福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期月考（一）（3月）数学试题 Word版含答案解析

平潭县新世纪学校2020——2021学年第二学期新世纪学校高一年月考（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知false为虚数单位，则false（ ）
A．false B．false C．3 D．5
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若false，则false在false上的投影为false B．若false，则false
C．若false是不共线的四点，则false是四边形false是平行四边形的充要条件
D．若false，则false与false的夹角为锐角；若false，则false与false的夹角为钝角
3．在false中，点false在线段false上，且false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．2 D．3
4．已知向量false，false，满足false，false，且false，则false（　　）
A．false B．0 C．1 D．2
5．已知向量false，false，false，则以向量false与false为基底表示向量false的结果是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量false＝(a＋c，b)，false＝(b，c－a)．若false，则角C的大小为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（ ）
A．5false 海里/时 B．5海里/时 C．10false海里/时 D．10海里/时
8．当两人提起重量为false的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|false|，若|false|＝|false|，则θ的值为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
二、多选题
9．化简以下各式，结果为false的有（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知false是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知false与false是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是（　　）
A．false B．false C．false D．false
12．false的内角false、false、false的对边分别为false、false、false，则下列说法正确的是（ ）
A．若false，则false B．若false，false，false，则false有两解
C．若false为钝角三角形，则false D．若false，false，则false面积的最大值为false
三、填空题
13．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第________象限．
14．已知向量false，false的夹角为false，false，false，若false，则false___________.
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________.
16．在四边形ABCD中，已知false＝(4，－2)，false＝(7，4)，false＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
四、解答题
17．已知复数false.
（1）若false对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
（2）若false是纯虚数，求m的值.
18．已知false，false，false与false的夹角是false，计算：
（1）false；
（2）false.
19．已知向量false．
（Ⅰ）若false，求false的值；
（Ⅱ）若false，求向量false与false夹角的大小．
20．在①false，②false，③false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求false的值；若问题中的三角形不存在，请明理由.
问题：是否存在false，它的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，false，______？
21．如图所示，在false中，false，false，false，false分别为线段false，false上一点，且false，false，false和false相交于点false.
（1）用向量false，false表示false；
（2）假设false，用向量false，false表示false并求出false的值.
22．已知false的三个内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且满足false.
（1）求角false的大小；
（2）若false，false，false，求false的长
参考答案
1．B
【分析】
直接利用复数模的公式求解即可.
【详解】
false,
故选：B.
2．C
【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
因为false，所以false的夹角为0或者false，则false在false上的投影为false，故A不正确；设false，则有false，但false，故B不正确；
false且false，又false是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则false且false，所以false，故C正确；false时，false的夹角可能为0，故D不正确.
故选：C
3．D
【分析】
由已知得false，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．
【详解】
解：因为false，
所以false，
所以false，
故false，
若false，
则false，false，
所以false．
故选：false．
4．C
【分析】
由false，可得false，化简后结合已知可求出false
【详解】
解：因为false，所以false，即false，
所以false，
因为false，false，
所以false，解得false1，
故选：C
5．A
【分析】
设false，列方程组解得false即得．
【详解】
设false，则false，解得false，所以false．
故选：A．
6．C
【分析】
由向量平行的坐标表示得出三角形边的的关系后可求得false角．
【详解】
∵false＝(a＋c，b)，false＝(b，c－a)且false，∴(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，∴角C的大小为false．
故选：C．
7．D
【分析】
根据题意画出图形，如图所示，由已知可得∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，则∠CAD＝∠CDA＝15°，CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，利用正弦定理求出AB的长，可求得速度
【详解】
如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10海里，
在直角三角形ABC中，由正弦定理可得false，解得AB＝5海里，
所以这艘船的速度是10海里/时.
故选：D
8．D
【分析】
利用向量加法法则即可获解.
【详解】
设false
由向量加法法则可得 false, 当 false时, false为正三角形,
false 从而false
故选：D.
9．ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可．
【详解】
A：因为false，所以本选项符合题意；
B：因为false，所以本选项符合题意；
C：因为false，所以本选项符合题意；
D：因为false，所以本选项符合题意.
故选：ABCD
10．ACD
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断可得答案．
【详解】
∵4false－6false＝－2(3false－2false)，∴3false－2false与4false－6false共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.A、C、D选项均可
故选：ACD
11．BC
【分析】
false与false是共轭虚数，设false，false．利用复数的运算性质及其有关概念逐一判断即可．
【详解】
false与false是共轭虚数，设false，false.
false；false，因为虚数不能比较大小，因此false不正确；
false，false正确；
false，false正确；
false不一定是实数，因此false不一定正确.
故选：BC.
12．ABD
【分析】
利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误；利用正弦定理可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若false，则false，由正弦定理可得false，所以，false，A选项正确；
对于B选项，false，则false，所以，false有两解，B选项正确；
对于C选项，若false为钝角三角形且false为钝角，则false，可得false，C选项错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得false，
即false，当且仅当false时，等号成立，
所以，false，D选项正确.
故选：ABD.
13．二
【分析】
由纯虚数的定义，求出a＝－1，即可求出结果.
【详解】
若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则false∴a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的点的坐标为(－1，1)，位于第二象限．
故答案为：二
14．false
【分析】
将向量垂直转化为数量积为false，根据平面向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】
因为false，
所以falsefalse，
所以false，
所以false，
所以false，
所以false，
所以false.
故答案为：false.
15．false
【分析】
由余弦定理计算．
【详解】
因为b2＝ac，且c＝2a，false，所以cos B＝false＝false＝false.
故答案为：false．
16．30
【分析】
先证明四边形ABCD为矩形，然后即可求出面积.
【详解】
false，又因为 false
所以四边形ABCD为矩形，所以false
所以false.
故答案为：30.
17．（1）false（2）false
【分析】
（1）实部大于零且虚部小于零得出m的范围；
（2）实部等于零且虚部不为零得出m的范围；
【详解】
（1）由题意可得false，解得false
（2）由题意可得false，解得false
18．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的运算性质可计算得出false的值；
（2）由平面向量数量积的运算性质可计算得出false的值.
【详解】
（1）false；
（2）false
false.
19．（Ⅰ）false；（Ⅱ）false．
【分析】
（Ⅰ）首先求出false的坐标，再根据false，可得false，即可求出false，再根据向量模的坐标表示计算可得；
（Ⅱ）首先求出false的坐标，再根据false计算可得；
【详解】
解：（Ⅰ）因为false，所以false，
由false，可得false，
即false，解得false，即false，
所以false；
（Ⅱ）依题意false，
可得false，即false，
所以false，
因为false，
所以false与false的夹角大小是false．
20．答案见解析.
【分析】
由已知得到false，选条件①可得false与false解方程组可得答案；选条件②，由false解方程组可得答案；选条件③根据余弦定理得到false，与false联立解方程组得false，可得答案.
【详解】
由false及余弦定理可得
false.
因为false，于是
false（*）.
方案一：选条件①.
由false和正弦弦定理得false，代入（*）解得false，false.
因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时false.
方案二：选条件②.
由于false得false，代入（*）得
false.
因为false，所以false不存在.
因此，选条件②时，问题中的三角形不存在.
方案三：选条件③.
因为false，false，由余弦定理可得
false.
代入（*）得false，因此，选条件③时，问题中的三角形不存在.
21．（1）false；（2）false，false.
【分析】
（1）把false放在false中，利用向量加法的三角形法则即可；
（2）把false，false作为基底，表示出 false，利用false求出 false.
【详解】
解：由题意得false，false，所以false，false
（1）因为false，false，false
所以false
false.
（2）由（1）知false，而false
而false
因为false与false不共线，由平面向量基本定理得
false
解得false
所以false，false即为所求.
22．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知可得：false，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得：false，问题得解.
（2）利用false可得：false，两边平方并结合已知及平面向量数量积的定义即可得解.
【详解】
解：（1）因为false，
所以由正弦定理可得 false,
即false,
因为false,所以false，false，
false,故false.
（2）由已知得false，

所以false
falsefalse,
所以false.