2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市九年级上学期期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题）.
1．﹣5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2a3?3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4 D．（ a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．下列食品图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．若反比例函数的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，AC＝2，则BC长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．哈尔滨自由贸易区挂牌之后，富力城楼盘的价格连续两个月上涨，从9000元/平米涨到10890元/平米，则平均每月上涨率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
8．如图，E在⊙O上，B、C分别是弧AD的三等分点，∠AOB＝40°，则∠AED度数是（　　）
A．80° B．60° C．50° D．40°
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB及BA延长线上一点，连接CE、DF相交于点H，CE交AD于点G，下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
二、填空题（共10小题）.
11．把301000000用科学记数法表示为　 　．
12．函数中，自变量x的取值范围是　 　．
13．计算﹣2等于　 　．
14．多项式x3﹣x分解因式的结果是　 　．
15．不等式组的解集是　 　．
16．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为　 　．
17．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为　 　．
18．已知扇形的半径为12，弧长为4π，则该扇形的面积是　 　．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan∠CAB＝，点D为直线AB上一点，AC＝AD，则tan∠CDA的值是　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD⊥AB，连接BD交AC于点P，∠PAD＝2∠CBP，DE⊥AC于点E，若AC＝2DE＝8，则线段BP的长为　 　．
三、解答题（共60分）
21．先化简，再求代数式（+1）÷的值，其中x＝tan60°+2sin30°．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出△ABC，使∠BAC为钝角，且△ABC的面积为5，点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出△DEF，使tan∠DEF＝1，点F在小正方形的顶点上，连接CF，请直接写出线段CF的长．
23．为了了解某校七年级学生的计算能力，现随机抽查了部分同学进行了数学计算题测试，将成绩统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集的数据绘制成如图所示的不完整的条形和扇形统计图，请你根据图中提供的信息回答以下问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若这所学校七年级共有800名学生，请你估计该校七年级得“优秀”的同学有多少人？
24．如图1，四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE，AB＝CD．
（1）求证：BE＝DF；
（2）如图2，连接DE、BF，在添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．
25．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
26．已知⊙O是△ABC的外接圆，CE为⊙O的直径，交AB于点F，连接AO并延长交BC于点D，AD⊥BC．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠BAD；
（2）如图2，连接AE、BE，过点A作AG⊥CE，垂足为G．求证：CE＝BE+2EG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG交AB于点H，若GH＝2，AG＝4，求△CDG的面积．
27．如图，二次函数y＝ax2﹣x+c经过点A，与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）点P是直线下方二次函数图象上一点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一点，连接CQ，CQ＝CP，若∠BPC＝∠QCB+∠QBC，求直线BP的解析式．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．﹣5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2a3?3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4 D．（ a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
解：A．a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；
B.2a3?3a3＝6a6，故本选项不符合题意；
C．（3ab2）2＝9a2b4，故本选项不符合题意；
D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意；
故选：D．
3．下列食品图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：D．
5．若反比例函数的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
解：由题意可得m﹣1＜0，
即m＜1．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，AC＝2，则BC长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，
则＝，
解得，BC＝6，
故选：C．
7．哈尔滨自由贸易区挂牌之后，富力城楼盘的价格连续两个月上涨，从9000元/平米涨到10890元/平米，则平均每月上涨率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
解：设平均每月上涨率为x，
依题意，得：9000（1+x）2＝10890，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
故选：A．
8．如图，E在⊙O上，B、C分别是弧AD的三等分点，∠AOB＝40°，则∠AED度数是（　　）
A．80° B．60° C．50° D．40°
解：∵B、C分别是弧AD的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝40°，
∴∠AOD＝3×40°＝120°，
∴∠AED＝∠AOD＝60°，
故选：B．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB及BA延长线上一点，连接CE、DF相交于点H，CE交AD于点G，下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEG∽△BEC，△EFH∽△CDH，△AEG∽△DCG，
∴＝，故A正确，不符合题意；
＝，故B错误，符合题意；
＝，故C正确，不符合题意；
∵＝，
∴+＝+，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴＝，
∴＝，故D正确，不符合题意．
综上，只有B符合题意．
故选：B．
10．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确；
小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．
故选：D．
二、填空题：（每题3分，共30分）
11．把301000000用科学记数法表示为　3.01×108　．
解：301000000＝3.01×108．
故答案是：3.01×108．
12．函数中，自变量x的取值范围是　x≠﹣5　．
解：根据题意得：x+5≠0，
解得：x≠﹣5．
故答案为：x≠﹣5．
13．计算﹣2等于　2　．
解：原式＝3﹣
＝3﹣
＝2．
故答案是：2．
14．多项式x3﹣x分解因式的结果是　x（x+1）（x﹣1）　．
解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
15．不等式组的解集是　1＜x≤2　．
解：解不等式2x﹣1＞1，得：x＞1，
解不等式3x≤2x+2，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故答案为：1＜x≤2．
16．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为　（﹣1，﹣1）　．
解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1，
∴抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为：（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
17．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为　　．
解：∵不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，共有9个球，
∴从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为＝；
故答案为：．
18．已知扇形的半径为12，弧长为4π，则该扇形的面积是　24π　．
解：∵扇形的半径为12，弧长为4π，
∴扇形的面积是：×4π×12＝24π．
故答案为：24π．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan∠CAB＝，点D为直线AB上一点，AC＝AD，则tan∠CDA的值是　2或　．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴可设BC＝4k，则AC＝3k，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3k）2+（4k）2＝52，
∴k＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∴AD＝AC＝3．
点D为直线AB上一点时，D点的位置分两种情况：
①当点D在线段AB上时，过C作CE⊥AB于E，
∵S△ABC＝AB?CE＝AC?BC，
∴CE＝，
∴AE＝＝＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴tan∠CDA＝＝＝2；
②当点D′在线段BA的延长线上时，
∵AE＝，AD′＝3，
∴D′E＝AD′+AE＝3+＝，
∴tan∠CD′A＝＝＝．
综上所述，tan∠CDA的值是2或．
故答案为：2或．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD⊥AB，连接BD交AC于点P，∠PAD＝2∠CBP，DE⊥AC于点E，若AC＝2DE＝8，则线段BP的长为　3　．
解：作PM⊥AB于M，
∵∠C＝∠BAD＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝∠PAD+∠BAC，
∴∠PAD＝∠ABC，
∵∠PAD＝2∠CBP，
∴∠ABC＝2∠CBP，
∴∠CBP＝∠ABP，
∵PM⊥AB于M，PC⊥BC，
∴PC＝PM，
∵∠APD＝∠BPC＝90°﹣∠PBC，∠PAD＝2∠PBC，
∴∠ADP＝180°﹣（90°﹣∠PBC+2∠PBC）＝90°﹣∠PBC，
∴∠ADP＝∠APD，
∴PA＝AD，
又∵∠PAD+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠PAD＝∠APM，
在△APM和△DAE中，
，
∴△APM≌△DAE（AAS），
∴AE＝PM，AM＝DE，
∵AC＝2DE＝8，
∴DE＝4，
∴AM＝4，
设PC＝PM＝AE＝x，则AP＝8﹣x，
在Rt△APM中，AP2＝PM2+AM2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
∴设PC＝PM＝AE＝3，AP＝5，
∴PE＝5﹣3＝2，
∴PD＝＝＝，
∵∠C＝∠PED＝90°，∠BPC＝∠DPE，
∴△BPC∽△DPE，
∴，即，
∴BP＝3，
故答案为3．
三、解答题：（共60分）
21．先化简，再求代数式（+1）÷的值，其中x＝tan60°+2sin30°．
解：原式＝（+）×
＝
＝，
∵x＝+2×＝+1，
∴原式＝＝．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出△ABC，使∠BAC为钝角，且△ABC的面积为5，点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出△DEF，使tan∠DEF＝1，点F在小正方形的顶点上，连接CF，请直接写出线段CF的长．
解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）如图，△DEF可即为所求作，CF＝＝．
23．为了了解某校七年级学生的计算能力，现随机抽查了部分同学进行了数学计算题测试，将成绩统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集的数据绘制成如图所示的不完整的条形和扇形统计图，请你根据图中提供的信息回答以下问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若这所学校七年级共有800名学生，请你估计该校七年级得“优秀”的同学有多少人？
解：（1）20÷25%＝80（名），
答：在这次调查中，一共抽取了80名学生；
（2）良好的学生有：80﹣15﹣20﹣15﹣5＝25（名），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
800×＝150（名），
答：该校七年级得“优秀”的同学有150人．
24．如图1，四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE，AB＝CD．
（1）求证：BE＝DF；
（2）如图2，连接DE、BF，在添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．
【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，BE∥DF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝DF；
（2）∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF；
∵Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠BAC＝∠ACD，AB＝CD，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
25．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）设甲种工具购买了m件，则乙种工具购买了（100﹣m）件，
依题意得：16m+4（100﹣m）≤1000，
解得：m≤50．
答：甲种工具最多购买50件．
26．已知⊙O是△ABC的外接圆，CE为⊙O的直径，交AB于点F，连接AO并延长交BC于点D，AD⊥BC．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠BAD；
（2）如图2，连接AE、BE，过点A作AG⊥CE，垂足为G．求证：CE＝BE+2EG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG交AB于点H，若GH＝2，AG＝4，求△CDG的面积．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD⊥BC，AD是过圆心的线段，
∴BD＝CD．
∴AB＝AC．
∴∠BAD＝∠CAO．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵∠BFC＝∠FAC+∠ACF，
∴∠BFC＝3∠BAD；
（2）如图2，在CE上截取CP＝BE，连接AP．
∵＝．
∴∠EBA＝∠FCA．
∵AB＝AC，
∴△EBA≌△PCA（SAS）．
∴AE＝AP．
∵AG⊥EC，
∴EG＝PG．
∴CE＝BE+2EG．
（3）∵∠AGO＝∠CDO，AO＝CO，∠AOG＝∠COD，
∴△AGO≌△CDO（AAS）．
∴OG＝OD，AG＝CD．
∴∠OGD＝∠ODG＝∠OAC＝∠OCA．
∴AC∥DG．
∴四边形AGMC是平行四边形．
∵BD＝CD，
∴DH＝AC．
如图3，
过点C作CN⊥DG，CM⊥GC交GD延长线于点M，
∴四边形AGMC是平行四边形，
∴CM＝AG＝CD＝4．
设AC＝m，则DH＝m．
∴DN＝MN＝m﹣1．
∴sin∠CGM＝sin∠MCN．
∴＝，即＝．
∴m1＝20，m2＝﹣16．
过点D作DQ⊥CG于Q．
∵GC＝8，DG＝12，
∴DQ＝．
∴S△CDG＝CG?DQ＝×8×＝48．
∴△CDG的面积是48．
27．如图，二次函数y＝ax2﹣x+c经过点A，与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）点P是直线下方二次函数图象上一点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一点，连接CQ，CQ＝CP，若∠BPC＝∠QCB+∠QBC，求直线BP的解析式．
解：∵直线y＝x﹣2与x轴，y轴相交于的B、C两点，
∴点B（4，0），点C（0，﹣2），
∵抛物线y＝ax2﹣x+c的图象经过点B，点C，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）如图1，过点P作PE⊥BC于E，
∵点P的横坐标为t，
∴点P（t，t2﹣t﹣2），点E（t，t﹣2）
∴PE＝（t2﹣t﹣2）﹣（t﹣2）＝t2﹣4t，
∴S＝×4×（t2﹣4t）＝﹣2t2+8t；
（3）如图3，过点C作CE⊥BP于E，延长BE交y轴于点K，
∵∠BPC＝∠QCB+∠QBC，∠AQC＝∠QCB+∠QBC，
∴∠AQC＝∠CPB，
又∵CQ＝CP，∠COQ＝∠CEP＝90°，
∴△COQ≌△CEP（AAS），
∴CO＝CE＝2，
又∵BC＝BC，
∴Rt△OCB≌Rt△ECB（HL），
∴OB＝BE＝4，
∵tan∠BKO＝，
∴，
∴OK＝2KE，
∵OK2+OB2＝KB2，
∴4KE2+16＝（4+KE）2，
∴KE＝，
∴OK＝，
∴点K（0，），
设直线BP解析式为y＝kx+b，
由题意可得：，
∴，
∴直线BP的解析式为y＝x﹣．