2020-2021学年人教版八年级数学下册17.2勾股定理逆定理-培优训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版八年级数学下册17.2勾股定理逆定理-培优训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 51.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-18 12:47:58 | ||
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文档简介
17,2勾股定的逆定理
[必备]☆知识点
一、互逆命题与互逆定理
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个角做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理
例1：写出下列命题的逆命题，并判断真假.
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等
随堂练习：
1：下列定理中，没有逆定理的是（
）
等腰三角形的两个底角相等
对顶角相等
三边对应相等的两个三角形全等
直角三角形的两个锐角的和等于90°
2：已知下列命题：①若a＞b,则ac＞bc；②若a=1，则；③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
二、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理.
例1：判断下列条件的三角形是否为直角三角形.
在△ABC中，∠A=20°，∠B=70°
在△ABC中，AC=7，AB=24，BC=25
一个三角形的三边长a,b,c满足（a+b）（a-b）=c2
例2：如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长.
三：勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数.
勾股数的求法：
①如果a为一个大于1的奇数，b,c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数，且32=4+5，则3,4，5为一组勾股数，还有：5,12,13；7,24,25；9,40,41；11,60,61……
②如果a,b,c为一组勾股数，则na,nb,nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数.例如3,4,5是一组勾股数，那么6,8,10也是一股勾股数，9,12,15也是一组勾股数.
拓展：勾股数有无数组，当m＞n，m,n,k都是正整数时，利用a=k（m2-n2）,b=2kmn,c=k（m2+n2）,便可计算出所有的勾股数组.
课后练习：
练习：
1.如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是衡量这个零件是否合格的一项指标．现测得AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm，CD=12cm，∠ABC=90°，根据这些条件，能否知道∠ACD是否等90°？
2.如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求：（1）∠BDC的度数；
（2）△ABC的周长．
3.邱老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
a
22－1
32－1
42－1
52－1
b
4
6
8
10
c
22＋1
32＋1
42＋1
52＋1
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：
a＝________，b＝________，c＝________；
(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想．
4.阅读下列解题过程．
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2），①
∴c2＝a2＋b2，②
∴△ABC是直角三角形．③
则（1）上述解决问题的过程，从第________步出现错误．
（2）错误的原因是________．
（3）本题正确的结论是________．
5.在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且，试判断△AEF是否是直角三角形？试说明理由．
答案：
一、互逆命题与互逆定理
例1：解：（1）两直线平行，同位角相等；真
（2）相等的角是对顶角；假
（3）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值相等；真
随堂练习：
B
A
二、勾股定理的逆定理
例1：解：（1）是（2）是（3）是
例2：解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
AD＝DE
∠ADB＝∠EDC
BD＝DC
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，
由勾股定理得：，
∴BC=2CD=
答：BC的长是.
课后练习：
1.解：
∵在Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=90°，
∴AC=5cm，
在△ACD中，∵AD=13cm，CD=12cm，AC=5cm，
∴AD2=169，CD2+AC2=169，
∴AD2=CD2+AC2，
∴∠ACD=90°．
2.解：（1）∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm
∴BC2=CD2+BD2
∴∠BDC=90°
（2）设AC=x，∴AD=x-12
可得x2=（x-12）2+162
解得x=
∴cm
3.解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=22-1，b=4，c=22+1，
n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1，
n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1，
…
∴a=n?2-1，b=2n，c=n?2+1．
（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
4.解：（1）③；
（2）忽略了a2-b2=0的可能；
（3）接第③步：
∵c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），
∴c2（a2-b2）-（a2-b2）（a2+b2）=0，
∴（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0，
∴a2-b2=0或c2-（a2+b2）=0．故a=b或c2=a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
5.解：设正方形的边长为4a，
∵E是BC的中点，CF＝CD，
∴CF=a，DF=3a，CE=BE=2a．
由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=16a2+9a2=25a2，EF2=CE2+CF2=4a2+a2=5a2，AE2=AB2+BE2=16a2+4a2=20a2，
∴AF2=EF2+AE2，
∴△AEF为直角三角形．
[必备]☆知识点
一、互逆命题与互逆定理
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个角做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理
例1：写出下列命题的逆命题，并判断真假.
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等
随堂练习：
1：下列定理中，没有逆定理的是（
）
等腰三角形的两个底角相等
对顶角相等
三边对应相等的两个三角形全等
直角三角形的两个锐角的和等于90°
2：已知下列命题：①若a＞b,则ac＞bc；②若a=1，则；③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
二、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理.
例1：判断下列条件的三角形是否为直角三角形.
在△ABC中，∠A=20°，∠B=70°
在△ABC中，AC=7，AB=24，BC=25
一个三角形的三边长a,b,c满足（a+b）（a-b）=c2
例2：如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长.
三：勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数.
勾股数的求法：
①如果a为一个大于1的奇数，b,c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数，且32=4+5，则3,4，5为一组勾股数，还有：5,12,13；7,24,25；9,40,41；11,60,61……
②如果a,b,c为一组勾股数，则na,nb,nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数.例如3,4,5是一组勾股数，那么6,8,10也是一股勾股数，9,12,15也是一组勾股数.
拓展：勾股数有无数组，当m＞n，m,n,k都是正整数时，利用a=k（m2-n2）,b=2kmn,c=k（m2+n2）,便可计算出所有的勾股数组.
课后练习：
练习：
1.如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是衡量这个零件是否合格的一项指标．现测得AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm，CD=12cm，∠ABC=90°，根据这些条件，能否知道∠ACD是否等90°？
2.如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求：（1）∠BDC的度数；
（2）△ABC的周长．
3.邱老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
a
22－1
32－1
42－1
52－1
b
4
6
8
10
c
22＋1
32＋1
42＋1
52＋1
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：
a＝________，b＝________，c＝________；
(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想．
4.阅读下列解题过程．
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2），①
∴c2＝a2＋b2，②
∴△ABC是直角三角形．③
则（1）上述解决问题的过程，从第________步出现错误．
（2）错误的原因是________．
（3）本题正确的结论是________．
5.在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且，试判断△AEF是否是直角三角形？试说明理由．
答案：
一、互逆命题与互逆定理
例1：解：（1）两直线平行，同位角相等；真
（2）相等的角是对顶角；假
（3）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值相等；真
随堂练习：
B
A
二、勾股定理的逆定理
例1：解：（1）是（2）是（3）是
例2：解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
AD＝DE
∠ADB＝∠EDC
BD＝DC
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，
由勾股定理得：，
∴BC=2CD=
答：BC的长是.
课后练习：
1.解：
∵在Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=90°，
∴AC=5cm，
在△ACD中，∵AD=13cm，CD=12cm，AC=5cm，
∴AD2=169，CD2+AC2=169，
∴AD2=CD2+AC2，
∴∠ACD=90°．
2.解：（1）∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm
∴BC2=CD2+BD2
∴∠BDC=90°
（2）设AC=x，∴AD=x-12
可得x2=（x-12）2+162
解得x=
∴cm
3.解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=22-1，b=4，c=22+1，
n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1，
n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1，
…
∴a=n?2-1，b=2n，c=n?2+1．
（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
4.解：（1）③；
（2）忽略了a2-b2=0的可能；
（3）接第③步：
∵c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），
∴c2（a2-b2）-（a2-b2）（a2+b2）=0，
∴（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0，
∴a2-b2=0或c2-（a2+b2）=0．故a=b或c2=a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
5.解：设正方形的边长为4a，
∵E是BC的中点，CF＝CD，
∴CF=a，DF=3a，CE=BE=2a．
由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=16a2+9a2=25a2，EF2=CE2+CF2=4a2+a2=5a2，AE2=AB2+BE2=16a2+4a2=20a2，
∴AF2=EF2+AE2，
∴△AEF为直角三角形．