18.2.2菱形的判断课件（24张）

第十八章 平行四边形
菱形的判定
学习目标
1.能从研究菱形性质的逆命题正确性中得到菱形的判定.
2.能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形.
重点：菱形的判定的推导与归纳.
难点：菱形的判定的正确运用.
菱形的性质
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角。
温故而知新
与研究平行四边形、矩形的判定方法相似，我们研究菱形的性质定理得逆命题，看看他们是否成立？
类比
一组邻边相等的平行四边形是菱形
定义：
几何语言：
A
B
C
D
O

□ABCD
∵
∴
且AB = BC
□ABCD是菱形
菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直平分，
逆定理
逆定理
对角线互相垂直的
平行四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形
说出菱形的性质的逆定理：
猜想下面命题成立：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
证明猜想
命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：四边形ABCD 是平行四边形，且
求证：平行四边形ABCD 是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A0= ，
又∵AC⊥BD,
∴AB=BC(线段垂直平分线上的点
∴ ABCD是菱形.（菱形的定义）
CO
到两个端点的距离相等）
文字表达：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵在□ABCD 且 AC ⊥ BD
∴□ABCD是菱形
几何语言：
例 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证： ABCD是菱形.
针对练习
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形， AC⊥ BD.
∴ ABCD是菱形.
证明猜想
命题2：四条边都相等的四边形是菱形
已知：四边形ABCD中，
AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
文字表达：四条边都相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言：
针对练习
3.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BO平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：
∵AE∥BF，
∴∠EAC=∠ACB.
又∵AC平分∠BAD，
∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,
∴AB=BC.
同理：AB=AD，
∴AD=BC，而AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
随堂练习
1. 如图所示，下列条件中能说明四边形ABCD是菱形的有（ ）
A
B
C
D
O
②OA=OC，OB=OD，AB=BC;
①BD⊥AC
③AC=BD,
④AB=BC，AB∥CD
A.① B. ① ② C. ② D ③④
C
2、判断题，对的画“√”错的画“×”
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
×
√
×
(4)对角线相等的四边形是菱形（ ）
(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．（ ）
(6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．（ ）
×
√
√
2
3、 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.

求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理 △ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
A
C
B
E
D
F
1
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定定理
课堂小结
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