人教A版数学必修一第三章第二节第——一小节第一课时《单调性与最大（小）值第一课时——单调性》教学设计

《单调性与最大（小）值第一课时——单调性》教学设计
一、教学目标
通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的完整过程；
通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体现数学的理性精神和力量。
理解函数单调性的相关概念，掌握用定义证明简单函数单调性的一般方法.
二、教学重难点
教学重点：函数单调性的符号语言刻画，判断和证明简单函数的单调性。
教学难点：函数单调性的符号语言刻画.
教学过程设计
一、情境引入
引导语：同学们，前面我们学习了函数的定义和表示法，今天我们继续来研究函数的性质。
问题1：请观察图象，并依次说明函数图象从左往右上升与下降的趋势.

图1 图2 图3 图4
师生活动：教师用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题，学生一块回答，教师注意引导学生关注函数图象从左到右上升或下降的特点，要求学生注意语言的规范性.
教师指出：在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这就是函数的单调性，下面我们进一步用符号语言刻画这一性质.
设计意图：通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中知识，符合学生掌握知识的最近发展区，激发学生的学习兴趣.
探索新知
问题2：观察二次函数图象，回答下列问题：
在函数图象上升还是下降？
能从自变量和函数值的变化说明上述图象特点吗？
师生活动：学生口答，教师强调严谨性.
设计意图：从图象直观，定性刻画两方面让学生感受单调性，为后续定量刻画做好铺垫.
追问：（3）如何用数学符号语言刻画和的这种变化？
师生活动：小组讨论，学生代表回答，教师强调要点.
设计意图：本环节十本节课的重点也是难点，可能面临问题是学生不会定量刻画，可以适当引导，设立符合学生认知水平的问题串：比较大小需要几个量？如何体现随增大？减小呢？取值的时候是任意取还是只要有两个就行？让学生通过合作探究，发现定义，体会成功的喜悦。
问题3：请大家仿照在上的分析，完成在上的相应问题.
(1)在函数图象上升还是下降？
(2)能从自变量和函数值的变化说明上述图象特点吗？
(3)如何用数学符号语言刻画和的这种变化？
师生活动：学生小组讨论，共同呈现答案。
设计意图：让学生用类比思想解决问题，强化学生的数学思维，加深对单调性的理解.
三、形成定义
教师板书定义的严格形式：一般地，设函数的定义域为，区间：
如果 ，当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递增.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果 ，当时，都有 ，那么就称函数在区间上单调递减.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

如果函数在区间上单调递增或递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.
设计意图：在前面学生理解的基础上给出严格定义，体现数学的严谨性.
四、思考探究
问题4： 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举下列例子吗？
（1）在整个定义域内是单调递增的函数？
（2）在整个定义域内是单调递减的函数？
（3）在定义域内某些区间单调递增而在另一些区间上单调递减的函数？
请举例、画图并说出单调区间.
师生互动：学生完成，教师投影典型解答.
设计意图：通过展示不同学生的作业，加深学生对单调性的理解；通过画图象，强化对单调性图象直观的认识.
五、巩固新知
例1：物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积增大时，压强将减小.
玻意耳定律对应函数的什么性质？
试用数学知识对定律进行证明.
追问：（1）自变量，函数值分别是谁？
（2）如何比较大小？
（3）做差之后要比较与谁的关系？
（4）怎样的形式才方便比较与0的关系？
师生互动：学生回答问题（1），得到单调递减的结论，教师在此基础上引导学生分析用定义该如何证明，教师板书过程，学生讨论一般步骤并回答，教师完善.
设计意图：这是物理学中的一个公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，加深学生对数学的理解；通过问题串的形式，降低定理证明的难度，培养学生分析问题解决问题的能力，培养学生的数学核心素养.让学生体会代数证明的一般方法，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.
六、举一反三
练习1：画出反比例函数的图象.
这个函数的定义域是什么？
它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论？
师生互动：教师画出图象，师生共同写出定义域，学生通过图象回答单调性，强调单调区间不能写成并集形式；让男女生分别推荐一人到黑板完成定理的证明，教师点评.
设计意图：通过新颖的数学活动，增强课堂的趣味性，也同时在短时间内将题目完全呈现，提高了课堂教学效率，也能让更多的问题暴露，教师的知道更有针对性.
实战演练
根据定义证明函数在区间上单调递增.
师生互动：在规定时间内完成题目，教师投影展示.
设计意图：在规定时间内完成题目，给学生强调一个良好的做题习惯，定时定量，纠正学生平时做题拖沓的毛病，让学生认识到考试的限时性.
课堂小结：
师生互动：学生总结课堂学习内容，教师补充.
设计意图：回顾课堂内容.
作业布置
课本79页，练习2、3作业本；课本86页，2,3题练习本.
选作：课本86页，9题
设计意图：分层作业，让课后作业真正落实到实处.