6.4.3（2）正弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

6.4.3（2）正弦定理 同步练习
单选题
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，3sinA＝2sinB，并且5a2+c2＝3bc．若M为AB的中点，并且CM＝，则△ABC的周长为（　　）
A．20 B．18 C．16 D．14
2．在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的值为　　
A．1 B． C． D．2
3．设的内角为，，，于．若外接圆半径等于，则的最小值是　　
A． B．2 C． D．1
4．在锐角中，，为中点，若，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
5．已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为　　
A． B．6 C． D．8
6．的内角，，所对的边分别为，，，已知，的外接圆半径为2，则周长的最大值为　　
A． B． C． D．
7．在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则　　
A． B．4 C． D．5
8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的最大值为　　
A． B． C． D．
二．多选题
9．在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
11．已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题其中正确命题有　　
A．满足条件的可能是锐角三角形
B．满足条件的不可能是直角三角形
C．当时，的周长为15
D．当时，若为的内心，则的面积为
12．在△ABC中，已知bcosC+ccosB＝2b，且+＝，则（　　）
A．a、b、c成等比数列 B．sinA：sinB：sinC＝2：1：
C．若a＝4，则S△ABC＝ D．A、B、C成等差数列
三．填空题
13．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则　　．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足bsinA＝acos（B﹣），D为AC的中点，且BD＝1，则S△ABC的最大值为　　．
15．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，则的取值范围为　　．
16．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有△ABC满足sinA：sinB：sinC＝且S△ABC＝12．则△ABC的外接圆的半径为　　．
解答题
17.．已知中，三内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
18．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为4，求．
19．在中，锐角满足．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，，，，求的面积．
20．已知函数．
（1）求的值和的最小正周期；
（2）设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，，求的取值范围．
6.4.3（2）正弦定理 同步练习答案
1.解：由于3sinA＝2sinB，故3a＝2b，
设a＝2k，b＝3k，（k＞0）代入5a2+c2＝3bc．
所以c＝5k或c＝4k，根据三角形的三边关系，
所以c∈（k，5k）．所以c＝4k，
则△ABC的周长为l＝2k+3k+4k＝9k，
由于点M为AB的中点，
由余弦定理：＝，解得k＝2，
所以△ABC的周长为18．
故选：B．
2.解：因为，由正弦定理得．
即，因为，所以．
可化为，即，
所以．
所以．
，所以．
故选：．
3.解：在中，由，设圆的半径为，则，
，
由，当且仅当，即时，取等号，
故选：．
4.解：因为，所以，故，
因为为边上的中线，所以有，，
两边平方化简可得：，
所以，又因为为锐角三角形，
所以，，，
解得：，所以．
故选：．
5.解：，，
，，
，
，．
，
，，，又，
是边长为2的等边三角形，的周长为6．
故选：．
6.解：，
，
，即，
，，即．
由正弦定理得，
，，，
，
当即时，取得最大值．
故选：．
7.解：，，
由正弦定理可得：，可得，
，解得：，
由余弦定理可得：，解得：．
故选：．
8.解：因为，且，
所以，由正弦定理可得，即，
因为，，
所以，可得，从而，即，
由正弦定理可得，，
则，其中，，因为，所以，
从而当时，取得最大值，为．
故选：．
9.解：对于，
得：，故有唯一解，
对于，故可为锐角或钝角，故不唯一，
对于，故，而，
故可为锐角或钝角，故不唯一，
对于，，
故是锐角，又，确定，故有唯一解，
故选：．
10.解：由于，则：，解得：．
由于：，，
利用正弦定理：，则：，整理得：，解得：，故正确；
由于，，可得，
解得：，或3，
若，则，可得，可得，矛盾，故错误，
可得，
可得，可得，故错误；
因为若，可得，可得，，由于，矛盾，
所以，
又因为，
则由，故正确．
故选：．
11.解：对于，由于，，利用正弦定理可得，
设，，
由，可得，
所以满足条件的可能是锐角三角形，故正确；
对于，由于，，利用正弦定理可得，
设，，
由，可得，
满足条件的可能是直角三角形，故错误；
对于，，，，可得，
由正弦定理可得，可得，
由，可得，
由，可得：，解得：，或（舍去），
，可得，
可得，可得：，，则，
故正确；
对于，，，，可得，
由正弦定理可得，可得，
由，可得，
由，可得：，解得：，或（舍去），
，可得，
可得，可得：，，
可得．
设的内切圆半径为，则，
．故正确．
故选：．
12.解：将bcosC+ccosB＝2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB＝2sinB，
即sin（B+C）＝2sinB，
∵sin（B+C）＝sinA，
∴sinA＝2sinB，
利用正弦定理化简得：a＝2b，
又∵+＝，即＝＝＝＝，
∴sinAsinB＝sin2C，由正弦定理可得ab＝c2，
∴a＝c，
∴a：b：c＝a：：＝2：1：，故A错误，
由正弦定理可得sinA：sinB：sinC＝2：1：，故B正确；
若a＝4，可得b＝2，c＝2，可得cosC＝＝，可得sinC＝，可得S△ABC＝×4×2×＝，故C正确；
若A、B、C成等差数列，且A+B+C＝π，2B＝A+C，可得B＝，由于cosB＝＝＝≠，故D错误．
故选：BC．
13.解：因为，
由正弦定理得：，
可得，
则，
所以．
故答案为：2．
14.解：由正弦定理及bsinA＝acos（B﹣），可得：sinBsinA＝sinAcos（B﹣），
由A∈（0，π），所以sinA≠0，则sinB＝cos（B﹣）＝cosB+sinB，
∴tanB＝，又B∈（0，π），所以B＝．
如图，由S△ABC＝acsinB＝ac，
又D为AC的中点，则2＝+，
所以4＝a2+c2+2＝a2+c2+ac≥3ac，
则ac≤，当且仅当a＝c时取等号，
所以△ABC的面积最大值为．
15.解：因为，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，，
故，
则
，
由得，，
所以，，则的范围，．
故答案为：，．
16.解：由正弦定理可得，sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝，
设a＝3k（k＞0），则b＝2k，c＝k，
由余弦定理可得，cosC＝＝＝，
因为C∈（0，π），可得C＝，
由＝12，将a＝3k，b＝2k，c＝k代入，解得k＝2，
所以可得c＝2，
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知，2R＝＝2，
即△ABC的外接圆的半径为．
故答案为：．
17.解：（1）．
由正弦定理得，即，
，．
（2），
，结合，，．
．
18.解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理可得，
因为，
所以．
（2）因为，的面积为，
可得，
可得．
19.解：（1）因为，
所以，
即，结合，
解可得或，
因为为锐角，所以，
所以，．
（2）因为，所以，
因为，，可得为等边三角形，，
所以，
所以，
设，在中，由正弦定理，可得，
解得，
所以．
20.解：（1）函数．
所以．
所以，
所以函数的最小正周期为；
（2）设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，
所以，解得．
利用正弦定理，
解得，，
所以，
由于，解得，所以，
所以．