人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除教案及反思（2课时）

16．2　二次根式的乘除
第1课时　二次根式的乘法
教学目标
【知识与技能】
理解·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，并能运用它们进行化简计算．
【过程与方法】
经历探索二次根式乘法法则的过程，发展观察、归纳猜想、验证等能力．
【情感态度】
培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力，增强学好数学的信心．
【教学重点】
·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)．
【教学难点】
发现规律，推导·＝(a≥0，b≥0)．
教学过程
一、创设情境，初步认识
【问题1】计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？
(1)×＝________，＝________．
(2)×＝______，＝______．
(3)×＝______，＝______．
【问题2】用你发现的规律填空，并用计算器进行验算．
(1)×________；
(1)×________；
(1)×________；
【教学说明】
问题1通过被开方数都是完全平方数，让学生容易获取结果，发现规律．通过问题2的验证加深对规律的认识，为本节学习作好铺垫．上述两个问题均应由学生自主完成，相互交流，感受新知．
二、思考探究，获取新知
选几名学生口述所发现的规律，然后师生共同归纳：一般地，对二次根式的乘法规定：
·＝(a≥0，b≥0)．
反过来，有＝·(a≥0，b≥0)．
【教学说明】
对上述二次根式的乘法公式，教学时应引导学生关注其后面的附加条件a≥0，b≥0，切不能出现类似于＝·的错误．
三、典例精析，掌握新知
1．计算：
(1)×；(2)×.
解：(1)×＝＝；
(2)×＝＝＝3.
2．计算：
(1)6×(－3)；(2)×.
解：(1)6×(－3)＝－18
＝－18＝－18×9＝－162；
(2)×＝
＝＝×＝.
【教学说明】
让学生自主探究，独立完成，加深对二次根式乘法运算和化简方法的理解．教师巡视，对有困难的同学适时给予指导，最后可选派四名学生上黑板完成解答，师生共同评析，巩固所学新知识．
3．化简：
(1)；　(2)·.
解：(1)＝××＝2ab；
(2)·＝＝＝·＝x.
【教学说明】
在学生探索本题解答过程中，教师可补充说明，在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
四、运用新知，深化理解
1．等式·＝成立的条件是(　A　)
A．x≥1　　　　　　　　　　　B．x≥－1
C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1
2．计算：
(1)×；　(2)×；(3)2·.
解：(1)原式＝.
(2)原式＝＝6.
(3)原式＝2＝2.
3．化简：
(1)；　(2)；　(3)；
(4)；
(5)；
(6)(x≥0)；
(7)(x≥0，y≥0)．
解：(1)原式＝·＝7·11＝77.
(2)原式＝2.
(3)原式＝·＝4bc.
(4)原式＝＝6×4×3＝72.
(5)原式＝＝＝13.
(6)原式＝·＝2x.
(7)原式＝＝·＝(x＋3y).
4．一个矩形的长和宽分别是 cm和2 cm，求这个矩形的面积．
解：矩形的面积＝长×宽＝×2＝4 cm2.
5．一个底面为30 cm×30 cm的长方体容器中装满了水．现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为10 cm的铁桶中．当铁桶装满水时，容器内水面下降了20 cm.铁桶的底面边长是多少厘米？
解：设铁桶底面边长为x cm，根据题意得：30×30×20＝x2×10，得x2＝1800，∴x＝±.∵x＞0，∴x＝30.
答：铁桶底面边长为30 cm.
【教学说明】
学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，帮助学生加深理解，对优秀者应予以表扬鼓舞，让学生体验成功的快乐．
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获和体会？谈谈你的想法，并与同伴相互交流．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.2”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功．
3．前面的讲练能帮助学生理解二次根式乘法法则，培养学生利用概念解题的能力．
第2课时　二次根式的除法
教学目标
【知识与技能】
理解＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)，能用它们进行化简计算，能将二次根式化为最简二次根式．
【过程与方法】
通过具体实例的探究活动，发现二次根式除法的规律，归纳出二次根式除法法则及其逆向等式，能用它们进行化简计算．
【情感态度】
让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，增强合作交流意识和能力．
【教学重点】
＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)的理解和应用．
【教学难点】
探索二次根式的除法法则．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题1】计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？
(1)＝________，(2)＝________；
(3)＝________，(4)＝________．
【问题2】用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：
(1)______；　(2)______.
【教学说明】
让学生自主探究，感受二次根式除法运算中所蕴含的规律性特征，获得二次根式相除的感性认识，导入新课．
二、思考探究，获取新知
想一想通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？与同伴交流．师生共同回顾思考，总结出二次根式除法运算法则：＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)
【教学说明】
在师生共同探索出上述二次根式的除法公式后，教师应引导学生关注其成立的条件，不得出现＝的类似错误．
三、典例精析，掌握新知
【例1】计算：
(1)；　　　(2)÷；　　(3)；　　　(4).
解：(1)原式＝＝＝2；
(2)原式＝＝＝＝×＝3；
(3)原式＝＝＝＝＝；
(4)原式＝＝＝＝.
【例2】化简：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝＝；
(3)原式＝＝；
(4)原式＝＝＝＝.
【教学说明】
教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算．教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析，让学生加深对二次根式除法的理解和掌握，并保留每道题的最后结果．
议一议观察上述各题的最后结果，它们有什么特点？在学生相互交流过程中可感受到所有结果中的二次根式有如下两个特征：
(1)被开方数中不含分母(或分母中不含二次根式)；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把具有上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
小练习：
1．下列二次根式中，是最简二次根式的有 ①④ (填序号)．
①；②；③；④；⑤.
2．若a＞0，把化为最简二次根式是(　C　)
A.　　B．－　　C．－　　D．2b
【分析】第1题中的最简二次根式分别为，，故应填①和④；第2题中，由a＞0，＞0可知，b＜0，故＝＝＝＝－，选 C.
【教学说明】
感受二次根式乘除在数学问题和实际生活中的应用，体会二次根式的乘除法在二次根式的化简中的重要作用.
四、运用新知，深化理解
1．计算：
(1)÷；　　　　(2)；
(3)÷； (4)÷.
解：(1)原式＝3; (2)原式＝2；
(3)原式＝； (4)原式＝2a.
2．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；　(2)；　(3).
解：(1)原式＝4；(2)原式＝－；(3)原式＝.
3．先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．
解：由题可知x－2＞0，∴x＞2，且＝＝＞0，∴÷＝·＝.取x＝4，得原式＝2.
【教学说明】
让学生自主完成，加深对已学知识的复习，并检查对新学知识的掌握情况，对学生的困惑，教师应及时予以指导，并进行必要的反思．
五、师生互动，课堂小结
师生共同回顾：
(1)＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)及其应用；
(2)最简二次根式的意义．
【教学说明】
教师应让学生自由交流，总结本节课的知识要点，同时进行自我反思，提高认知，加深对所学知识的理解．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.2”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣．
2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功．