中考数学重难点专题讲座
第七讲 坐标系中的几何问题
【前言】
前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。
第一部分 真题精讲
【例1】已知：如图1，等边的边长为，一边在轴上且， 交轴于点，过点作∥交于点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）若直线将四边形的面积两等分，求的值；
（3）如图2，过点的抛物线与轴交于点，为线段上的一个动点，过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当点在线段上运动时，现给出两个结论：
① ②，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．
【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。
【解析】解：（1）；．
（2）过点作于，交于点，取的中点．
∵是等边三角形，．
∴ ．
在中，．
∴．
∴．
∵∥交于，．
∴． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C一样，纵坐标就是E的纵坐标的一半）
∵直线将四边形的面积两等分．
∴直线必过点．
∴，∴
（3）正确结论：①．
证明：可求得过的抛物线解析式为
∴．
∵．
∴．
由题意．
又∵
∴
∴≌
∴，
∴
过点作于
∴
∴
由题意可知∥
∴
∴
∴
即：． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）
【例2】如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形 请写出计算过程;
(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值 若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当t _________时,△PQF为等腰三角形
【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中，QC和PA始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA时候即可。第三问求△PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF，得解。第四问因为已经知道PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.
【解析】解：(1) ，令得，
∴或∴；
在中，令得即；
由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或
即
于是，
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA.故只要QC=PA即可
∵
∴ 得
（3）设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故
∴
∴
又点Q到直线PF的距离
∴
∴△PQF的面积总为90
（4）由上知，，。构造直角三角形后易得
，
若FP=PQ，即，故，
∵∴∴
若QP=QF，即，无的满足条件；……………12′
若PQ=PF，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；
综上所述：当时，△PQR是等腰三角形。
【例3】如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是．
（1）求点坐标及的值；
（2）如图（1），抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；
（3）如图（2），点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B（1,0）代入，第一问轻松拿分。第二问直接求出M坐标，然后设顶点式，继续代入点B即可。第三问则需要设出N，然后分别将NP，PF,NF三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大，务必细心。
【解析】
解：⑴由抛物线：得
顶点的为
∵点在抛物线上
∴
解得，
⑵连接，作轴于，作轴于
∵点、关于点成中心对称
∴过点，且
∴
∴,
∴顶点的坐标为 （标准答案如此，其实没这么麻烦，点M到B的横纵坐标之差都等于B到P的，直接可以得出（4,5））
抛物线由关于轴对称得到，抛物线由平移得到
∴抛物线的表达式为
⑶∵抛物线由绕点轴上的点旋转得到
∴顶点、关于点成中心对称
由⑵得点的纵坐标为
设点坐标为
作轴于，作轴于
作于
∵旋转中心在轴上
∴
∴，点坐标为
坐标为，坐标为，
根据勾股定理得
①当时，，解得，∴点坐标为
②当时，，解得，∴点坐标为
③∵，∴
综上所得，当点坐标为或时，以点、、为顶点
的三角形是直角三角形．
【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：交轴、轴于、两点，点是线段上一动点，点是线段的三等分点．
（1）求点的坐标；
（2）连接，将绕点旋转，得到．
①当时，连结、，若过原点的直线将四边形分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
②过点作轴于，当点的坐标为何值时，由点、、、构成的四边形为梯形？
【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.
【解析】
（1）根据题意：，
∵是线段的三等分点
∴或---------------2分
（2）①如图，过点作轴于点，
则．
∵．
∴
∴
∴
∵点在直线上
∴-
∵是由绕点旋转得到的
∴
∴无论是、点，四边形是平行四边形且为对称中心
∴所求的直线必过点．
∴直线的解析式为:
② 当时，
第一种情况：在点左侧
若四边形是梯形
∵与不平行
∴∥
此时
第二种情况：在点右侧
若四边形是梯形
∵与不平行
∴
∵是线段的中点
∴是线段的中点
∴
由，．
∴
∴点的横坐标为
∴
当时，同理可得
第一种情况：在点左侧时，-
第二种情况：在点右侧时，-
综上所述，所求M点的坐标为：，，或．
【例5】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）.与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E.
（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标.
（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标.
（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△PBF的面积最大，求此时P点坐标及△PBF的最大面积.
（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.
【思路分析】本题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四个点。第二问向左平移，C到对称轴的距离刚好是1，所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上，所以F直接写出为（-2,-3）第三问看似棘手，但是只要将△PBF拆解成以Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH在X轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两个图分开来看。
【解析】
．解：
（1）.
（2）
（3）过点作轴的平行线与交于点，与轴交于点
易得，直线解析式为．
设，则，
∴
的最大值是.
当取最大值时的面积最大
的面积的最大值为 .
（4）如图，①当直线在轴上方时，设圆的半径为，则，
代入抛物线的表达式，解得.
②当直线在轴下方时，设圆的半径为，
则，
代入抛物线的表达式，解得
∴圆的半径为或． .
【总结】 通过以上五道一模真题，我们发现这类问题虽然看起来十分复杂，但是只要一问一问研究慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间思考拿不了全分，至少要将前面容易的分数拿到手，这部分分数其实还不少。像例2最后一问那种情况，该放弃时候果断放弃，不要为1分的题失去了大量检查的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的，所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明，但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试.
【思考2】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分
别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四
边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出
EMBED Equation.DSMT4 的取值范围.
【思路分析】第二问有两个思路，第一个是看已知四边形的线段是否平行且相等，角是否符合平行四边形的条件。另一个是看假如有平行四边形，那么构成平行四边形的点P是否在BC上。从这两个思路出发，列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点共线，继而看出最大值和最小值分别是多少。
【思考3】抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问要算的比较多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N坐标,然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解,如果能巧妙的将△ACM的面积看成是四边形ACEM减去△AME,那么就会发现四边形ACEM刚好也是△AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的距离,然后分类讨论PM的位置即可求解.
【思考4】如图，抛物线，与轴交于点，且．
（I）求抛物线的解析式；
（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，
EMBED Equation.3 的值
【思路分析】本题虽然没有明确给出坐标，但是表达式中暗含了X=0时Y=-3，于是C点得出，然后利用给定的等式关系写出A,B去求解析式。第二问中，因为AC是固定的，所以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问则是少见的计算角度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系，发现∠CBE=∠DBO，于是所求角度差就变成了求∠OBC。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）∵，，
∴．
设与轴交于点．
由可得．
又，
∴．
∴，．
同理可得．
∴．
∴点的坐标为．
（2）由（1）可得点的坐标为．
由，
可得轴所在直线是线段的垂直平分线．
∴点关于直线的对称点在轴上．
∴与互相垂直平分．
∴．
∴四边形为菱形，且点为其对称中心．
作直线．
设与分别交于点、点．可证．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴直线将四边形分成周长相等的两个四边形．
由点，点在直线上，
可得直线的解析式为．
（3）确定点位置的方法：过点作于点．则与轴的交点为所求的点．
由，
可得，
∴．
在中，．
∴点的坐标为．（或点的位置为线段的中点）
【思考2解析】
解：（1）点C的坐标为.
∵ 点A、B的坐标分别为，
∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
将代入抛物线的解析式，得.
∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为
，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
直线BC的解析式为.-
设点P的坐标为.
解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，
连结AP，作PM⊥x轴于点M.
∵ OP∥AD，
∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.
∴ ，即.
解得. 经检验是原方程的解.
此时点P的坐标为.
但此时，OM＜GA.
∵
∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P.
解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.
可得△PEN≌△DEG ．
由，可得E点的坐标为.
NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.
∴ 点P的坐标为.
∵ x=时，，
∴ 点P不在直线BC上.
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .
（3）的取值范围是.
说明：如图10，由对称性可知QO=QH，.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，取得最小值0.
【思考3解析】
解：（1）设直线AC的解析式为，把A（－1，0）代入得.
∴直线AC的解析式为.
依题意知，点Q的纵坐标是－6.
把代入中，解得，∴点 Q（1，）
∵点Q在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线.
设抛物线的解析式为，由题意，得，解得
∴抛物线的解析式为.
（2）如图①，过点C作AC的垂线交抛物线于点D，
交x轴于点N，则
∴，∴.
∵，，∴.
∴点N的坐标为（9，0）
可求得直线CN的解析式为. 图①
由，解得，即点D的坐标为（，）.………5分
（3）设抛物线的对称轴交x轴于点E，
依题意，得，，.
∵，
且，
又，∴.
设P（1，m）， 图②
①当点P在点M上方时，PM＝m＋4＝3，
∴，∴P（1，－1）.
②当点P在点M下方时，PM＝－4－m＝3，
∴，∴P（1，－7）.
综上所述，点P的坐标为（1，－1），（1，－7）.
【思考4解析】
解：（I），且．．
代入，得
（II）①当可证∽
．
②同理: 如图当
③当
综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，．
（III）．．
∴．
．
．
又 ．．
．
y
x
A
O
B
P
M
图1
C1
C2
C3
y
x
A
O
B
P
N
图2
C1
C4
Q
E
F
y
x
A
O
B
P
N
图(2)
C1
C4
Q
E
F
H
G
K
y
D
E
C
B
O
A
x
1
1
H
S
M
T
G
F
图8
图10
图9
图11
A
P2
P 1
C中考数学重难点专题讲座
第六讲 列方程（组）解应用题
【前言】
在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。
第一部分 真题精讲
【例1】 “家电下乡”农民得实惠，根据“家电下乡”的有关政策：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的补贴给农户，小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机，他从乡政府领到了390元被贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？
【思路分析】首先仔细看题，明确说明彩电售价比洗衣机售价高1000，那么一方面可以设一个未知数彩电为x，那么洗衣机自然就可以用x-1000表示，另一方面也可以直接设两个未知数彩电x和洗衣机y，利用高1000的条件制造等量关系。其次说补贴是售价的13%，而又明确给出小明的爷爷领到了390元，所以这390元就是售价的补贴。于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程组。这一题要把握的就是两个等量关系，一个是售价差等于1000，另一个是售价的13%等于补贴。于是可以得出答案。
【解析】（列方程组解）
解：设一台彩电的售价为元，一台洗衣机的售价为元.
根据题意得：
解得
答：一台彩电售价2000元，一台洗衣机售价1000元．
【例2】某采摘农场计划种植两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：
项目 品种 A B
年亩产（单位：千克） 1200 2000
采摘价格（单位：元/千克） 60 40
(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为元，那么两种草莓各种多少亩
(2)若要求种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半，那么种植种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多
【思路分析】本题依然是通过方程表达总量去解决。总收入就是A的亩产乘以价格加上B的亩产乘以价格，列出方程即可。至于第二问则是先根据“种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半”列出不等式，求出A种草莓的范围，然后列出函数式来看在范围内总收入最大值是多少。
【解析】
解：设该农场种植种草莓亩，种草莓亩
依题意，得：…………2分
解得：，
(2)由，解得
设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元，则：
∴当时，有最大值为464000
答：(l)种草莓种植2.5亩, 种草莓种植3.5亩．
(2)若种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半，那么种植种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.
【例3】2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量．
【思路分析】本题比较简单，但是涉及了时事热点，看似复杂，实际一分析就发现等量非常好找。一个是单独排放量之和等于70，另一个是排放总量之差等于54.于是可以列方程组求解。
【解析】
解：设乘飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是x千克和y千克.
依题意，得
解得
答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克
【例4】某中学拟组织九年级师生外出．下面是年级组长李老师和小芳同学有关租车问题的对话：
李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车外出参观，一天的租金共计5000元．”
根据以上对话，求客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
【思路分析】本题两句话就是两个等式，第一句话的等式两边就是租金的差价，第二句话的两边是总租金的和。本题虽然也比较简单，但是随时可能有变化的空间。例如说八年级师生一共有xx人，问怎样租车最经济。那么依然是做一个函数然后看函数的最小值。这种思路中考中也会比较容易考到，大家可以多发散思考一下。
【解析】
解：设客运公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为元和元．
由题意，列方程组
解之得
答：客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元
【例5】《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和狼公仔的生产专利．该企业每天生产两种公仔共450只，两种公仔的成本和售价如下表所示．如果设每天生产羊公仔x只，每天共获利y元．
（1）求出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围；
（2）如果该企业每天投入的成本不超过10000元，那么要每天获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？
类别 成本（元/只） 售价（元/只）
羊公仔 20 23
狼公仔 30 35
【思路分析】本题是刚刚火热出炉的二模题，结合了社会的热点动画片来设立问题。虽然是应用题，但是却涉及了函数的思想，造成了一定的困扰。分析本题首先需要清楚“获利”这个概念，就是售价减成本再乘以数量。其中，每天生产的数量是定值450，所以狼公仔就要用羊公仔数去表示，然后合理列出函数表达式。第二问夹杂进了不等式，需要判断出x的范围上限和下限分别代表什麽意思，尤其是明白一次函数的单调性。
【解析】
解：（1）根据题意，得=(23－20)+(35－30)(450－)，
即=－2+2250．
自变量x的取值范围是0≤x≤450且x为整数．
（2）由题意，得20+30(450-)≤10000．
解得≥350．
由（1）得350≤x≤450．
∵随的增大而减小，
∴当=350时，值最大．
最大=－2×350+2250=1550．
∴450－350=100．
答：要每天获利最多，企业应每天生产羊公仔350只，狼公仔100只.
【总结】列方程解应用题作为必考内容，难度一般都不会很大。但是这类问题的特点是冗余信息多，干扰思考。例如动辄来个知识背景介绍，或者模拟情景对话，简单说就是废话非常多。所以作为考生来说，碰到此类问题，第一步就是要从废话中提取有用信息，然后设元，将废话转化为数学元素。第二步就是提取题目中的等量信息。一般来讲，等量信息无非分两种，一个是个体的关系，如例5中的狼羊公仔数量和，以及不同客车的租金差；另一部分就是总体的关系，例如总收入，总支出之类的。顺风逆风问题似乎近年来很少考到，大多是和钱有关的事情（笑）。所以需要考生关注“总和”“比…少”“比…的几倍多”这种字眼，分析出等量关系去列出方程。具体操作来看，笔者比较倾向于非函数问题列二元方程去算，例如例1的解法，这样的好处是比较直观，在较为复杂的等式中如果一直用某个未知数的关系去表示另一个未知数容易造成等式过于冗长，容易出错。
第二部分 发散思考
【思考1】改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例，
1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？
【思路分析】本题看起来数字很多，什么1978，1550，4650，2008等等等等，但是年份都是多余的信息。仔细分析有用信息就是两馆和，两馆分别的增长量。于是设78年的两馆数量求解。但是注意的是最后题目问的是2008年的数量，所以不要忘记算一下再作答。
【思考2】将进价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，经市场调查得知，该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？
【思路分析】本题也是和钱有关的题目，但是列出来的方程式一个一元二次方程，所以需要仔细对“每涨价1，销售量减10”这个关系进行分析。所以直接设涨价为x最为合适，利用8000元的总利润列出方程求解即可。
【思考3】北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面
公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？
【思路分析】中考原题，正如在上面总结中所说，这类问题一定要关注“总和”，“比xxx几倍少/多”这种字眼。本题来说既然求各为多少万人次，直接设两个元。然后利用一次总和，利用一次倍差关系，轻松列出两个方程构成方程组求解。
【思考4】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，
或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须
满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．
（1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写
出自变量x的取值范围；
（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：
苹果品种 甲 乙 丙
每吨苹果所获利润（万元） 0.22 0.21 0.2
设此次运输的利润为W（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W
最大，并求出最大利润．
【思路分析】本题虽然是设函数的问题，但是利用“共”100吨这个关系列出包含x,y的函数即可。第二问则是在第一问的基础上继续建立函数，化简后利用第一问的自变量范围求最小值。细心把握题中信息就可以了。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：设1978年全国有公共图书馆x个，博物馆y个
由题意，得
解得 （有些同学没看清问题就直接写这个上去了，丢分很可惜）
则，.
答：2008年全国有公共图书馆2650个，博物馆2000个.
【思考2解析】
解：设涨价x元，则售价为（50+x）元．
依题意，列方程，得
（50+x-40）（500-10x）=8000．
整理，得
x2-40x+300=0，
解得
x1=10，x2=30．
答：售价应定为60或80元．
【思考3解析】
设轨道交通日均客运量为万人次，地面公交日均客运量为万人次．
依题意，得
解得
答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1 343万人次．
【思考4解析】
（1）∵ ，
∴ y与x之间的函数关系式为 ．
∵ y≥1，解得x≤3．
∵ x≥1，≥1，且x是正整数，
∴ 自变量x的取值范围是x =1或x =2或x =3．
（2）．
因为W随x的增大而减小，所以x取1时，可获得最大利润，
此时（万元）．
获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．中考数学重难点专题讲座
第九讲 几何图形的归纳,猜想,证明问题
【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。
第一部分 真题精讲
【例1】如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，的面积为，…，的面积为，则= ；=____ （用含的式子表示）．
( http: / / www. )
【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是,这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先所代表的三角形的底边是三角形的底边,而这个三角形和△是相似的.所以边长的比例就是与的比值.于是.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 自然是所在边上的n+1等分点.例如就是的一个三等分点.于是(n+1-1是什么意思 为什么要减1 )
【例2】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形的四个顶点坐标分别是，，，，则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形的四个顶点坐标分别为，，，（为正整数），则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有的式子表示）．
( http: / / )
【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为,斜率意味着什么 看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是,所有n个空白小三角形的面积之和为,相减之后自然就是所有格点正方形的面积,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是.
【例3】如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．则第一个黑色梯形的面积 ；观察图中的规律，第(为正整数)个黑色梯形的面积 ．
【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以.第二个梯形面积,第三个是,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.
【例4】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有 个．
【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是就是80个.
【例5】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．
【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个45°。于是绕到第八次就可以和BC重叠了，此时边长为△ABC的，故而得解。
【例6】如图，以等腰三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，……，如此作下去，若，则第个等腰直角三角形的面积 ________（n为正整数）.
【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得，分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是
【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。
第二部分 发散思考
【思考1】如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，
，…，以为对角线作第一个正方形，以
为对角线作第二个正方形，以为对角线作第
三个正方形，…，如果所作正方形的对角线都在
y轴上，且的长度依次增加1个单位，顶点都在第一象
限内（n≥1，且n为整数）．那么的纵坐标为 ；用n
的代数式表示的纵坐标： ．
【思考2】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始跳动，第一
次跳到点关于x轴的对称点处，接着跳到点关于y轴
的对称点 处，第三次再跳到点关于原点的对称点处，…，
如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是
．
【思考3】对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是 ，自然数n的分裂数中最大的数是 .
【思考4】一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动,即，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______
【思考5】如图，将边长为的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1, A2, A3, ….①若摆放前6
个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）
之和为 ；②若摆放前n（n为大于1的正
整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .
第三部分 思考题解析
【思考1答案】2；
【思考2答案】（3，－2）
【思考3答案】13；2n-1
【思考4答案】（5，0）
【思考5答案】10，
1
3
1
3
5
0
1
2
3
x
y
1
2
3
…中考数学重难点专题讲座
第八讲 动态几何与函数问题
【前言】
在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E.
（1）将直线向右平移，设平移距离CD为（t≥0），直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.
（2）当时，求S关于的函数解析式.
( http: / / www. )
【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M点是何含义，于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。
【解】
（1）由图（2）知，点的坐标是（2，8）
∴由此判断：；
∵点的横坐标是4，是平行于轴的射线，
∴
∴直角梯形的面积为：..... (3分)
（2）当时，
阴影部分的面积=直角梯形的面积的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)
∴
∵
∴ .
∴
.
【例2】已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www. )
【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE和△FOB这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT△面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT△面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK.
【解析】
（1）证明：设，，与的面积分别为，，
由题意得，．
，．
，即与的面积相等．
（2）由题意知：两点坐标分别为，， (想不到这样设点也可以直接用X去代入,麻烦一点而已)
，
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ．
当时，有最大值．
．
（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．
由题意得：，，，
，．
又，
．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)
，，
．
，，解得．
．
存在符合条件的点，它的坐标为．
【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q运动时，△BPQ的高的长度始终不变，即为CD长，所以只需关注变化的底边BQ即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量—高，过Q做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。
【解析】
解： （1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。
∴PM＝DC＝12
∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t
（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点
为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2
得 ，解得t＝；
②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2 得：
即。
由于Δ＝－704＜0
∴无解，∴PB≠BQ…
③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得
整理，得。解得（舍）（想想看为什么要舍？函数自变量的取值范围是多少？）
综合上面的讨论可知：当t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
（3）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图2，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，
得，即。解得t＝9
所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。
【例4】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后判断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE//QB和PQ//BC都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解.
解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴．
∴，
即．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
（4）或．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
，．
由，得，解得．
方法二、由，得，进而可得
，得，∴．∴．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，
【例5】如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于
，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下.
解：（1），，，．
点为中点，．
，．
，
，．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
EMBED Equation.DSMT4 ，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。
第二部分 发散思考
【思考1】如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题：
（1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；
（3）求与之间的函数关系式．
【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0≤X≤3，到3时刚好Q到B.第二阶段是3≤X≤6，Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.
【思考2】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、 高BE的长是 ；
(2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。
【思考3】已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【思路分析】 第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM=QN，所以此时MN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N过AB中点之前，其次是N过中点之后同时M没有过中点，最后是M,N都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN是不变的，所以PM和QN的长度就成为了求面积S中变化的部分。
这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）6．
（2）8．
（3）①当0时，
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ．
②当3时，
=
③当时，设与交于点．
(解法一)
过作则为等边三角形．
．
（解法二）
如右图，过点作于点，，于点
过点作交延长线于点．
又
EMBED Equation.DSMT4
又
【思考2解析】
解：（1）5 , 24,
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.
如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得
△AQG∽△ABE,∴,
∴QG=, …………………………1分
∴(≤t≤5).
……1分
∵(≤t≤5).（这个自变量的范围很重要）
∴当t=时，S最大值为6.
② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=.
以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点
F,则AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得
, ∴,
∴.
∴CQ1==.则, ∴ .
第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,
分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
则,∴.
②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB,得.
∵AE= , ∴AN＝.
∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-
则.∴.
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.
【思考3解析】
过点作垂足为点，
在中，
若不小于，
则
即
踏板离地面的高度至少等于3.5cm．
26．（10分）
（1）过点作，垂足为．
则，
当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，
即时，四边形是矩形，
秒时，四边形是矩形．
，
（2）当时，
当时
当时，
A
B
M
C
D
P
Q
图1
P
A
E
E
D
C
Q
B
O
图2
A
C
B
P
Q
E
D
A
C
)
B
P
Q
D
图3
E
)
F
A
C
B
P
Q
E
D
图4
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
P
Q
A
B
C
D
C
P
Q
B
A
M
N
Q1
A
B
C
D
Q2
P3
Q3
E
P2
P1
O
P3
O
A
B
C
D
Q3
G
H
F
A
P
B
D
H
H′
B′
A′
M
C
N
C
P
Q
B
A
M
D
N
C
P
Q
B
A
M
N
C
P
Q
B
A
M
N
C
P
Q
B
A
M
N
中考数学重难点专题讲座
第十讲 阅读理解题专题
【前言】
新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不同以往的单纯“给条件”to“求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。
【例1】请阅读下列材料?
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．?
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．?
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．??
【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP就成了BP`,PC成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC挪了出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。
【解析】
（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=．
连结P P′，
在Rt△BP′P中，
∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴ P P′=2，∠BP′P=45°．
在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，
∵ ，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2．
∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．
∴ ∠AP′B=135°．
∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． …
（2）过点B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E．
∴ ∠EP′ B=45°.∴ EP′=BE=1.∴ AE=2.
∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．
∴ ∠BPC=135°，正方形边长为．
【例2】若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：. 我们把它们称为根与系数关系定理.
如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：
请你参考以上定理和结论，解答下列问题:
设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形.
（1）当为等腰直角三角形时，求
（2）当为等边三角形时， .
（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且,试问如何平移此抛物线，才能使？
【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与X轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求取何值时△ABC为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。
【解析】．⑴ 解：当为等腰直角三角形时，过作，垂足为，
则
∵抛物线与轴有两个交点，∴，（不要忘记这一步的论证）
∴
∵
又∵，
∵，
∴
∴（看成一个整体）
∴
∴…
⑵当为等边三角形时，
⑶∵，
∴．
即，
∴
因为向左或向右平移时，的度数不变，
所有只需要将抛物线向上或向下平移使，然后向左或向右平移任意个单位即可．
设向上或向下平移后的抛物线解析式为：，
∵平移后，∴，
∴．
∴抛物线向下平移个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使的度数由变为
【例3】阅读下列材料：
小明遇到一个问题：如图1，正方形中，、、、分别是、、和边上靠近、、、的等分点，连结、、、，形成四边形．求四边形与正方形的面积比（用含的代数式表示）．
小明的做法是：
先取，如图2，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是；
然后取，如图3，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是，即；
……
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1）在图4中探究时四边形与正方形的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；
（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【思路分析】本题属于典型的那种花10分钟读懂材料画1分钟就可以做出来题的类型。材料给出的方法相当精妙，考生只要认真看过去并且理解透这个思路，那么不光是这道题可以做，以后碰见类似的题目都可以用这种方法。材料中所给方法就是将周边的四个三角形其中的两个旋转90°，将三角形放在矩形当中去讨论面积。事实上无论是几等分点，所构造出来的四个小三角形△AMD，△ABN，△BPC，△CQD都是全等的，并且都是90度，那么他们旋转以后所对应的就是两个矩形，如图三中的BN`PC和CM`DQ。而矩形的面积恰好和中间正方形的面积有联系（想想看，是怎样用N等分点去证明面积比例的）于是顺理成章当N等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了。至于第二问和裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思考，重点就在于找出这个多边形是由哪几部分构成。于是按下图，连接BC，截外接矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可。说白了，这种带网格的裁剪题，其实最关键的地方就在于网格全是平行线，利用平行线截线段的比例性质去找寻答案。
【解析】
四边形与正方形的拼接后的正方形是正方形．
面积比是．
【例4】阅读：如图1，在和中，, ,、、、 四点都在直线上，点与点重合.
连接、，我们可以借助于和的大小关系证明不等式：（）.
证明过程如下:
∵
∴
∵,
∴.
即.
∴.
∴.
解决下列问题：
（1）现将△沿直线向右平移，设,且.如图2,当时, .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：（）.
（2）用四个与全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.
【思路分析】本题是均值不等式的一种几何证明方法。材料中的思路就是利用两个共底三角形的面积来构建不等式，利用来证明。其中需要把握的几个点就是（b-a）是什么，以及如何通过(b-a)来造出。首先看第一问说要平移△DEF，在平移过程中，DE的长度始终不变，EF垂直于M的关系也始终不变。那么此时（b-a）代表什么？自然就是BD和ED之和了。于是看出K值。接下来就是找那两个可以共底的三角形，由于材料所给提示，我们自然想到用BD来做这个底，而高自然就是AB和EF。于是连接AD，△ABD和△BDF的面积就可以引出结果了。第二问答案不唯一，总之就是先调整出（b-a）可以用什么来表达，然后去找b和a分别和这个（b-a）的关系，然后用面积来表达出的式子就可以了，大家可以继这个思路多想想。
【解析】（1）
证明：连接、.
可得.
∴ ，
.
∵ ，
∴ ，
即 .
∴ .
∴ .
（2）
延长BA、FE交于点I.
∵ ，
∴ ，
即 .
∴ .
∴ .
四个直角三角形的面积和，
大正方形的面积.
∵ ，
∴ .
∴ .
【例5】阅读下列材料:
将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠）
请你参考以上做法解决以下问题：
（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形；
（2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明.
【思路分析】这种拼接裁剪题目往往都是结合在阅读理解题中考察，结合网格，对考生的发散思维要求较强。本题材料中将平行四边形裁减成8份然后重新组成两个平行四边形。要保证平行就需要这些小四边形的边长都是平行且相等的。第一问是面积相等，那么直接利用中点这一个重要条件去做。第二问是分割为能重新组成平行四边形的三角形，那么就要想如何利用三角形去构建平行和相等的关系呢？于是可以想到平行四边形的对角线所分的三角形恰好也就满足这种条件。于是从平行四边形的对角线出发，去拆分出8个小三角形来。具体答案有很多种，在此也不再累述。
【总结】这种阅读理解题是近年来中考题的新趋势，如果没有材料直接去做的话，往往得不到思路。但是如果仔细理解材料中所给的内容，那么就会变得非常简单。这种题的重点不在于考察解题能力，而在于考察分析，理解和应用能力。专门去找大量的类似题目去做倒也不必，而培养审题，分析的能力才是最重要的。考生拿到这种题，第一就是要静下心来慢慢看，切记不可图方便而草草看完材料就去做题，如果这样往往冥思苦想半天还要回来看，浪费了大量时间。裁剪问题和拼接问题也是经常出现在此类问题当中的，面对这种题要把握好构成那些等量关系的要素，如中点，N等分点等特殊的元素。综合来说只要仔细理解材料中的意图，那么这一部分的分数十分好拿，考生不用太过担心。
第二部分 发散思考
【思考1】几何模型：
条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1） 如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；
（2） 如图2，的半径为，点在上，，，是 上一动点，则的最小值是___________；
（3）如图3，，是内一点，，分别是上
的动点，则周长的最小值是___________．
【思路分析】利用对称性解题的例题。前两个图形比较简单，利用正方形和圆的对称性就可以了。第三个虽然是求周长，但是只要将这个题看成是从P点到Q，然后到R再折回来的距离最小，当成是那种“将军饮马”题目去做就可以了。
【思考2】
直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下:
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；
(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
(1)
【思路分析】材料的方法中，如果延长中位线，并且由底边顶点做中位线的垂线。那么如下图，箭头所指的两个三角形就是全等的，另外一边也是一样，所以这种裁减方法就是利用全等来走。第一问纯属送分，按材料中所给的三角形拆法就可以了。第二问说裁剪梯形，实质上梯形就是由两个三角形组成的，所以随便找一条对角线将梯形拆开，然后按照第一问的思路去做就可以了。
【思考3】
将图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，
△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
图① 图② 图③
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ；
（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 .
【思路分析】本题虽然给出了一个“叠加矩形”的定义，但是和其他题目相比来说依然是换汤不换药。其实就是先要找出一个矩形，然后再去把三角形或者四边形的锐角部分都轴对称进来即可。但是注意，能叠成这样一个叠加矩形的图形，很重要的一条就是三角形的一边长和该边的高相等，然后只有借助垂直关系才能构造出矩形来，所以第四问中的四边形满足的条件也应该是和垂直且相等的关系有关。（有兴趣的同学可以自己证明一下看看）。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
⑴ 的最小值是；
⑵ 的最小值是；
⑶ 周长的最小值是．
【思考2解析】
【思考3解析】
（1）
（2）
（3）三角形的一边长与该边上的高相等.
（4）对角线互相垂直.（这里回答菱形，正方形是没有分的，因为只需对角线互相垂直即可叠成矩形，并不一定要四边有相等关系，试试看，梯形也可以）
图2
图3
图1
都是矩形
图11
图2
图1
图3
图4
图5
A
B
′
P
l
O
A
B
P
R
Q
图3
O
A
B
C
图2
A
B
E
C
P
D
图1
P中考数学重难点专题讲座
第三讲 动态几何问题
【前言】
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，
第一部分 真题精讲
【例1】如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．
( http: / / www. )
（1）当时，求的值；
（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】
解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．
∵，．
∴． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）
∴． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）
∴ ．解得．
【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论：
① 当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
∵，
∴，
∴，
解得．
② 当时，如图③，过作于H．
则，
∴．
∴．
③ 当时，
则．
．
综上所述，当、或时，为等腰三角形．
【例2】在△ABC中，∠ACB=45 ．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
【解析】：
（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：AB=AC ，∠ACB=45 ，∴∠ABC=45 ．
由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90 ，
∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90 ．即 CF⊥BD．
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90 ． 即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45 ，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，
易证△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，
．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45 ，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x．
过A作交CB延长线于点G，
则． CF⊥BD，
△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，
．
【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．
（1）求证：梯形是等腰梯形；
（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；
（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢 当然是利用角度咯.于是就有了思路.
【解析】
（1）证明：∵是等边三角形
∴
∵是中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴梯形是等腰梯形．
（2）解：在等边中，
∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)
∴
∴
∴
∵ ∴
∴ ∴ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。
（3）解： 为直角三角形
∵
∴当取最小值时，
∴是的中点，而
∴
∴
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢 接下来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．
（1）直接写出线段与的数量关系；
（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
( http: / / www. )
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。
（1）
（2）（1）中结论没有发生变化，即．
证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．
在与中，
∵，
∴．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴
在矩形中，
在与中，
∵，
∴．
∴．
∴
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）（1）中的结论仍然成立．
【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．
（1）当=1 时，CF=______cm，
（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；
（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。
【解析】
（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY）
（2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，
∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ．
∵ =2， ∴ CF=3．
∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．
又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF．
设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=． ∴ DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）
∴ sin∠DAB′=；
②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N，
同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′ N=12-m．
在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得
m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=．
∴ B′ N=． ∴ sin∠DAB′=．
（3）①当点E在BC上时，y=；
（所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）
②当点E在BC延长线上时，y=．
【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：
第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。
第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。
第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。
第二部分 发散思考
【思考1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．
（1）求证：∽；
（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；
（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．
【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
【思考2】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，
且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~
【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。
【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。
【思考4】在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1 绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ∽．
（2）证明：如图，过点作，交于点，
∵ 是的中点，容易证明．
在中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）解：的周长，．
设，则．
∵ ，∴ ．即．
∴ ．
由（1）知∽，
∴ ．
∴ 的周长的周长．
∴ 的周长与值无关．
【思考2答案】
解：（1）∠BPD= 30 °；
（2）如图8，连结CD．
解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上，
∴ ∠1=∠2．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．
∵ BP=BA，
∴ BP=BC．
∵ BD= BD，
∴ △PBD≌△CBD．
∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，
∴ △BCD≌△ACD．
∴ ．
∴ ∠BPD =30°．
解二：∵ △ABC是等边三角形，
∴ BA =BC=AC．
∵ DB=DA，
∴ CD垂直平分AB．
∴ ．
∵ BP=BA，
∴ BP=BC．
∵ 点D在∠PBC的平分线上，
∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称．
∴ ∠BPD=∠3．
∴ ∠BPD =30°．
（3）∠BPD= 30°或 150° ．
图形见图9、图10．
【思考3解析】
解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．
∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，
∴AD=EC=BC－BE=3．
当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP
∵,∴BH=．
∴BP=．
（2）不存在BP=MN的情况-
假设BP=MN成立，
∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC-
设BO=x，则PO=x,由，得BH=,
∴BP=2BH=.
∴BQ=BP×cosB=，PQ=．
∴OQ=．
∵△PQO∽△DOC，∴即，得．
当时，BP==＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况.
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤.-------8分
【思考4解析】
解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线与直线的交点为．
∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
可得．
由（1）可得四边形为正方形．
∴．
①如图2，当点在线段的延长线上时，
∵，
∴．
∴．
②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，
∵，
∴．
∴．
③当点与点重合时，即时，不存在．
综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．
A
D
C
B
P
M
Q
60°
C
A
D
B
图1
图2
A
B
C
D
O
P
M
N
A
B
C
D
（备用图）
第25题
图8
图9
图10
A
B
C
D
O
P
M
N
Q
H
F
D
C
B
A
E
图1
G2
G1
P1
H
P2
D
G1
P1
H
C
B
A
E
F
图2
F
G1
P1
C
A
B
E
D
H
图3第一讲 线段、角的计算与证明问题
【前言】
中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。
第一部分 真题精讲
【例1】如图，梯形中，，．求的长．
【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.
【解析】
作于于
，
四边形是矩形．
是的边上的中线．
在中，
【例2】已知：如图，在直角梯形中，∥，，于点O，，求的长.
【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.
( http: / / )
【解析】
过点作交的延长线于点.
∴ .
∵ 于点,
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ 四边形为平行四边形.
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD和 △DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。
【例3】如图，在梯形中，，，，为中点，．求的长度
． ( http: / / )
【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢 答案就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.
【解析】
过点作的垂线交于点，交的延长线于点.
在梯形中，，是的中点，
∴
在和中，
∴ .
∴
∵，∴.
在中，，
∴.
在中，
【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:
过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形
平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形
延长梯形两腰交于一点构造三角形
平移对角线，转化为平行四边形+三角形
连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形
以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。
【例4】如图，在梯形中，，平分，过点作，交的延长线于点，且，，，求的长．
【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C与角1，2，3以及角E的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC为RT三角形。于是得解。
【解析】：
∵
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴梯形是等腰梯形
∴
∵，
∴
在中，
∵，
∴
【例5】已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB分成两个有很多已知量的RT△。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB于G。这样一来，得到了△PFA △AGE等多个RT△。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。
【解析】：
如图，作AE⊥PB于点E．
∵ △APE中，∠APE=45°，，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ ．
如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
，
（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）
，．
在Rt△PFG中，可得，．
【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。
第二部分 发散思考
通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。
【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，．若AC⊥BD，
AD+BC=， 且， 求CD的长．
【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。
[解法见后文]
【思考2】如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EF
【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。若求EF，因为BC已知，所以只需求出AD即可。由题目所给角B，角C的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。
（解法见后）
【思考3】已知，延长到，使．取的中点，连结交于点．
⑴ 求的值；
⑵ 若，，求的长．
【思路分析】 求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD，又有F中点，所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。
（解法见后）
【思考4】如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．
( http: / / )
【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。本题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。
（解法见后）
【思考5】 如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，试判断四边形为怎样的四边形，并证明你的结论．
【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。
（解法见后）
第三部分 思考题答案
思考1
【解析】：作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延长线于F．
则四边形ADFC是平行四边形，∴，DF=AC．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．∴
又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF．
∴ΔBDF是等腰直角三角形
∴
在中，
∵，
∴，∴
思考2
【解析】：
延长BA，CD交于点H，连接HN，
因为∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°
所以HN=DN（直角三角形斜边中线性质）
∠NHD=∠NDH=60°
连接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。
所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下）
所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5
所以AD=1 EF=（1+7）/2=4
思考3
【解析】 ⑴过点作，交于点．
∵为的中点
∴为的中点，
由，得，
，∴
∴
∴
∴
⑵ ∵，∴
又，∴
∵，∴．
思考4
【解析】：
延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG．
则△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．
因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．
因为DF垂直平分EG，所以FG=EF．
在Rt△FCG中，由勾股定理得，所以EF=5．
思考5
【解析】：
证明：如图，连结、．
∵为的中位线，
∴，．
同理，．
∴，，
∴四边形为平行四边形．（有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜）
在和中，
，，，
即．
∴．
∴．
∴
∴四边形为菱形．
C
B
D
A
A
D
C
F
E
M
B
N
A
B
F
E
C
D
A
D
C
F
EE
M
B
N
H
A
B
F
E
C
D
M
AＡ
G
B D
F
E
1 C
2
图3中考数学重难点专题讲座
第二讲 图形位置关系
【前言】 在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。综合整个2010一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。一模尚且如此,中考也不会差的太远。至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。
第一部分 真题精讲
【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．
【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】
（1）证明：联结OD． ∵ D为AC中点， O为AB中点，
∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC．
∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.
∴ DE为⊙O的切线．
（2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°.
∵ D为AC中点， ∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=， ∴EC=. （三角函数的意义要记牢）
由勾股定理得：DC=.
在Rt△DCB 中， BD=．由勾股定理得： BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径.
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：连接.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ . ∴ .
∴ ∥. （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）
∵ ,
∴ .∴ .
∵ 是⊙O半径，
∴ 为⊙O的切线.
（2）∵ ,，，
∴ .
由勾股定理，得.
∴ .（通过三角函数的转换来扩大已知条件）
∵ 是⊙O直径，
∴ .∴ .
又∵ , ,
∴ . （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）
在Rt△中，==5.
∴ 的半径为.
【例3】已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点
在⊙上，且
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若点是劣弧上一点，与相交
于点，且，，
求⊙的半径长.
【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
【解析】
（1）证明：连接.
∵，
∴.
∴是等边三角形.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）
又∵点在⊙上，
∴是⊙的切线 .
（2）解：∵是⊙的直径，
∴.
在中， ,
∴设则，
∴ .
∴ . （设元的思想很重要）
∵,
∴ ∽ .
∴ .
∵,
∴ .
∴.………………………………………5分
【例4】如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的值．
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】
（1）证明：如图，连结，则．
∴．
∵ ，∴．
∴是的中点．
∵是的中点，
∴．
∵于F．
∴．
∴是的切线．
( 2 ) 连结，∵是直径, ∴．（直径的圆周角都是90°）
∴．
∴．
设，则．
在中，．
在中，．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）
∴．解得．即．
在中．
∴ ．
【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.
【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。
【解析】
（1）结论：与相切
证明：连接
∵点、在圆上，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）
在和
∴
∴
∵与相切
∴
∴
∴
∴与相切
（2）∵，四边形是平行四边形
∴，，
∵
∴
∴
∴ （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）
∴
∴ .
【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。
第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。
第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题， 如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。
该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。
第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：
如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。
本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常严密了。
（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。）
至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。
第二部分 发散思考
【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。
（解法见后）
【思考2】已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交
⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.
【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。
（解法见后）
【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。
【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，
D为上一点， CE⊥AD于E.
求证：AE= BD +DE．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1） 求证：DE是⊙O的切线；
（2） 若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.
∴ ∠EAB+∠E=90°.
∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，
∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
∴ AD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵ AE=2AO=6, AB=4,
∴ . ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴
∴
∴ .
【思考2解析】
解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图3，连结OB．-
∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D，
∴ ∠2=∠CBD．
∵ AB∥OC ，
∴ ∠2=∠A ．
∴ ∠A=∠CBD．
∵ OB=OC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ∠OBD=90°．
∴ 直线BD与⊙O相切．
（2）解：∵ ∠D=∠ACB ，，
∴ ．
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，，
∴ ，．
∴ ．
【思考3解析】
1）证明：连结，则．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，是角平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴与相切．
（2）解：在中，，是角平分线，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
设的半径为，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴的半径为．
【思考4解析】
证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．
在△ACF和△BCD中，
∴ △ACF≌△BCD．
∴ CF=CD.
∵ CE⊥AD于E，
∴ EF=DE.
∴ .
【思考5解析】
证明：（1）连接OC,
O
B
G
E
C
M
A
F
1
2
3中考数学重难点专题讲座
第四讲 一元二次方程与二次函数
【前言】
前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分 真题精讲
【例1】已知：关于的方程．
⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数的图象关于轴对称．
①求二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解：（1）分两种情况：
当时，原方程化为，解得， （不要遗漏）
∴当，原方程有实数根.
当时，原方程为关于的一元二次方程，
∵.
∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）
综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.
（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，
∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）
∴.
∴抛物线的解析式为.
②∵，（判断大小直接做差）
∴（当且仅当时，等号成立）.
（3）由②知，当时，.
∴、的图象都经过. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）
∵对于的同一个值，，
∴的图象必经过.
又∵经过，
∴. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）
设.
∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，
∴，
( http: / / www. )
∴.
又根据、的图象可得 ，
∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）
∴.
∴.
而.
只有，解得.
∴抛物线的解析式为.
【例2】关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
（1）由题意得
解得
解得
当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）由题意得
解得（舍） (始终牢记二次项系数不为0)
（3）抛物线的对称轴是
由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握)
与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏)
另设过点的直线（）
把代入，得，
整理得
有且只有一个交点，
解得
综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，
【例3】已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．
【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，
十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
所以，抛物线对称轴，所以，．
（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．
因为，=16－8=80．
所以，方程有两个不同的实数根，分别是
，．
（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．
若使抛物线的图象与轴无交点，只需 无实数解即可．
由==<0，得
又是正整数，所以得最小值为2．
【例4】已知抛物线，其中是常数．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．
【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.
（1）依题意，得，
∴
∴抛物线的顶点坐标为
（2）∵抛物线与轴交于整数点，
∴的根是整数．
∴是整数．
∵，
∴是整数．
∴是整数的完全平方数．
∵，
∴． (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)
∴取1，4，
当时，； 当时， ．
∴的值为2或 ．
∴抛物线的解析式为或．
【例5】已知：关于的一元二次方程（为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．
【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m－1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx－x－1)(x+1)就可以看出当x=－1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.
解：（1）
∵方程有两个不相等的实数根,
∴
∵,
∴的取值范围是且.
（2）证明：令得.
∴.
∴ (这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)
∴抛物线与轴的交点坐标为,
∴无论取何值，抛物线总过定点
（3）∵是整数 ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为
【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
与此图象有两个公共点时，的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】已知：关于的一元二次方程
（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．
【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.
【思考3】已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc
（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.
【思考4】已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根满足，求的值．
【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出,
发现都是关于m的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）由题意得，．
∴．
∵为正整数，
∴．
（2）当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．
（3）设二次函数的图象与轴交于
两点，则，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过点时，可得；
当直线经过点时，可得．
由图象可知，符合题意的的取值范围为．
【思考2解析】
证明：
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）
∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．
又∵12＜m＜40，
∴ 5＜＜9．
∴m=24
【思考3解析】
解：由 kx=x+2，得(k－1) x=2.
依题意 k－1≠0.
∴ .
∵ 方程的根为正整数，k为整数,
∴ k－1=1或k－1=2.
∴ k1= 2, k2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax2－bx+kc的图象经过点（1，0），
∴ 0 =a－b+kc, kc = b－a .
∴
=
（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(－b)2－4ac= b2－4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数
根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a－b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2－4ac= (a+kc)2－4ac=a2+2kac+(kc)2－4ac = a2－2kac+(kc)2+4kac－4ac
=(a－kc)2+4ac(k－1).
∵ 方程kx=x+2的根为正实数，
∴ 方程(k－1) x=2的根为正实数.
由 x>0, 2>0, 得 k－1>0.
∴ 4ac(k－1)>0.
∵ (a－kc)20,
∴Δ=(a－kc)2+4ac(k－1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2－bx+kc与x轴有交点,
∴ Δ1=(－b)2－4akc =b2－4akc0.
(b2－4ac)－( b2－4akc)=4ac(k－1).
由证法一知 k－1>0,
∴ b2－4ac> b2－4akc0.
∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】
（1）
不论取何值，方程总有两个不相等实数根
（2）由原方程可得
∴ －－
∴
又∵
∴
∴ －
经检验：符合题意．
∴ 的值为4．
A
O
x
y
8
6
4
2
2
4
B中考数学重难点专题讲座
第五讲 多种函数交叉综合问题
【前言】
初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。二次函数基本上只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数基本不会涉及。所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
【例1】将直线沿轴向下平移后，得到的直线与轴交于点，与双曲线交于点．
⑴求直线的解析式；
⑵若点的纵标为，求的值（用含有的式子表示）．
【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行.
【解析】将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A（），
设直线AB的解析式为．
则．
解得．
∴直线AB的解析式为．
( http: / / www. )
图3
（2）设点的坐标为，
∵直线经过点，
∴．
∴．
∴点的坐标为，
∵点在双曲线上，
∴．
∴．
【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．
（1）求出这两个函数的解析式；
（2）结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，
( http: / / www. )
【思路分析】第一问直接看图写出A，B点的坐标（－6,－2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。
【解析】
解：（1）由图象知反比例函数的图象经过点B(4，3)，
∴． ∴m=12． －
∴反比例函数解析式为．
由图象知一次函数的图象经过点A(－6，－2) ， B(4，3)，
∴ 解得 －－
∴一次函数解析式为．
（2）当0【例3】已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.
【解析】
解：（1）将分别代入中，
得，，
∴，．
∴反比例函数的表达式为：；
正比例函数的表达式为．
（2）观察图象得，在第一象限内，当时，
反比例函数的值大于正比例函数的值．
（3）．
理由：∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴．（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）
∴．
∴．
∴
【例4】已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值．
【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k的范围，加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定m【解析】（1）
∵为非负整数，∴
∵为一元二次方程
∴
(2)把代入方程得, 解得
∵
∴
把代入与
可得
(3)把代入与
可得，，由，可得
解得，经检验为方程的根。
∴
【例5】已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．
（1）求与的值；
（2）设一次函数的图像与轴交于点，连接，求的度数．
【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO即可。
解：（1）∵点在双曲线上，
∴
又∵在直线上，
∴ .
（2）过点A作AM⊥x轴于点M.
∵ 直线与轴交于点，
∴ .
解得 .
∴ 点的坐标为.
∴ .
∵点的坐标为，
∴.
在Rt△中，,
∴.
∴.－
由勾股定理，得 .
∴
∴.
∴.－
【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。
第二部分 发散思考
【思考1】如图，A、B两点在函数的图象上.
（1）求的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1－6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。
【思考2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线分别交轴、轴于两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．
【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。
【思考3】已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．
（I）用含k的式子表示方程的两实数根；
（II）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．
【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。
【思考4】如图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA、0C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA：0C=2：1．
（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；
（2）若直线平分矩形OABC面积，求的值
【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现B点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B点，代入即可。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
（1）由图象可知，函数（）的图象经过点，
可得．
设直线的解析式为．
∵，两点在函数的图象上，
∴ 解得
∴直线的解析式为．
（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．
【思考2解析】
（1）把，代入，得：．
EMBED Equation.DSMT4 反比例函数的解析式为．
把，代入得．
把，；，分别代入
得， （第16题答图）
解得，一次函数的解析式为．
（2）过点作轴于点．
点的纵坐标为1，．
由一次函数的解析式为得点的坐标为，
．
在和中，，，
．
．
【思考3解析】
解：（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
． ∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
解之，得．
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
【思考4解析】
（１）由题意，设B，则
∵B在第一象限，
B(４,２)
∴矩形OABC对角线的交点Ｅ为
（２）∵直线平分矩形OABC必过点
∴1=2x2+m
m=－3
x
y
A
B
O
D
C
y
x
6
B
A
O
1
1
6
x
y
A
B
O
E
D
C
（第22题）
