函数的图像
知识梳理
1.利用描点法作函数图像的流程
2.函数图像间的变换
(1)平移变换
对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.
(2)对称变换
(3)伸缩变换
y=f(x)y=f(ax),
y=f(x)y=Af(x).
1.函数图像自身的轴对称
(1)f(-x)=f(x)?函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
(2)函数y=f(x)的图像关于x=a对称?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x);
(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称.
2.函数图像自身的中心对称
(1)f(-x)=-f(x)?函数y=f(x)的图像关于原点对称;
(2)函数y=f(x)的图像关于(a,0)对称?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x);
(3)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x);
(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图像关于点对称.
3.两个函数图像之间的对称关系
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称(由a+x=b-x得对称轴方程);
(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称;
(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图像关于点(0,b)对称;
(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)对称.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)将函数y=f(x)的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图像.( )
(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图像相同.
( )
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称.
( )
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.
( )
(5)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.
( )
2.(2020山东师大附中月考)函数y=log2|x|的图像大致是( )
3.(2020天津,3)函数y=的图像大致为( )
4.(2020浙江,4)函数y=xcos
x+sin
x在区间[-π,π]上的图像可能是( )
5.已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
关键能力学案
考点
作函数的图像
【例1】作出下列函数的图像:
(1)y=|lg
x|;(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=.
解题心得作函数图像的一般方法
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.
(2)图像变换法.变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.
(3)描点法.当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图像,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.
对点训练1作出下列函数的图像:
(1)y=10|lg
x|;
(2)y=|x-2|·(x+1);
(3)y=.
考点
函数图像的识辨
(多考向探究)
考向1 知式判图
【例2】(2020山东潍坊一模,5)函数f(x)=在[-π,π]上的图像大致为( )
考向2 知图判式
【例3】(2020河北沧州一模,理5)已知函数f(x)的图像如图所示,则f(x)可以为( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=-x
D.f(x)=
考向3 知图判图
【例4】已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为( )
解题心得函数图像辨识的入手方面
(1)从函数的定义域判断图像“左右”的位置;从函数的值域判断图像的“上下”位置.
(2)从函数的单调性判断图像的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性判断图像的对称性.
(4)从函数的周期性判断图像的循环往复.
(5)必要时可求导研究函数性质,从函数的特征点,排除不合要求的图像.
利用上述方法,可排除、筛选错误与正确的选项.
对点训练2(1)(2019全国1,理5)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为( )
(2)(2020山东青岛5月模拟,4)下列函数的解析式(其中e=2.718
28…为自然对数的底数)与所给图像最符合的是( )
A.y=sin(ex+e-x)
B.y=sin(ex-e-x)
C.y=tan(ex-e-x)
D.y=cos(ex+e-x)
(3)已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图像,则函数y=f(x)·g(x)的部分图像可能是( )
考点
函数图像的应用
(多考向探究)
考向1 与函数零点有关的参数范围
【例5】(2018全国1,理9)已知函数f(x)=
g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0)
B.[0,+∞)
C.[-1,+∞)
D.[1,+∞)
解题心得将函数的零点转化为方程的根,构造方程两边的函数,通过函数图像的交点个数满足已知函数零点个数,求出参数的取值范围.
对点训练3已知f(x)=若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实数根,则实数a的取值范围是( )
A.∪[1,2)
B.∪[1,2)
C.(1,2)
D.[1,2)
考向2 已知函数不等式求参数的范围
【例6】(2020湖南永州二模,理9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2-|x+2|.若对任意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,则实数a的取值范围是( )
A.(0,2)
B.(0,2)∪(-∞,-6)
C.(-2,0)
D.(-2,0)∪(6,+∞)
解题心得有关函数不等式的问题,常常转化为两函数图像的上、下关系来解.
对点训练4(2019全国2,理12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是( )
A.-∞,
B.-∞,
C.-∞,
D.-∞,
考点
函数图像对称性的应用
【例7】已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=.则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实数根时,实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪-,+∞
B.(0,1)
C.-1,-∪-,+∞
D.-2,-∪-,0
解题心得由f(-x)=-f(x)?y=f(x)的图像关于原点对称,f(-x)=-f(x)?f(0-x)=-f(0+x),当把0换成a时,则有f(a-x)=-f(a+x)?函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称,推广可得f(a+x)=2b-f(a-x)?函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称.
对点训练5(2020北京海淀一模,7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图像关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内递减,则m的取值范围为( )
A.[-1,+∞)
B.(-∞,-1]
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
1.作图的方法有:
(1)直接法,利用基本初等函数作图;
(2)图像变换法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等;
(3)描点法,为使图像准确,可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等了解图像的大体形状.
2.识图题与用图题的解决方法:
(1)识图:对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系.
(2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程、不等式的问题用函数图像来解.
1.确定函数的图像,一定要从函数的定义域及性质出发.
2.识图问题常常结合函数的某一性质或特殊点进行排除.
3.要注意一个函数的图像自身对称和两个不同的函数图像对称的区别.
2.7 函数的图像
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.(1)y=f(x)-k (2)函数y=-f(-x)的图像
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.C 函数y=log2|x|为偶函数,作出x>0时y=log2x的图像,图像关于y轴对称,故选C.
3.A ∵函数y=为奇函数,∴排除选项C,D.再把x=1代入得y==2>0,排除选项B.故选A.
4.A 因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x∈时,xcosx+sinx>0,所以排除B.故选A.
5.D 因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,
在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图像.如图,
两函数图像的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
关键能力·学案
例1解(1)y=的图像如图1.
(2)y=2x+2的图像是将y=2x的图像向左平移2个单位长度.其图像如图2.
(3)y=的图像如图3.
(4)因为y=1+,先作出y=的图像,将其图像向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
即得y=的图像,如图4.
对点训练1解(1)当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0
故y=
图1
这是分段函数,每段函数的图像可根据正比例函数或反比例函数图像作出,如图1.
(2)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=;
当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)·(x+1)=-x2+x+2=-.
所以y=
图2
这是分段函数,每段函数的图像可根据二次函数的图像作出,如图2.
(3)y==1-,该函数图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,如图3所示.
图3
例2A 当x∈(0,π)时,x>sinx,此时f(x)=>0,只有选项A符合题意,故选A.
例3A 首先对4个选项进行奇偶性判断,可知f(x)=为偶函数,不符合题意,排除选项B;其次对其在(0,+∞)上的零点个数进行判断,f(x)=在(0,+∞)上无零点,不符合题意,排除选项D;然后进行单调性判断,f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,排除选项C.故选A.
例4B y=f(x)y=f(-x)y=f(2-x)y=-f(2-x).故选B.
对点训练2(1)D (2)D (3)A (1)由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除选项A.又f>1,f(π)=>0,排除选项B,C.故选D.
(2)当x=0时,y=sin(e0+e0)=sin2>0,故排除选项A;y=sin(e0-e0)=0,故排除选项B;y=tan(e0-e0)=0,故排除选项C;y=cos(e0+e0)=cos2<0,符合题意.故选D.
(3)由已知图像可知,函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以函数y=f(x)·g(x)是奇函数,故排除选项B;当x∈-π,-时,f(x)·g(x)<0,当x∈-,0时,f(x)·g(x)>0,同时y=f(x)·g(x)在x=0处无定义,故选A.
例5C 要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个不同的实根,即函数y=f(x)的图像与直线y=-x-a的图像有两个交点,从图像可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.
对点训练3B 关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,等价于y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,画出y=a,y=f(x)的图像,如图,
由图可知,当a∈∪[1,2)时,y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,此时,关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,所以实数a的取值范围是∪[1,2),故选B.
例6D 因为x<0时,f(x)=2-|x+2|,又因为f(x)是R上的奇函数,作出函数f(x)的图像如下图,
y=f(x+a)的图像可以看成是y=f(x)的图像向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位长度而得.当a>0时,y=f(x)的图像至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足f(x+a)>f(x)成立,当a<0时,y=f(x)的图像向右平移至多2个单位长度(不含2个单位长度)才能满足f(x+a)>f(x)成立(对任意的x∈[-1,2]),故a∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D.
对点训练4B ∵f(x+1)=2f(x),
∴f(x)=2f(x-1).
∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
∴f(x)的图像如图所示.
∵当2即(3x-7)(3x-8)=0,
解得x1=,x2=.
∵当x∈(-∞,m]时,f(x)≥-恒成立,即m≤,故m∈-∞,.
例7A ∵f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,∴f(x)的图像关于点(1,1)中心对称,作出其大致图像,如图所示,
∵f(x)+2a=0没有负实数根,即y=f(x)的图像与y=-2a图像在(-∞,0)无交点,
∴-2a≤1或-2a≥2,解得a≥-或a≤-1.
故选A.
对点训练5D 因为f(x)=|x-m|与函数g(x)的图像关于y轴对称,又g(x)在区间(1,2)内递减,则f(x)在区间(-2,-1)内递增,而f(x)=|x-m|=在区间(m,+∞)上递增,则有m≤-2,即m的取值范围为(-∞,-2],故选D. 函数与方程
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使 成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.?
(2)与函数零点有关的等价关系
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与 有交点?函数y=f(x)有 .?
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
函 数
y=ax2+bx+c(a>0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
图 像
与x轴
的交点
?
?
无交点
零点个数
?
?
?
3.二分法
函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续不断,且 ,通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.?
1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.
2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0?函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( )
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.
( )
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.
( )
(4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.
( )
(5)函数y=2sin
x-1的零点有无数多个.
( )
2.(2020云南玉溪一中二模)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
4.若函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,则正实数a的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,1]
C.(0,2)
D.(0,2]
5.(2020天津和平区一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln
x+x-4的零点,则g(x0)= .?
关键能力学案
考点
判断函数零点所在的区间
【例1】(1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.-1
B.0
C.1
D.2
(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln
x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是( )
A.(0,1)
B.(e-1,1)
C.(0,e-1)
D.(1,e)
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.
(3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是
( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
考点
判断函数零点的个数
【例2】(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+在区间[-9,10]上零点的个数为( )
A.10
B.12
C.18
D.20
解题心得判断函数零点个数的方法
(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图像连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2
020]上的零点个数为( )
A.5
050
B.4
041
C.4
040
D.2
020
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为 .?
考点
函数零点的应用
(多考向探究)
考向1 已知函数零点所在区间求参数
【例3】(1)(2020山东烟台模拟,6)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3)
D.(0,2)
(2)(2020湖南湘潭三模,理16)已知函数f(x)=若在区间[-1,1]上方程f(x)=1只有一个解,则实数m的取值范围为 .?
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是 .?
考向2 已知函数零点个数求参数问题
【例4】(1)(2020东北三省四市模拟,理11)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.3,
B.3,
C.(3,4)
D.(3,4]
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是 .?
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2)
B.[0,1)
C.(-∞,2]
D.(-∞,1]
(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,任意x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是 .?
1.函数零点的常用判定方法:
(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.
2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.
3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像等综合考虑.
2.8 函数与方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x)=0 (2)x轴 零点 (3)连续不断的 f(a)·f(b)<0 f(x0)=0
2.(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 1 0
3.f(a)f(b)<0 一分为二 零点
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.B 易知f(x)=2x+3x在R上递增,且f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B.
3.C 易知函数f(x)=x3+x-4在R上递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.B 由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x∈(-∞,1],得2x∈(0,2],可得05.2 ∵函数f(x)=lnx+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图像是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.
关键能力·学案
例1(1)C (2)D (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
(2)令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.
又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=,x>0.
所以f(x)-f'(x)=lnx-+e.令g(x)=lnx-+e-e=lnx-,x∈(0,+∞).
因为g(x)=lnx-在(0,+∞)内的图像是连续的,且g(1)=-1<0,g(e)=1->0,
所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.
对点训练1(1)B (2)B (1)∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.
(2)由图像知<1,得10,所以g(0)g(1)<0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.
例2(1)B (2)A (1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=.
令g(x)=|log0.5x|,h(x)=,画出g(x),h(x)的图像如图所示.
因为两个函数的图像有两个交点,所以f(x)有两个零点.
(2)求F(x)在[-9,10]上零点的个数,等价于f(x)与g(x)=-的图像在[-9,10]上交点的个数,
∵f(x)为偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,∴当x∈[0,1]时,f(x)=x,
又f(1+x)=f(1-x),
∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(1-1-x)=f(-x)=f(x),即f(x)的周期为2,g(x)=-,
∴g(x)的图像关于点对称,作出f(x)与g(x)在,10上的函数图像如图所示,
由图像可知f(x)与g(x)在,10上有5个交点,根据对称性可知在-9,上也有5个交点,故选A.
对点训练2(1)B (2)7 (1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图像关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2019,2020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图像是由f(x)的图像关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为1+2020×2=4041.
(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图像,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.
例3(1)C (2)m,或m=1 (1)函数f(x)=2x--a在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,解得0(2)当0≤x≤1时,由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即x=x2+m;
当-1≤x≤0时,由f(x)=1,得2x+1-x2-m=1,即2x+1-1=x2+m.
设g(x)=h(x)=x2+m,则问题转化为g(x)与h(x)=x2+m的图像在[-1,1]上只有一个交点.
画出g(x)与h(x)在[-1,1]上的图像如图所示,
结合图像可知,当h(0)=1,即m=1时,两个函数的图像只有一个交点;
当解得-1≤m<-时,两个函数的图像只有一个交点,故所求实数m的取值范围是m-1≤m<-,或m=1.
对点训练3(1)A (2)-,2 (1)由f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
(2)因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=2x-2-,
因为x∈[-1,1],所以2x∈,2,
所以2x-2-∈-,2.
所以实数a的取值范围是-,2.
例4(1)B (2)1, (1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图像如图所示,
由图像可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,
要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,解得3(2)由题意,ax=x,两边取对数得,xlna=lnx,
所以lna=,设y=,则y'=,故y=在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,
所以当x=e时,得ymax=,所以当0对点训练4(1)A (2)∪() (1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)递增.由h'(x)<0得-10时,h(x)=f(x)-x=-lnx-x递减,作出函数h(x)的图像如图所示,
要使a=h(x)有3个根,则0≤a<2,即实数a的取值范围为[0,2),故选A.
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x),∴f(x-2)=f(2+x),令x-2=t,则f(t)=f(4+t),∴f(x)的周期为4.
由g(x)=f(x)-loga(x+1)=0得f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
函数y=f(x)和y=loga(x+1)的图像在区间(-1,9]内有3个不同的公共点.
作函数f(x)与y=loga(x+1)在(-1,9]上的图像如下,
当a>1时,
解得当0解得