特殊到特殊 一般到特殊
【例1】
将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)正整数中不能被2整除的数都是奇数，75不能被2整除，所以75是奇数；
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；
(3)菱形对角线互相平分；
(4)通项公式为an＝3n＋2的数列{an}为等差数列．
三段论的基本形式
【解题探究】明确三段论中大前提、小前提和结论之间的关系．
【解析】(1)正整数中不能被2整除的数都是奇数．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)
菱形是平行四边形．(小前提)
菱形对角线互相平分．(结论)
(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式为an＝3n＋2，若n≥2，则
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2的数列{an}为等差数列．(结论)
用三段论写推理过程的技巧
（1）关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．
（2）何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略．
（3）如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提．
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
【答案】B
【解析】对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.
演绎推理的应用
演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，如果前提是显然的，则可以省略．在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
2．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD；
(2)求证：CE∥平面AB1D．
证明：(1)连接A1D，BD．
∵三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，∴A1ABB1为正方形．
∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点，∴△A1C1D≌△BCD．∴A1D＝BD．∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG.
又DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D．
又AD?平面AB1D，∴A1B⊥AD．
【例3】
如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
(1)求证：O为△BCD的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．
合情推理、演绎推理的综合应用
【解题探究】(1)利用立体几何知识证明．(2)类比平面勾股定理，猜想立体图形的面积平方的关系．
【解析】(1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，AD⊥BC．
又AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC．
∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD．
∴BC⊥DO.
同理可证CD⊥BO.
∴O为△BCD的垂心．
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定为真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(在前提和推理形式都正确的前提下)．(共28张PPT)
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
1．归纳推理
(1)定义：由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由________概括出__________的推理．
(2)特征：归纳推理是由______到______，由______到______的推理．
部分对象
全部对象
个别事实
一般结论
部分
整体
个别
一般
2．类比推理
(1)定义：由两类对象具有某些______特征和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理．
(2)特征：类比推理是由________到________的推理．
类似
已知特征
特殊
特殊
3．合情推理
(1)含义：
归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过________、______、______、______，再进行______、______，然后提出________的推理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程：
观察
分析
比较
联想
归纳
类比
猜想
2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【答案】C
3．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
【答案】D
4．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题
_____________________________________________.
【答案】夹在两平行平面间的平行线段相等
归纳推理在数列中的应用
【解题探究】写出前4项，通过观察，发现相应的规律．
1.在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和,解题步骤是先通过已知条件求出数列的前几项或前n项和，再根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解，最后运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
2.已知等式或不等式进行归纳推理时，要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式、项数和次数等方面的变化规律，提炼出等式(或不等式)的综合特点，运用归纳推理得出一般结论.
【例2】
在平面内观察，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n边形(n∈N
且n≥4)有几条对角线，并给出证明．
【解题探究】通过观察，发现规律，并给出相应的证明．
归纳推理在几何中的应用
利用归纳推理解决几何问题的两个策略
（1）通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．
（2）递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式．
观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为____________．
类比推理的应用
1．类比推理的步骤
（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．
（3）检验(或证明)这个猜想是正确的．
2．平面图形与空间图形类比如下
3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
【答案】C
【解析】由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理．上述三个结论均符合推理结论，故均正确．