函数的单调性与最值
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1
当x1图像
描述
自左向右看图像是 ?
自左向右看图像是 ?
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f(x)的单调区间.?
2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有 ;?
(2)存在x0∈I,使得 ?
(3)对于任意x∈I,都有 ;?
(4)存在x0∈I,使得 ?
结论
M为最大值
M为最小值
1.函数单调性的常用结论:
f(x)在区间D上是增函数f(x)在区间D上是减函数定义法x1f(x2)图像法从左到右函数图像上升从左到右函数图像下降导数法导数大于零导数小于零运算法增加的+增加的减少的+减少的复合函
数法内外层单调性相同内外层单调性相反
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减少的.
( )
(2)函数f(x)=log5(2x+1)的递增区间是(0,+∞).( )
(3)函数y=f(x)在[a,+∞)上是增加的,则函数的递增区间是[a,+∞).
( )
(4)设任意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增加的?>0.
( )
(5)所有的单调函数都有最值.
( )
2.(2020广东潮州检测)下列函数在区间(0,1)上为增加的是( )
A.y=-x3+1
B.y=cos
x
C.y=lox
D.y=x-
3.(2020广东佛山一中月考)已知a>0且a≠1,函数f(x)=在R上递增,那么实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(1,2]
4.已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是( )
A.f(x)有最大值,无最小值
B.f(x)有最大值,最小值
C.f(x)有最大值,无最小值
D.f(x)有最大值2,最小值
5.(2020湖南三湘名校十月联考,14)已知函数f(x)的图像关于y轴对称,当x≥0时,f(x)递增,则不等式f(2x)>f(1-x)的解集为 .?
关键能力学案
考点
证明或判断函数的单调性
【例1】讨论函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)内的单调性.
思考判断函数单调性的基本方法有哪些?
解题心得1.判断函数单调性的四种方法
(1)定义法;
(2)图像法;
(3)利用已知函数的单调性;
(4)导数法.
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法
(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;
(2)可导函数可以利用导数证明.
3.复合函数单调性的判断方法
复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
对点训练1判断并证明函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
考点
求函数的单调区间
【例2】(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的递增区间是
( )
A.
B.和[2,+∞)
C.(-∞,1]和
D.和[2,+∞)
(2)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间是( )
A.(-∞,-2)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
(3)函数f(x)=(3-x2)ex的递增区间是 ;递减区间是 .?
思考求函数的单调区间有哪些方法?
解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义.
(3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
对点训练2(1)函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为( )
A.(-∞,-1)
B.
C.
D.(4,+∞)
(2)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则( )
A.f(x)在(2,6)上递增
B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln
2
C.f(x)在(2,6)上递减
D.y=f(x)的图像关于点(4,0)对称
(3)已知函数y=|x|(1-x)在区间A上递增,则区间A是( )
A.(-∞,0)
B.
C.[0,+∞)
D.
考点
函数单调性的应用
(多考向探究)
考向1 利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值
【例3】(1)(2020河南驻马店二模,文13)函数f(x)=9x2+的最小值为 .?
(2)函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.[1,2)
D.[-1,2)
解题心得函数最大(小)值的几何意义
函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.
对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“?”,定义如下,当a≥b时,a?b=a;当aA.-1
B.1
C.12
D.6
考向2 利用函数的单调性比较大小
【例4】(1)(2020全国1,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )
A.a>2b
B.a<2b
C.a>b2
D.a(2)(其中e为自然常数)的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
解题心得对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.
对点训练4(2020天津和平一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>b>c
D.a>c>b
考向3 利用函数的单调性解不等式
【例5】(2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)对点训练5已知函数f(x)为(0,+∞)上是增加的,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为 .?
考向4 利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)
【例6】(2020山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是( )
A.,1
B.[1,2]
C.,2
D.(0,2]
解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.
对点训练6已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在[1,+∞)上递减,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.-,2
D.-,2
1.函数单调性判定的常用方法:图像法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.
2.求函数值域或最值的常用方法:
(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.
(2)图像法:先作出函数在给定区间上的图像,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值.
(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.
(4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.
(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.
3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.
4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:
(1)抓住对变量所在区间的讨论.
(2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系.
(3)弄清最终结果取并还是取交.
1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.
2.不同的单调区间之间不能用符号“∪”连接.
双变量问题中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.
类型1 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”
【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=x-,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为-,6.
令h(x)=f'(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),则h'(x)=6x+2,由h'(x)=0得x=-.
当x∈-1,-时,h'(x)<0;
当x∈-,1时,h'(x)>0.
所以[h(x)]min=h-=-a2-2a-.
又由题意可知,h(x)的值域是-,6的子集,
所以解得实数a的取值范围是[-2,0].
思维此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
【例2】已知函数f(x)=函数g(x)=ksin-2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解由题意,易得函数f(x)在[0,1]上的值域为[0,1],g(x)在[0,1]上的值域为2-2k,2-,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-k<0,解得k<或k>,所以要使两个值域有公共部分,实数k的取值范围是.
思维本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)【例3】已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,1,存在x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是 .?
答案,+∞
解析依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)=x+在,1上递减,∴f(x)max=f=.又g(x)=2x+a在[2,3]上递增,
∴g(x)max=8+a,因此≤8+a,解得a≥.
思维理解量词的含义,将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max,利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围.
思考1:在[例3]中,若把“存在x2∈[2,3]”变为“任意x2∈[2,3]”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是 .?
提示问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者自行求解.
思考2:在[例3]中,若把“任意x1∈,1”改为“存在x1∈,1”,其他条件不变,则实数a的取值范围是 .?
提示问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.
思考3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”变为“f(x1)≥g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是 .?
提示问题“等价转化”为f(x)min≥g(x)min,请读者自行求解.
2.2 函数的单调性与最值
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x1)f(x2) 上升的
下降的 (2)增函数 减函数 区间D
2.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.D y=-x3+1,y=cosx,y=lox在区间(0,1)上都是减少的,y=x-在区间(0,1)上是增加的.
3.D 因为a>0且a≠1,f(x)=在R上递增,所以解得14.A f(x)=+2在[-8,-4)上是减少的,故f(x)有最大值f(-8)=,无最小值,故选A.
5.(-∞,-1)∪,+∞ 结合题意,f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)递增,要满足f(2x)>f(1-x),则要求|2x|>|1-x|,即(2x)2>(1-x)2,解得x<-1或x>.
关键能力·学案
例1解(方法1)
设x1,x2是任意两个正数,且0当0又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0,]上是减少的.
当≤x1a.
又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在[,+∞)上是增加的.
(方法2)
因为f(x)=x+,所以f'(x)=1-.
由f'(x)>0,得1->0,即x2>a,
解得x>;
由f'(x)<0,得1-<0,即x2解得0所以f(x)在(0,)内是减少的,在(,+∞)内是增加的.
对点训练1解当a>0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上递增.证明如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1因为f(x)=a=a1+,则f(x1)-f(x2)=a1+-a1+=,
由于-10,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(方法2 导数法)f'(x)=,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上递增.
例2(1)B (2)D (3)(-3,1) (-∞,-3),(1,+∞) (1)y=|x2-3x+2|=
如图所示,函数的递增区间是和[2,+∞).
(2)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间为(4,+∞).
(3)f'(x)=-2x·ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-30,当x>1或x<-3时,f'(x)<0,所以函数y=(3-x2)ex的递增区间是(-3,1),递减区间是(-∞,-3),(1,+∞).
对点训练2(1)A (2)B (3)B (1)由x2-3x-4>0,得f(x)的定义域为x>4或x<-1,由y=log2x是增函数,知f(x)的递减区间即y=x2-3x-4的递减区间,
当x∈时,函数y=x2-3x-4递减,
结合f(x)的定义域,可得函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为(-∞,-1).故选A.
(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则y=lnt,
二次函数t=(x-2)(6-x)的对称轴为直线x=4,
所以f(x)在(2,4)上递增,在(4,6)上递减,A错,C也错,D显然是错误的;当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,B正确.
(3)y=|x|(1-x)
=
画出函数的图像如图所示.
由图易知原函数在上递增.故选B.
例3(1)9 (2)D (1)∵f(x)的定义域为[1,+∞),且f(x)在定义域上递增,
∴f(x)min=f(1)=9.故答案为9.
(2)函数y=-1在区间(-1,+∞)上递减.
当x=2时,y=0.根据题意x∈(m,n]时,ymin=0.所以m的取值范围是[-1,2).故选D.
对点训练3D 因为a?b=所以f(x)=(1?x)·x-(2?x)=易知函数在[-2,2]上递增,所以f(x)max=f(2)=6,故选D.
例4(1)B (2)A (1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.
因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.
令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上递增.由f(a)(2)由于,故可构造函数f(x)=(x≠0),于是f(4)=,f(5)=,f(6)=.而f'(x)='=,令f'(x)>0得x<0或x>2,即函数f(x)在(2,+∞)上递增,因此有f(4)对点训练4C 构造函数g(x)=,则函数g(x)是减函数.
a=25f(0.22)==g(0.22),
b=f(1)==g(1),
c=-log53f(lo5)==g(log35),
∵0.22<1b>c.
例5D 不等式xf(x-1)≥0可化为
∵f(2)=0,∴f(-2)=0.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.
∵f(x)在(-∞,0)上递减,
∴f(x)在(0,+∞)上也递减.
∴
解得1≤x≤3或-1≤x≤0,
∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.
对点训练5(-3,-1)∪(3,+∞) 由已知可得解得-33,所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
例6C 原问题等价于f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增,所以f(|log2a|)≤f(1),所以|log2a|≤1.求解关于实数a的对数不等式,可得实数a的取值范围是,2.
对点训练6D 令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=lot在其定义域上递减,要使f(x)=lo(x2-ax+3a)在[1,+∞)上递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0,即所以即-
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定 义
图像特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是偶函数?
关于 对称?
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是奇函数?
关于 对称?
2.函数的周期性
(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0;② 对定义域内的任意x都成立.?
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最小正周期.?
(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
1.函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=±,则T=2a;
(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称;
(4)若y=f(x)对任意的x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称;都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则函数y=f(x)的图像关于点中心对称.
(5)已知函数f(x)图像的对称轴为x=m,若f(x)在区间(m,+∞)上递增,则当|x1-m|>|x2-m|时,f(x1)>f(x2);若f(x)在区间(m,+∞)上递减,则当|x1-m|>|x2-m|时,f(x1)考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=x2在区间(0,+∞)内是偶函数.
( )
(2)偶函数的图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点.
( )
(3)若函数y=f(x-2)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称.
( )
(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.
( )
(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上递减,则f(x)在(0,+∞)上递增.
( )
(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.
( )
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=aln
x+a.若f(-e)=4,则f(0)+f(1)=( )
A.-1
B.0
C.-2
D.1
3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e-x-1
B.e-x+1
C.-e-x-1
D.-e-x+1
4.(2020全国2,文10)设函数f(x)=x3-,则f(x)
( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)递减
5.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是 .?
关键能力学案
考点
函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xlg(x+);
(2)f(x)=
(3)f(x)=.
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
解题心得判断函数的奇偶性要注意两点
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
对点训练1(1)(2020河南实验中学4月模拟,3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)·g(x)是偶函数
B.|f(x)|·g(x)是奇函数
C.f(x)·|g(x)|是奇函数
D.|f(x)·g(x)|是奇函数
(2)在下列函数中,与函数f(x)=2x-1-的奇偶性、单调性均相同的是( )
A.y=ex
B.y=ln(x+)
C.y=x2
D.y=tan
x
考点
函数奇偶性的应用
【例2】(1)设f(x)-x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为( )
A.g(x)=x3
B.g(x)=cos
x
C.g(x)=1+x
D.g(x)=xex
(2)已知函数y=f(x+1)-2是奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)的图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6= .?
(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上递增,则f(x-1)≤f(2x)的解集为( )
A.-1,
B.-1,
C.[-1,1]
D.,1
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.
2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.
对点训练2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若x>0时,f(x)=xln
x,则x<0时,f(x)=( )
A.xln
x
B.xln(-x)
C.-xln
x
D.-xln(-x)
(2)已知函数f(x)=a-(a∈R)为奇函数,则f(1)=( )
A.-
B.
C.
D.
(3)(2020湖南师大附中一模,理13)已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cos
x(a∈R)为偶函数,则a= .?
考点
函数的周期性的应用
【例3】(1)(2018全国2,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50
B.0
C.2
D.50
(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=则f(5+log26)的值为 .?
解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.
对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数f(x)定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=( )
A.-8
B.-4
C.0
D.4
(2)(2020陕西二模,文6)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0019)=( )
A.-2
B.2
C.4
D.6
考点
函数的对称性
【例4】已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)的图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0
B.m
C.2m
D.4m
思考你知道的函数的对称性的结论有哪些?
解题心得函数对称性的判断与应用
(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.
(2)轴对称的等价描述:①f(a-x)=f(a+x)?f(x)的图像关于直线x=a轴对称(当a=0时,恰好就是偶函数);②f(a-x)=f(b+x)?f(x)的图像关于直线x=轴对称;③f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),进而可得到f(x)的图像关于直线x=a轴对称.
(3)中心对称的等价描述:①f(a-x)=-f(a+x)?f(x)的图像关于点(a,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);②f(a-x)=-f(b+x)?f(x)的图像关于点,0中心对称;③f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),进而可得到f(x)的图像关于点(a,0)中心对称.
对点训练4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .?
考点
函数性质的综合应用
【例5】(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log24.1),b=g(-20.2),c=g(π),则a,b,c的大小关系为( )
A.aB.cC.bD.b(2)(2020安徽合肥一中模拟,理5)已知函数f(x)的图像为[-1,1]上连续不断的曲线,且2
019f(-x)=,f(x)在[0,1]上递减.若flomA.(-1,2)
B.,2
C.,2
D.(0,2)
(3)(2020山东潍坊二模,5)设函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-cos
x,则不等式f(2x-1)+f(x-2)>0的解集为( )
A.(-∞,1)
B.-∞,
C.,+∞
D.(1,+∞)
思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?
解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.
对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数f(x)对任意a,b∈R,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,则称f(x)为Ω函数.下列函数:①f(x)=x-sin
x,②f(x)=ex-e-x,③f(x)=ex+e-x,④f(x)=是Ω函数的为( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
(2)(2020河北张家口二模,文6,理6)已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函数,并且当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是( )
A.f(x)在(-3,-2)上为减少的,且f(x)>0
B.f(x)在(-3,-2)上为减少的,且f(x)<0
C.f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)>0
D.f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)<0
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)?f(-x)?f(x)=0?=±1(f(x)≠0).
3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
4.求函数周期的方法
1.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.
2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.
2.3 函数的奇偶性与周期性
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x)
原点
2.(1)②f(x+T)=f(x) (2)最小的正数 最小的正数
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2.C 由题意f(-e)=-f(e)=-2a=4,可得a=-2.所以当x>0时,f(x)=-2lnx-2,所以f(1)=-2.又因为f(0)=0,所以f(0)+f(1)=-2.故选C.
3.D ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.
4.A 由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(x)=x3-,
∴f(-x)=(-x)3-=-=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
易知f(x)=x3-在区间(0,+∞)内递增.
故选A.
5.-4 ∵y=f(x)是奇函数,
∴f(-8)=-f(8)=-=-4.
关键能力·学案
例1解(1)∵>|x|≥0,∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)lg(-x+)
=-xlg(-x)
=xlg(+x)=f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)由题意知函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(3)∵
∴-2≤x≤2,且x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.
∴f(x)=.
又f(-x)==-,
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
对点训练1(1)C (2)B (1)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),故函数f(x)·g(x)是奇函数,故A错误;
|f(-x)|·g(-x)=|f(x)|·g(x),故函数|f(x)|·g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,故函数f(x)·|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)·g(-x)|=|f(x)·g(x)|,故函数|f(x)·g(x)|为偶函数,故D错误.故选C.
(2)由题意,f(-x)=2-x-1--2x-1=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为2x-1和-都为R上的增函数,所以f(x)=2x-1-为R上的增函数.对于A,y=ex不是奇函数,排除A;对于B,由f(-x)=ln(-x+)=ln=-ln(x+)=-f(x),所以f(x)为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+)为增函数,故B正确;对于C,y=x2不是奇函数,排除C;对于D,y=tanx在R上不是单调函数,排除D.故选B.
例2(1)B (2)18 (3)B (1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.
(2)因为函数y=f(x+1)-2为奇函数,所以函数f(x)的图像关于点(1,2)对称,g(x)=+2关于点(1,2)对称,所以两个函数图像的交点也关于点(1,2)对称,则(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+…+y6)=2×3+4×3=18.故答案为18.
(3)∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,∴2b+1-b=0,∴b=-1.
∵f(x)在[-2,0]上递增,
∴f(x)在[0,2]上递减.
由f(x-1)≤f(2x)可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,且-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,求得-1≤x≤,故选B.
对点训练2(1)B (2)B (3) (1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选B.
(2)由题意得f(0)=0,∴a-=0,
∴a=1.经检验,当a=1时,函数f(x)是奇函数.
所以f(1)=1-.故选B.
(3)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)-log2(2-x+1)+cos(-x)=ax-log2(2x+1)+cosx,变形可得2ax=log2(2x+1)-log2(2-x+1)=x,解得a=.
例3(1)C (2)12 (1)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.
(2)由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)上的周期为1.因为2对点训练3(1)B (2)A (1)由f(-x)=-f(x),得f(x)为奇函数,所以f(0)=0.由f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x-2)=-f(x-4)=-f(x),所以f(x)的周期为4.f(6)+f(7)=f(2)+f(-1)=f(0)-f(1)=0-4=-4.故选B.
(2)因为f(x)的周期为2,所以f-=f-,f(2019)=f(1).
因为f(x)为奇函数,所以f-=-f=-2,f(-1)=-f(1).又因为f(-1)=f(1),
所以f(-1)=f(1)=0.
故f-+f(2019)=-2.
故选A.
例4B 由f(-x)=2-f(x)得f(-x)+f(x)=2,即函数f(x)的图像关于点(0,1)中心对称.又y==1+的图像也关于点(0,1)中心对称,∴x1+x2+…+xm=0,y1+y2+…+ym=m,∴(xi+yi)=m.
对点训练4-8 ∵f(x)是奇函数,∴f(x-4)=-f(x)可化为f(x)=-f(x-4)=f(4-x),即f(x)的图像关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)可知函数周期为8.不妨设x1例5(1)C (2)C (3)D (1)因为奇函数f(x)在R上是增函数,所以当x>0时,f(x)>0.对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1(2)由2019f(-x)=,得2019f(-x)·2019f(x)=1,
即2019f(-x)+f(x)=1,即f(x)+f(-x)=0,故函数f(x)为奇函数,则f(x)在[-1,1]上递减.
所以
解得≤m<2.故选C.
(3)当x≥0时,f'(x)=ex+sinx>0,则f(x)在[0,+∞)上递增.f(x)为奇函数,则f(x)在区间(-∞,0]上也递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)>0,可得f(2x-1)>-f(x-2),即f(2x-1)>f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-1>2-x,解得x>1,故选D.
对点训练5(1)A (2)C (1)当a+b=0时有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,即当a>-b时有f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.
由①f(x)=x-sinx,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-f(x),即有f(x)为奇函数;
又f'(x)=1-cosx≥0,可得f(x)为R上的增函数,故①是Ω函数.
②f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),即有f(x)为奇函数,
又f'(x)=ex+e-x>0,可得f(x)为R上的增函数,故②是Ω函数.
③f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故③不是Ω函数.
④f(x)=定义域为R,当x≠0时,f(-x)==-f(x),可得f(x)为奇函数,
又f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)>f(1),故④不是Ω函数.故选A.
(2)根据题意,函数f(x+1)为奇函数,则有f(x+1)=-f(-x+1),
即f(x+2)=-f(-x).
又由f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
则有f(x+2)=-f(x),
即有f(x+4)=f(x).
当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|=x-1,
若x∈(-3,-2),则x+4∈(1,2),
则f(x+4)=(x+4)-1=x+3,
则当x∈(-3,-2)时,有f(x)=x+3,则f(x)为增加的且f(x)>f(-3)=0.
故f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)>0.故选C.