数学必修3选修2-3,2-1知识总结复习
文档属性
| 名称 | 数学必修3选修2-3,2-1知识总结复习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 183.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-01-23 19:06:20 | ||
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文档简介
高中新课标数学必修③模块 基础题型归类
1、算法框图与语句：
要求：理解算法基本思想，掌握算法三种逻辑结构与五种基本语句（输入、输出、赋值、条件、循环）.
例1. （1）若输入8时，则右边程序执行后输出的结果是 .
（2）右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是 .
（3）对任意正整数，设计一个求Ｓ＝的程序框图，并编写出程序.
练1 （1）右边程序为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 .
（2）右图输出的是的结果是 .
（3）编写程序，计算12+22+32+……+1002
2、经典算法案例：
要求：掌握进位制转化、辗转相除法与更相减损术求最大公约数、秦九韶算法.
例2. （1）将二进制数10101（2）化为十进制数为 ，再化为八进制数为 .
（2）用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果.
（3）已知一个4次多项式, 试用秦九韶算法求这个多项式在x=2的值.
练2 （1）下列各数中最小的数是（ ）. A. B. C. D.
（2）1001101（2）= （10），318（10）= （5）
3、抽样方法与频率分布：
要求：掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 能运用频率分布直方图.
例3. （1）某校1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人，为了研究血型与血弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血，A型血，B型血，AB型血的人要分别抽取人数为 .
（2） 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有____________辆
练3 （1）某单位有技工18人、技术员12人、工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本容量n为 .
（2）某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为1200辆,6000辆和2000辆, 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验, 这三种型号的轿车依次应抽取 辆.
4、样本数字特征：
要求：掌握样本中心位置特征数（平均数、中位数、众数）与离散程度特征数（标准差、方差）的计算.
例4. 给出下列四种说法：
① 3，3，4，4，5，5，5的众数是5；
② 3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；
③ 频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；
④ 频率分布表中各小组的频数之和等于1
其中说法正确的序号依次是 .
练4甲乙两种棉花苗中各抽10株, 测得它们的株高分别如下(单位:cm)
甲: 25,41,40,37,22,14,19,39,21,42 乙: 27,16,44,27,44,16,40,40,16,40
（1）估计两种棉花苗总体的长势:哪种长的高一些 （2）哪种棉花的苗长得整齐一些
5、概率基本性质：
要求：掌握概率基本性质等，能运用互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式.
例5. 一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少二次正面向上”. 写出一个事件A、B、C的概率之间的正确关系式是 .
练5 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成和棋的概率为 ；乙获胜的概率为 .
6、古典概型与几何概型
要求：掌握两种概率模型的特征，能运用概率模型解决实际问题.
例6. （1）玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿. （i）从中取1个球, 求取得红或白的概率. （ii）若从中取2个球，求至少一个红球的概率.
（2）甲乙两人相约某天在某地点见面，甲计划在上午8：30至9：30之间到达，乙计划在上午9：00至10：00之间到达. （i）求甲比乙提前到达的概率； （ii）如果其中一人先到达后最多等候另一人15分钟，然后离去. 求两人能够会面的概率.
练6 （1）某人一次掷出两枚骰子,点数和为5的概率是 .
（2）将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有两面涂色的概率是 .
（3）从一副扑克牌（没有大小王）的52张牌中任取2张，求：
（i）2张是不同花色牌的概率； （iii）至少有一张是红心的概率.
（4）在10件产品中，有8件是合格的，2件是次品，从中任意抽2件进行检验，计算：（i）两件都是次品的概率；（ii）2件中恰好有一件是合格品的概率；（iii）至多有一件是合格品的概率
（5）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P在圆外的概率是 .
（6）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.
第一讲 命题及其关系、充要条件与必要条件
一．命题
1．命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 叫做命题。其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 。
2．命题的结构：在数学中，具有“若则”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的叫做 ，叫做 。
二．四种命题及其相互关系
3．四种命题的概念：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是：
原命题：若则；逆命题： ；否命题： ；逆否命题： 。
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的 ；
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的 ；
（3）交换原命题的条件和结论，同时进行否定，所得的命题是原命题的 。
4．四种命题之间的关系
四种命题之间的相互关系如下图所示：
由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 。
5．反证法
由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困难时，可以通过证明 ，来间接地证明原命题为真命题，这种证明的方法，称作是 。用反证法证明的步骤如下：
（1） ，即假设结论的反面成立；
（2）从 出发，经过推理论证得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确， 。
三．充分条件与必要条件
6．若，则叫做的 条件，则叫做的 条件；若，则叫做的 条件，简称为 条件.
7．如果且，我们称为的 条件，如果且，则我们称为的 条件.
二．判断充要条件的方法
8．命题判断法
设“若则”为原命题，那么：
(1)原命题为真，逆命题为假时，则是的 条件；(2)原命题为假，逆命题为真时是的 条件；(3)原命题与逆命题都为真时，是的 条件；(4) 原命题与逆命题都为假时，是的 条件.
9．集合判断法
从集合的观点看，建立命题相应的集合：成立，成立，那么：
(1)若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(2) 若，则是的 条件，若时，则是的 条件；
(3)若，则是的 条件，若且时，则是的 条件.
［特别提醒］
1．否命题与命题的否定是不相同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定。如果原命题是“若则”，否命题是“若，则”，而命题的否定是“p则”，即只否定结论。
2．当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假。
3．反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。
4．充要条件与必要条件具有以下两个特征：
(1)对称性：若是的充分条件，则是的必要条件，即“”“”；
(2)传递性：若是的充分(必要)条件，是的充分(必要)条件，则是的充分(必要)条件.
在学习充分条件与必要条件时，要注意“当且仅当”，“必须且只须”等都是充要条件的等价说法.
第二讲 简单逻辑联结词、全称量词与存在量词
一．逻辑联结词
1．逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如 .
2．“且”记作 ；“或”记作 ；“非”记作 .
3．命题，和的真假判断
（1）当都是真命题时，为 ；为 ；为 .
（2）当有一个是真命题时，为 ；为 .
(3) 当都是假命题时，为 ；为 ；为 .
上述语句可以描述为：对于而言“一假必假”；对于而言“一真必真”；对于而言“真假相反”。
可以用下表来判断：（即真值表）
真 真
真 假
假 真
假 假
二．全称量词与存在量词
4．全称量词：短语 、 在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 来表示；
含有全称量词的命题，叫做 .
全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为 .
5．存在量词：短语 、 在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 来表示；
含有存在量词的命题，叫做 .
存在命题“存在中一个，使成立” 可用符号简记为 .
6．含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：
全称命题：，它的否定： ；即全称命题的否定是 .
含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：
全称命题：，它的否定： ；即全称命题的否定是 .
2．由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。
第三讲 椭圆标准方程及其几何性质
一．椭圆的基本概念
1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（ ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为 。这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。
2．椭圆的第二定义：平面内，到定点的距离与到定直线 的距离之比是常数（即 ）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数叫做椭圆的 。
二．椭圆的标准方程
3．当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 ；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 .
当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。
三．椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1（ ）,F2（c,0） F1（0,c）,F2（ ）
对称性 关于x,y轴成中心对称关于原点成中心对称
顶点坐标 A1（－a,0），A2( )B1( )，B2(0,b) A1（ ），A2(0,a)B1(－b,0)，B2( )
范围 ，
长轴短轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为
离心率 椭圆的焦距与长轴长的比e＝ 椭圆的焦距与长轴长的比e＝
准线方程 x= y=
第四讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一．直线与圆锥曲线的位置关系
1．代数法：判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程不同时为代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或)的一元方程，即消去后得，
(1)当时，则有，直线与曲线 ；，直线与曲线 ；，直线与曲线 。
(2)当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若是抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是 。
2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：
(1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线 ；
(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言，直线与椭圆 ；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ，对于抛物线而言，表示直线与其 或与其对称轴平行；
(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线 ，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。
二．中点弦问题
已知弦的中点，研究的斜率与方程.
3． 是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为 。运用点差法求的斜率：设都在椭圆上，则，两式相减，得，
，从而 ，
故 。
运用类比思想，可以推出已知是双曲线的弦，中点M，则 ；
已知抛物线的弦的中点M，则 .
三．弦长问题.
4．(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，则所得的弦长
或 ，其中求与时，常使用韦达定理，即做如下变形：，.
(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为 ，往往比利用弦长公式简单。
第五讲 回归分析的基本思想及其初步应用
1.相关关系是一种非确定的关系， 是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法。
2．线性回是模型（为 ），因变量的值是自变量和随机误差共同确定的，即自变量只能解释部分的变化，在统计中，我们把自变量称为 ，因变量称为 。
3．模型中的参数和用 估计，其计算公式如下：
，，其中，,称为 ，
回归直线一定经过样本中心点。
4．用 来描述线性相关关系的强弱。当时，表明两个变量 ；
当，表示两个变量 ；的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越 ；的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性越 。通常而言，当大于 时，认为两个变量具有很强的线性相关关系。
5．我们也可以用相关指数来刻划回归效果，其计算公式为：，
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越 。在线性回归模型中，表示解释变量对预报变量的 ，越接近于1，说明回归效果越好。
第五讲 两个计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事件有类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，……，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝ 种不同的方法。
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成个不同的步骤，完成第一步有种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，……，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法。
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与 有关，各种方法 ，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理有 有关，各个步骤 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
第六讲 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量
随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示。如果对于随机变量可能取到的值，可以按 一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列
（1）设离散型随机变量X可能取的值为，X取每一个值的概率，则表
…… ……
…… ……
称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列。
离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示，如图所示。
离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：
① ；②
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。
（2）两点分布:像 这样的分布列叫做两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称为 。
（3）超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件发生的概率为，，其中，且，此时称分布列
X 0 1 …… m
P ……
为超几何分布列。如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何
分布。
第七讲 独立重复试验、二项分布与正态分布
1．在相同的条件下重复做的 称为次独立试验。在次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的 ，若（）是第次试验的结果，则
2．若设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率为其中的取值为此时随机就是X服从二项分布，记为 ，并称P为成功概率。
3．函数的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数，随机变量X满足则称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。因此正态分布常记作 ，如果X服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：（1）曲线在 ；（2）曲线关于直线 对称；
（3）曲线在时 ；（4）当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
6．若则对于任何实数，概率 ；
； 。
7．在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称 。
第八讲 回归分析的基本思想及其初步应用
独立性检验的思想及其应用
1.相关关系是一种非确定的关系， 是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法。
2．线性回是模型（为 ），因变量的值是自变量和随机误差共同确定的，即自变量只能解释部分的变化，在统计中，我们把自变量称为 ，因变量称为 。
3．模型中的参数和用 估计，其计算公式如下：
，，其中，
称为 ，回归直线一定经过样本中心点。
4．用 来描述线性相关关系的强弱。当时，表明两个变量 ；
当，表示两个变量 ；的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越 ；的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性越 。通常而言，当大于 时，认为两个变量具有很强的线性相关关系。
5．我们也可以用相关指数来刻划回归效果，其计算公式为：，
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越 。在线性回归模型中，表示解释变量对预报变量的 ，越接近于1，说明回归效果越好。
6． 称为分类变量。
7．列出两个分类变量的 表，称为列联表。
8．与表格相比， 和 能更直观地反映出相关数据的总体状况。
9．利用随机变量来确定 ，可以认为“两个妥类变量有关系”的方法称为两个分类变量的 。
INPUT t
IF t<= 4 THEN
c=0.2
ELES
c=0.2+0.1(t－3)
END IF
PRINT c
END
S=0
i=1
DO
INPUT x
S=S+x
i=i+1
LOOP UNTIL _____
a=S/20
PRINT a
END
频率/组距
0.04
0.03
0.02
0.01
0
40 50 60 70 80 时速
互 否
为 逆
为 逆
互 否
互 否
互 否
互 逆
原命题
若p则q
互 逆
逆命题
若q则p
逆否命题
若则
逆否命题
若则
y
A2
B2
O
A1
B1
F2
F1
y
A2
B2
O
A1
B1
F2
F1
x
x5
x4
x3
x2
x1
P
O
1－p
X
P
0
1
p
1、算法框图与语句：
要求：理解算法基本思想，掌握算法三种逻辑结构与五种基本语句（输入、输出、赋值、条件、循环）.
例1. （1）若输入8时，则右边程序执行后输出的结果是 .
（2）右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是 .
（3）对任意正整数，设计一个求Ｓ＝的程序框图，并编写出程序.
练1 （1）右边程序为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 .
（2）右图输出的是的结果是 .
（3）编写程序，计算12+22+32+……+1002
2、经典算法案例：
要求：掌握进位制转化、辗转相除法与更相减损术求最大公约数、秦九韶算法.
例2. （1）将二进制数10101（2）化为十进制数为 ，再化为八进制数为 .
（2）用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果.
（3）已知一个4次多项式, 试用秦九韶算法求这个多项式在x=2的值.
练2 （1）下列各数中最小的数是（ ）. A. B. C. D.
（2）1001101（2）= （10），318（10）= （5）
3、抽样方法与频率分布：
要求：掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 能运用频率分布直方图.
例3. （1）某校1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人，为了研究血型与血弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血，A型血，B型血，AB型血的人要分别抽取人数为 .
（2） 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有____________辆
练3 （1）某单位有技工18人、技术员12人、工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本容量n为 .
（2）某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为1200辆,6000辆和2000辆, 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验, 这三种型号的轿车依次应抽取 辆.
4、样本数字特征：
要求：掌握样本中心位置特征数（平均数、中位数、众数）与离散程度特征数（标准差、方差）的计算.
例4. 给出下列四种说法：
① 3，3，4，4，5，5，5的众数是5；
② 3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；
③ 频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；
④ 频率分布表中各小组的频数之和等于1
其中说法正确的序号依次是 .
练4甲乙两种棉花苗中各抽10株, 测得它们的株高分别如下(单位:cm)
甲: 25,41,40,37,22,14,19,39,21,42 乙: 27,16,44,27,44,16,40,40,16,40
（1）估计两种棉花苗总体的长势:哪种长的高一些 （2）哪种棉花的苗长得整齐一些
5、概率基本性质：
要求：掌握概率基本性质等，能运用互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式.
例5. 一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少二次正面向上”. 写出一个事件A、B、C的概率之间的正确关系式是 .
练5 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成和棋的概率为 ；乙获胜的概率为 .
6、古典概型与几何概型
要求：掌握两种概率模型的特征，能运用概率模型解决实际问题.
例6. （1）玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿. （i）从中取1个球, 求取得红或白的概率. （ii）若从中取2个球，求至少一个红球的概率.
（2）甲乙两人相约某天在某地点见面，甲计划在上午8：30至9：30之间到达，乙计划在上午9：00至10：00之间到达. （i）求甲比乙提前到达的概率； （ii）如果其中一人先到达后最多等候另一人15分钟，然后离去. 求两人能够会面的概率.
练6 （1）某人一次掷出两枚骰子,点数和为5的概率是 .
（2）将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有两面涂色的概率是 .
（3）从一副扑克牌（没有大小王）的52张牌中任取2张，求：
（i）2张是不同花色牌的概率； （iii）至少有一张是红心的概率.
（4）在10件产品中，有8件是合格的，2件是次品，从中任意抽2件进行检验，计算：（i）两件都是次品的概率；（ii）2件中恰好有一件是合格品的概率；（iii）至多有一件是合格品的概率
（5）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P在圆外的概率是 .
（6）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.
第一讲 命题及其关系、充要条件与必要条件
一．命题
1．命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 叫做命题。其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 。
2．命题的结构：在数学中，具有“若则”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的叫做 ，叫做 。
二．四种命题及其相互关系
3．四种命题的概念：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是：
原命题：若则；逆命题： ；否命题： ；逆否命题： 。
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的 ；
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的 ；
（3）交换原命题的条件和结论，同时进行否定，所得的命题是原命题的 。
4．四种命题之间的关系
四种命题之间的相互关系如下图所示：
由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 。
5．反证法
由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困难时，可以通过证明 ，来间接地证明原命题为真命题，这种证明的方法，称作是 。用反证法证明的步骤如下：
（1） ，即假设结论的反面成立；
（2）从 出发，经过推理论证得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确， 。
三．充分条件与必要条件
6．若，则叫做的 条件，则叫做的 条件；若，则叫做的 条件，简称为 条件.
7．如果且，我们称为的 条件，如果且，则我们称为的 条件.
二．判断充要条件的方法
8．命题判断法
设“若则”为原命题，那么：
(1)原命题为真，逆命题为假时，则是的 条件；(2)原命题为假，逆命题为真时是的 条件；(3)原命题与逆命题都为真时，是的 条件；(4) 原命题与逆命题都为假时，是的 条件.
9．集合判断法
从集合的观点看，建立命题相应的集合：成立，成立，那么：
(1)若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(2) 若，则是的 条件，若时，则是的 条件；
(3)若，则是的 条件，若且时，则是的 条件.
［特别提醒］
1．否命题与命题的否定是不相同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定。如果原命题是“若则”，否命题是“若，则”，而命题的否定是“p则”，即只否定结论。
2．当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假。
3．反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。
4．充要条件与必要条件具有以下两个特征：
(1)对称性：若是的充分条件，则是的必要条件，即“”“”；
(2)传递性：若是的充分(必要)条件，是的充分(必要)条件，则是的充分(必要)条件.
在学习充分条件与必要条件时，要注意“当且仅当”，“必须且只须”等都是充要条件的等价说法.
第二讲 简单逻辑联结词、全称量词与存在量词
一．逻辑联结词
1．逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如 .
2．“且”记作 ；“或”记作 ；“非”记作 .
3．命题，和的真假判断
（1）当都是真命题时，为 ；为 ；为 .
（2）当有一个是真命题时，为 ；为 .
(3) 当都是假命题时，为 ；为 ；为 .
上述语句可以描述为：对于而言“一假必假”；对于而言“一真必真”；对于而言“真假相反”。
可以用下表来判断：（即真值表）
真 真
真 假
假 真
假 假
二．全称量词与存在量词
4．全称量词：短语 、 在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 来表示；
含有全称量词的命题，叫做 .
全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为 .
5．存在量词：短语 、 在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 来表示；
含有存在量词的命题，叫做 .
存在命题“存在中一个，使成立” 可用符号简记为 .
6．含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：
全称命题：，它的否定： ；即全称命题的否定是 .
含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：
全称命题：，它的否定： ；即全称命题的否定是 .
2．由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。
第三讲 椭圆标准方程及其几何性质
一．椭圆的基本概念
1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（ ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为 。这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。
2．椭圆的第二定义：平面内，到定点的距离与到定直线 的距离之比是常数（即 ）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数叫做椭圆的 。
二．椭圆的标准方程
3．当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 ；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 .
当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。
三．椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1（ ）,F2（c,0） F1（0,c）,F2（ ）
对称性 关于x,y轴成中心对称关于原点成中心对称
顶点坐标 A1（－a,0），A2( )B1( )，B2(0,b) A1（ ），A2(0,a)B1(－b,0)，B2( )
范围 ，
长轴短轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为
离心率 椭圆的焦距与长轴长的比e＝ 椭圆的焦距与长轴长的比e＝
准线方程 x= y=
第四讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一．直线与圆锥曲线的位置关系
1．代数法：判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程不同时为代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或)的一元方程，即消去后得，
(1)当时，则有，直线与曲线 ；，直线与曲线 ；，直线与曲线 。
(2)当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若是抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是 。
2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：
(1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线 ；
(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言，直线与椭圆 ；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ，对于抛物线而言，表示直线与其 或与其对称轴平行；
(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线 ，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。
二．中点弦问题
已知弦的中点，研究的斜率与方程.
3． 是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为 。运用点差法求的斜率：设都在椭圆上，则，两式相减，得，
，从而 ，
故 。
运用类比思想，可以推出已知是双曲线的弦，中点M，则 ；
已知抛物线的弦的中点M，则 .
三．弦长问题.
4．(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，则所得的弦长
或 ，其中求与时，常使用韦达定理，即做如下变形：，.
(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为 ，往往比利用弦长公式简单。
第五讲 回归分析的基本思想及其初步应用
1.相关关系是一种非确定的关系， 是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法。
2．线性回是模型（为 ），因变量的值是自变量和随机误差共同确定的，即自变量只能解释部分的变化，在统计中，我们把自变量称为 ，因变量称为 。
3．模型中的参数和用 估计，其计算公式如下：
，，其中，,称为 ，
回归直线一定经过样本中心点。
4．用 来描述线性相关关系的强弱。当时，表明两个变量 ；
当，表示两个变量 ；的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越 ；的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性越 。通常而言，当大于 时，认为两个变量具有很强的线性相关关系。
5．我们也可以用相关指数来刻划回归效果，其计算公式为：，
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越 。在线性回归模型中，表示解释变量对预报变量的 ，越接近于1，说明回归效果越好。
第五讲 两个计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事件有类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，……，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝ 种不同的方法。
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成个不同的步骤，完成第一步有种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，……，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法。
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与 有关，各种方法 ，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理有 有关，各个步骤 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
第六讲 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量
随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示。如果对于随机变量可能取到的值，可以按 一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列
（1）设离散型随机变量X可能取的值为，X取每一个值的概率，则表
…… ……
…… ……
称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列。
离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示，如图所示。
离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：
① ；②
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。
（2）两点分布:像 这样的分布列叫做两点分布列。
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称为 。
（3）超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件发生的概率为，，其中，且，此时称分布列
X 0 1 …… m
P ……
为超几何分布列。如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何
分布。
第七讲 独立重复试验、二项分布与正态分布
1．在相同的条件下重复做的 称为次独立试验。在次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的 ，若（）是第次试验的结果，则
2．若设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率为其中的取值为此时随机就是X服从二项分布，记为 ，并称P为成功概率。
3．函数的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数，随机变量X满足则称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。因此正态分布常记作 ，如果X服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：（1）曲线在 ；（2）曲线关于直线 对称；
（3）曲线在时 ；（4）当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
6．若则对于任何实数，概率 ；
； 。
7．在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称 。
第八讲 回归分析的基本思想及其初步应用
独立性检验的思想及其应用
1.相关关系是一种非确定的关系， 是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法。
2．线性回是模型（为 ），因变量的值是自变量和随机误差共同确定的，即自变量只能解释部分的变化，在统计中，我们把自变量称为 ，因变量称为 。
3．模型中的参数和用 估计，其计算公式如下：
，，其中，
称为 ，回归直线一定经过样本中心点。
4．用 来描述线性相关关系的强弱。当时，表明两个变量 ；
当，表示两个变量 ；的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越 ；的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性越 。通常而言，当大于 时，认为两个变量具有很强的线性相关关系。
5．我们也可以用相关指数来刻划回归效果，其计算公式为：，
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越 。在线性回归模型中，表示解释变量对预报变量的 ，越接近于1，说明回归效果越好。
6． 称为分类变量。
7．列出两个分类变量的 表，称为列联表。
8．与表格相比， 和 能更直观地反映出相关数据的总体状况。
9．利用随机变量来确定 ，可以认为“两个妥类变量有关系”的方法称为两个分类变量的 。
INPUT t
IF t<= 4 THEN
c=0.2
ELES
c=0.2+0.1(t－3)
END IF
PRINT c
END
S=0
i=1
DO
INPUT x
S=S+x
i=i+1
LOOP UNTIL _____
a=S/20
PRINT a
END
频率/组距
0.04
0.03
0.02
0.01
0
40 50 60 70 80 时速
互 否
为 逆
为 逆
互 否
互 否
互 否
互 逆
原命题
若p则q
互 逆
逆命题
若q则p
逆否命题
若则
逆否命题
若则
y
A2
B2
O
A1
B1
F2
F1
y
A2
B2
O
A1
B1
F2
F1
x
x5
x4
x3
x2
x1
P
O
1－p
X
P
0
1
p