北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》角平分线 解答题专项（三）（Word版含答案）

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》
角平分线解答题专项（三）
1．如图，△ABC中，∠C＝60°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA、AD、BE交于点P．求证：
（1）∠APB＝120°；
（2）点P在∠C的平分线上；
（3）AB＝AE+BD．
2．如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠BAC，∴　 　＝　 　，
而S△ABD＝　 　×　 　，
S△ACD＝　 　×　 　
则S△ABD：S△ACD＝　 　：　 　
（2）在图2中，作AP⊥BC而　 　×　 　，　 　×　 　，
则S△ABD：S△ACD＝　 　：　 　；
（3）由（1）、（2）可得“角平分线”第二性质　 　：　 　＝　 　：　 　．
3．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．
4．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上．AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
（1）求证：BE＝CE．
（2）若AB＝3，BE＝2，则CD的长为　 　．
5．如图，△ABC的角平分线BD＝1，∠ABC＝120°，∠A、∠C所对的边记为a、c．
（1）当c＝2时，求a的值；
（2）求△ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；
（3）求证：a，c之和等于a，c之积．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．
7．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：CE＝DE．
8．（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC＝60cm，M、N分别为AB、BC的中点．
①若BC＝20cm，则MN＝　 　cm；
②若BC＝acm，则MN＝　 　cm．
（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝60°，OM平分∠AOB，射线ON在∠BOC内，且∠MON＝30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由．
9．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
12．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
13．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
14．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
参考答案
1．证明：（1）∵∠C＝60°，AD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠ABC，∠BAP＝∠BAC，
∴∠BAP+∠MBP＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠C）＝60°，
∴∠APB＝120°；
（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴PF＝PG，PF＝PH，
∴PH＝PG，
∴点P在∠C的平分线上；
（3）如图2，在AB上取点M使AM＝AE，连接PM
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠PAM＝∠PAE，
在△AMP与△AEP中，，
∴△AMP≌△AEP，
∴∠APM＝∠APE＝180°﹣∠APB＝60°，
∴∠BPM＝180°﹣（∠APM+∠APE）＝60°，∠BPD＝∠APE＝60°，
∴∠BPM＝∠BPD，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠MBP＝∠DBP，
在△BPM与△BPD中，，
∴△BPM≌△BPD，
∴BM＝BD，
∴AB＝AM+BM＝AE+BD．
2．解：（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD＝AB×DE，S△ACD＝AC×DF，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
故答案案为：DE＝DF，AB、DE，AC、DF，AB：AC；
（2）在图2中，作AP⊥BC，
∵BD×AP，CD×AP，
∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD；
故答案为：BD、AP，CD、AP，BD、CD；
（3）∵（1）中，S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
在（2）中，S△ABD：S△ACD＝BD：CD，
∴AB：AC＝BD：CD．
故答案为：AB、AC、BD、CD．
3．证明：连接FE，
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠A＝∠DCB，
又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠DAE，
又∵∠AHD＝∠CHE，∠ADH＝90°，
∴∠CGH＝90°，
∴∠GAC+∠ACG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，
∵∠GAC＝∠GAF，
∴∠ACG＝∠AFG，
∴AC＝AF，
∴CG＝FG，
同法可证，CH＝CE，
∴CH＝HF＝EF＝CE，
∴四边形HCEF是菱形，
∴HF∥BC．
4．解：已知：射线OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，
求证：PE＝PD，
证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PE⊥OB于EPD⊥OA于D，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△POD与△POE中，，
∴△POD≌△POE（AAS），
∴PD＝PE；
（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF＝EG＝EH，
在△BEF与△CEH中，
∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴BE＝CE；
（2）∵∠HEC＝∠BEF，∠HED＝∠DEG，∠GEA＝∠AEF
又∵∠HEC+∠BEF+∠HED+∠DEG+∠GEA+∠AEF＝180°
∴∠BEF+∠HED+∠AEF＝90°
又∵∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠EDH＝∠AEB，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECD
∴，
即：AB?CD＝BE?EC
∴3CD＝2×2，
CD＝
故答案为：
5．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
过D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，
∴DE＝DF，
∵BD＝1，
∴BE＝BF＝，DE＝DF＝，
过A作AG⊥BC于G，
∴AG＝AB＝，
∵S△ABC＝BC?AG＝×a＝×2×+a，
∴a＝2；
（2）△ABC的面积＝BC?AG＝×c×a＝ac；
（3）∵S△BAC＝S△ABD+S△BCD，
∴BC?AG＝AB?DE+BC?DF，
∴?a?c＝×（c+a），
∴ac＝a+c，
∴a，c之和等于a，c之积．
6．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．
7．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．
∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．
同理可得∠EBA＝∠ABD．
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE（SAS）．
∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．
∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，
∴∠DEB＝∠FEB．
在△DEB和△FEB中
∴△DEB≌△FEB（ASA）．
∴ED＝EF．
∴ED＝CE．
8．解：（1）①∵BC＝20，N为BC中点，
∴BN＝BC＝10．
又∵M为AB中点，
∴MB＝AB＝40．
∴MN＝MB﹣BN＝40﹣10＝30．
故答案为30；
②当BC＝a时，AB＝60+a，
BN＝a，MB＝AB＝30+a，
∴MN＝MB﹣BN＝30．
故答案为30；
（2）平分
理由：∵OM分别平分∠AOB，
∴∠BOM＝∠AOB
＝（∠AOC+∠BOC）
＝30°+∠BOC．
又∵∠BOM＝∠MON+∠BON＝30°+∠BON，
∴∠BON＝∠BOC．
∴ON平分∠BOC．
故答案为30，30．
9．证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
10．证明：连接BF，
∵F是△ABC的角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠MFE＝15°，
∴∠MEF＝75°＝∠NDF，
在△DNF和△EMF中，
，
∴△DNF≌△EMF（AAS），
∴FE＝FD．
11．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
12．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
13．证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，
∴△DCO≌△BCO（ASA）
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
14．解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．