2020-2021学年高中数学湘教版必修2单元测试卷 第四章 向量 Word版含解析

第四章 向量
1.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则?（ ）
A． B． C． D．
2.在梯形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
4.如图,在正六边形中,点O为其中心,则下列判断错误的是( )
A. B.
C. D.
5.平面向量a与b的夹角为60°，，则( )
A. B. C.12 D.
6.在中,点是线段上任意一点,是线段的中点,若存在实数和,使得则( )
A.2 B.-2 C. D.
7.已知非零向量与满足且，则的形状是( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形
8.如图，在中，，则 ( )
A. B. C. D.
9.在边长为1的正方形中，M为BC的中点，点E在线段上运动，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知向量a与b满足与b的夹角为,则（ ）
A．-6 B．6 C．- D．
11.在空间四边形中,连接.若是正三角形,且为其中心,则的化简结果为_____________.
12.已知向量与向量共线，则________.
13.已知向量，若，则实数____________.
14.已知，且a与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________.
15.如图，已知三个点.
（1）求证：；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图所示,
中,，
∴，
再由可得，
∴；
又，
∴，
∴；
又
∴.
故选：C.
2.答案：A
解析：解：∵在梯形中，，
∴
故选：A
3.答案：A
解析：.
4.答案：D
解析：设正六边形的边长为a,依次分析各选项:
对于A,由正六边形的性质可得与平行且相等,则有,故A正确;
对于B,由正六边形的性质可得与平行,即,故B正确;
对于C,在正六边形中,与均过中心O,则有,即有,故C正确;
对于D,在正六边形中,,
则,故D错误.
5.答案：B
解析：本题考查平面向量的数量积以及模的运算.方法一：由题意可得，则，所以.故选B.
方法二：设，则，所以.因为，所以，所以，所以.故，所以.故选B.
6.答案：D
解析：如图所示,
因为点在线段上,
所以存在,使得
因为是线段的中点,所以
又,所以,
所以故选D.
7.答案：D
解析：由，得的平分线垂直于.
，
.为等边三角形，故选D.
8.答案：D
解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示.
设，则.
，
.
.
9.答案：C
解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设.
因为，所以，所以.因为，所以，即的取值范围是.
10.答案：C
解析：,选C.
11.答案：
解析：如图,取的中点,连接,则..
12.答案：
解析：∵向量，向量共线，∴，
则，即，解得，，，
∴，故答案为．
13.答案：4
解析：本题考查向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示. .又，解得.
14.答案：
解析：与均为非零向量，且夹角为锐角，，即.
当a与共线时，存在实数m，使，
即，即
当时，a与共线.
综上可知，实数的取值范围为.
15.答案：（1），，即.
（2），四边形ABCD为矩形，.
设点C的坐标为，则.
又解得点C的坐标为.
，
.设与的夹角为，
则.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.