6.4.3（3）余弦定理、正弦定理应用举例-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

6.4.3（3）余弦定理、正弦定理应用举例 同步练习
一．选择题
1．如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出、两点的距离为　　
A． B． C． D．
2．两灯塔、与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则、之间的距离是　　
A． B． C． D．
3．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求山高　　
A． B． C． D．
4．当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为　　
A． B． C． D．
5．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西、距塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这只船航行的速度为　　
A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时
6．如图所示，为了测量某一隧道两侧、两地间的距离，某同学首先选定了不在直线上的一点中、、所对的边分别为、、，然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量，，；②测量，，；③测量，；④测量，，，则一定能确定、间距离的所有方案的序号为　　
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
7．如图，有四座城市、、、，其中在的正东方向，且与相距，在的北偏东方向，且与相距；在的北偏东方向，且与相距，一架飞机从城市出发以的速度向城市飞行，飞行了，接到命令改变航向，飞向城市，此时飞机距离城市有_______km（　　
A．120 B． C． D．
8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点测得水柱顶端的仰角为，沿点向北偏东前进100米到达点，在点测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度是　　
A．50米 B．60米 C．80米 D．100米
9．如图，某人在点处测得某塔在南偏西60”的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进30米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为　　
A．20米 B．15米 C．12米 D．10米
10．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了、两个观测点，在处测得该塔底部在西偏北的方向上，在处测得塔底在西偏北的方向上，并测得塔顶的仰角为，已知，，则此塔高为　　
A． B．
C． D．
二．填空题
11．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于　　．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，．
12．如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高　　．
13．台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险区，城市在的正东方向处，则城市处于危险区内的持续时间是　　小时．
14．如图，测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距40米的、两点，测得：，，，，则的距离是　　．
三．解答题
15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约千米处有一条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
16．已知在东西方向上有，两座小山，山头上各有一个发射塔，，塔顶，的海拔高度分别为米和米，在水平面上有一条公路为西偏北方向，公路上有一测量车在小山的正南方向点处，测得发射塔顶的仰角，汽车沿公路西偏北方向行驶了米后在点处测得发射塔顶处的仰角为，且，经测量求两发射塔顶，的直线距离．
17．某海上养殖基地，接到气象部门预报，位于基地南偏东相距的海面上有一台风中心，影响半径为，正以的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且后开始影响基地持续，求台风移动的方向．
18．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：、、三地位于同一水平面上，在处进行该仪器的垂直弹射，观测点、两地相距100米，，在地听到弹射声音的时间比在地晚秒．地测得该仪器弹至最高点时的仰角为．
（1）求、两地的距离；
（2）求该仪器的垂直弹射高度．（声音的传播速度为340米秒）
6.4.3（3）余弦定理、正弦定理应用举例 同步练习答案
1．解：在中，，，，
即，
则由正弦定理，
得：．
故选：．
2．解：依题意，作图如下：
，
，
由余弦定理得：
，
．
故选：．
3．解：设，
中，，，
，．
米．
故选：．
4．解：设竹竿与地面所成的角为，影子长为．由正弦定理，得，
所以，
因为，
所以当，即时，有最大值，故竹竿与地面所成的角为时，影子最长．
故选：．
5．解：由题意知，．
在中，由正弦定理，得
，
．
又由到所用时间为（小时），
船的航行速度（海里时）；
故选：．
6．解：①由，可算出，再根据正弦定理：可计算出，
②已知三角，没有已知边，无论用正弦定理还是余弦定理都算不出，
③已知两边夹角，用余弦定理可计算出，
④已知两角，可计算出第三角，再用正弦定理可解得，
故选：．
7．解：在中，依题意可得，，，
，
．
，．
在中，．．
设飞机在处改变航向，连接，则，
在中，．
故选：．
8．解：如图所示，
设水柱的高度为．
在中，，．
，．
在中，，．
在中，由余弦定理可得：．
，
化为，解得．
故选：．
9．解：如图，
设塔高为，
在中，，
则．
在中，
，则，
在中，
由余弦定理得：，
即，
，解得或（舍；
故选：．
10．解：在中，，，，
，
，
．
故选：．
二．填空题（共4小题）
11．解：过点作垂直于的延长线，垂足为，
则中，，，
，
根据正弦定理
得．
故答案为：60．
12．解：在中，，，所以；
在中，，，从而，
由正弦定理得，，
因此；
在中，，，
由，
得．
故答案为：750．
13．解：如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，
台风中心移动的轨迹为射线，
而点到射线的距离，
故，
故城市处于危险区内的时间为1小时，
故答案为：1．
14．解：，，
，又，
为等腰直角三角形，又，
，
在中，，，
，
又，
由正弦定理得：，
解得：，
在中，利用余弦定理得：，
解得：．
故答案为：
15．解：根据题意，考点为、检查开始处为，设检查员行驶到直线上的、两点之间时收不到信号，
即公路上、两点到考点的距离为1千米，如右图所示，
在中，（千米），（千米），，
由正弦定理，
可得，不合题意），
，可得（千米），
中，，，
为等边三角形，可得（千米）．
因此检查员在上行驶，需要分钟，在上行驶，需要分钟．
答：该检查员最长需要5分钟开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
16．解：在中，，
连接，在中，，
又
为等边三角形
在中，由得
又在中，，，
在中，
答：，两塔顶间的直线距离是米．
17．解：如图所示，设预报时台风中心为，开始影响基地时台风中心为，基地刚好不受影响时台风中心为，则、、在一直线上，且、，
由题意，，
在中，，
，
在中，由余弦定理得
，
又位于南偏东，，
位于的正北方向，
又，
台风移动的方向为向量的方向，即北偏西方向
答：台风向北偏西方向移动．
18．解：（1）由题意，设，
则．
在中，由余弦定理，得
，
即 ，解得．
、两地间的距离为．
（2）在中，，，
所以．
答：该仪器的垂直弹射高度为米．