利用导数研究函数的极值、最大(小)值
知识梳理
1.导数与函数的极值
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 ,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.?
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 ,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.?
2.导数与函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最大(小)值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.?
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 ;?
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 比较,其中 的一个是最大值, 的一个是最小值.?
1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
2.若f(x)的图像连续不断,则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值;若f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)的最大值与最小值在区间端点处取得;若f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,则极大(小)值点也是f(x)的最大(小)值点.
3.构造辅助函数的四种方法
(1)移项法:不等式f(x)>g(x),即f(x)-g(x)>0,构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)构造“形似”函数:通过等价变换把不等式转化为左右两边具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;
(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));
(4)放缩法:若所给不等式不易求解,可将不等式进行放缩,然后构造函数进行求解.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.
( )
(2)导数为零的点不一定是极值点.
( )
(3)函数的极大值不一定比极小值大.
( )
(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.
( )
2.函数f(x)=x3-6x2+8x的极值点是( )
A.x=1
B.x=-2
C.x=-2和x=1
D.x=1和x=2
3.设函数f(x)=xex,则( )
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
4.函数f(x)=ln
x-x在区间(0,e]上的最大值为( )
A.1-e
B.-1
C.-e
D.0
5.(2020河南开封三模,理7,文9)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则c=( )
A.-2或-6
B.2或6
C.2
D.6
关键能力学案
考点
讨论函数极值点的个数
【例1】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.
解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间→极值→最大(小)值问题的具体步骤:
(1)求函数定义域.
(2)求导→通分或因式分解或二次求导.
(3)对参数分类,分类的层次:
①按导函数的类型分大类;
②按导函数是否有零点分小类;
③在小类中再按导函数零点的大小分小类;
④在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.
对点训练1设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)当b>时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)求函数f(x)的极值点.
考点
求函数的极值、最大(小)值
【例2】已知函数f(x)=ln
x-kx+k(k∈R),求f(x)在[1,2]上的最小值.
解题心得求最大(小)值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最大(小)值.若有唯一的极值点,则其为最值点.
对点训练2(2020北京,19)已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
考点
在恒成立中求参数的极值、最大(小)值
【例3】设a>0,若ln≥a|x|对x∈(-1,1)恒成立,求a的最大值.
解题心得洛必达法则
如果当x→x0(x0也可以是±∞)时,两个函数f(x)和g(x)都趋向于零或都趋向于无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在.我们称这类极限为型或型不定式极限.对于这类极限,一般要用洛必达法则来求.
定理1:若函数f(x)和g(x)满足条件:
(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0.
(2)f(x)=g(x)=0.
(3)=a,则有=a.
定理2:若函数f(x)和g(x)满足条件:
(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0.
(2)f(x)=g(x)=∞.
(3)=a,则有=a.
在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则.
对点训练3(2020广东茂名一模,理20)设函数f(x)=ex-mx+n,曲线y=f(x)在点(ln
2,f(ln
2))处的切线方程为x-y-2ln
2=0.
(1)求m,n的值;
(2)当x>0时,若k为整数,且x+1>(k-x)[f(x)+x+1],求k的最大值.
考点
已知函数的极值求参数的取值范围
【例4】设函数f(x)=-k+ln
x(k为常数,e=2.718
28…是自然对数的底数).
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求k的取值范围.
解题心得1.由于极值点对应的函数的导数值为0,所以对函数进行求导后,先考查导函数的哪一部分的符号不为0,然后把可能为0的部分构造成新的函数进行研究,这样将复杂的问题进行等价转化为简单的问题是解决已知函数极值情况求参数的取值范围的常用方法.
2.f'(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.
对点训练4(2020江西名校大联考,理21)已知函数f(x)=+x(a∈R).若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,求实数a的取值范围.
考点
利用导数求实际问题中的最值
【例5】(2020江苏,17)
某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(单位:米)与D到OO'的距离a(单位:米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(单位:米)与F到OO'的距离b(单位:米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价k(单位:万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
解题心得关于三角函数、几何图形面积、几何体体积及实际问题中的最值问题,最初的解题思路往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.
对点训练5(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为 cm.?
第2课时 利用导数
研究函数的极值、最大(小)值
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)都小 f'(x)<0 f'(x)>0 (2)都大
f'(x)>0 f'(x)<0
2.(1)连续不断 (2)①极值 ②f(a),f(b)
最大 最小
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.D 由f'(x)=4x2-12x+8=4(x-2)(x-1)=0得x=1或x=2,当x<1时,f'(x)>0;当1
2时,f'(x)>0.可得函数f(x)的极值点为x=1和x=2.故选D.
3.D f'(x)=ex+xex=(1+x)ex.令f'(x)=0,则x=-1.当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,则x=-1为f(x)的极小值点.
4.B 因为f'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以当x=1时,f(x)取得极大值,也为最大值,f(1)=ln1-1=-1.故选B.
5.D f'(x)=(x-c)2+2x(x-c),f'(2)=(2-c)2+2×2(2-c)=0,解得c=6或c=2.验证可知当c=2时,函数在x=2处取极小值,舍去,当c=6时满足题意,故c=6.
关键能力·学案
例1解f(x)的定义域为(-1,+∞),
f'(x)=+a(2x-1)=(2ax2+ax+1-a).
令g(x)=2ax2+ax+1-a(x>-1),
当a=0时,g(x)=1,则f'(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,
则f(x)在(-1,+∞)上递增,即当a=0时,函数无极值点.
当a≠0时,①由Δ=a(9a-8)≤0,得0②由Δ>0,得a>或a<0两个不同的范围,
设方程2ax2+ax+1-a=0的两根分别为x1,x2(x1图1
x1+x2=-,当a>时,函数g(x)的图像如图1所示,x1,x2的中点为-,
∴x1<-,x2>-,由g(-1)=1>0,可得-10,则f'(x)>0,f(x)递增,
当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)递减,
当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)递增,
因此,当a>,函数有两个极值点;
当a<0时,函数g(x)的图像如图2所示,
图2
由g(-1)=1>0,可得x1<-1,
则当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)递增,当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)递减,因此,当a<0时,函数有一个极值点.
综上所述,当a<0时,函数有一个极值点;当0≤a≤时,函数无极值点;当a>时,函数有两个极值点.
对点训练1解(1)函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=2x+.
令g(x)=2x2+2x+b,则Δ=4-8b.当b>时,Δ<0,所以g(x)在(-1,+∞)上恒大于0,所以f'(x)>0,于是当b>时,函数f(x)在定义域(-1,+∞)上递增.
(2)首先考虑g(x)=0是否有实根.
①当Δ<0,即b>时,由(1)知函数f(x)无极值点.
②当Δ=0,即b=时,g(x)=0有两个相等的实根,g(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,于是f'(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,+∞)上递增,从而函数f(x)在(-1,+∞)上无极值点.
③当Δ>0,即b<时,g(x)=0有两个不相等的根x1=,x2=,其中x1为确定两个根是否都在定义域(-1,+∞)上需要对参数b分类讨论.
当b<0时,x1=<-1,x2=>-1,
由f'(x)>0,可得x>x2,由f'(x)<0,可得-1所以f(x)在(-1,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,
所以当b<0时,f(x)在(-1,+∞)上有唯一极小值点x2=.
当0-1,x2=>-1,
由f'(x)>0,可得-1x2,由f'(x)<0,可得x1综上所述,当b<0时,f(x)在(-1,+∞)上有唯一的极小值点x2=;当0例2解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-k=.
①当k≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在[1,2]上递增,
所以[f(x)]min=f(1)=0.
②当k>0时,由f'(x)>0,可得0,所以f(x)在上递增,在上递减.
于是f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=0或f(2)=ln2-k.
(ⅰ)当0(ⅱ)当0≥ln2-k,即k≥ln2时,[f(x)]min=f(2)=ln2-k.
综上所述,当k对点训练2解(1)因为f(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x,设切点为(x0,12-),则-2x0=-2,即x0=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.
(2)显然t≠0,因为y=f(x)在点(t,12-t2)处的切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),令x=0,得y=t2+12,令y=0,得x=,
所以S(t)=(t2+12)·,不妨设t>0(当t<0时,结果一样),则S(t)=,
所以S'(t)=3t2+24-=,
由S'(t)>0,得t>2,由S'(t)<0,得0所以当t=2时,S(t)取得极小值,也是最小值为S(2)==32.
例3解令t=|x|∈[0,1),则ln≥a|x|对x∈(-1,1)恒成立等价于ln≥at对t∈[0,1)恒成立.
(方法1 分离参数法)
当t=0时,不等式恒成立,当t>0时,有a≤对t∈(0,1)恒成立.
令G(t)=,则G'(t)=,
令H(t)=-ln,则H'(t)=>0,
所以H(t)在(0,1)上递增,于是H(t)>H(0)=0,即G'(t)>0,所以G(t)在(0,1)上递增.由洛必达法则,可得G(t)==2,于是0(方法2 最值法)
构造函数F(t)=ln-at,则F'(t)=-a=.
①当2-a≥0,即a≤2时,F'(t)>0,所以函数F(t)在[0,1)上递增,
所以F(t)≥F(0)=0.
②当2-a<0,即a>2时,由F'(t)<0可得0≤t<,所以函数F(t)在上递减,所以F(t)≤F(0)=0,不合题意.综上所述,a的最大值为2.
对点训练3解(1)由f'(x)=ex-m,由于x-y-2ln2=0的斜率为1,且过点(ln2,-ln2),得
即解得m=1,n=-2.
(2)由(1)知f(x)=ex-x-2,由x+1>(k-x)[f(x)+x+1],得x+1>(k-x)(ex-1),故当x>0时,等价于k<+x(x>0),
①
令g(x)=+x,则g'(x)=+1=,
令h(x)=ex-x-2,
∵x>0,∴h'(x)=ex-1>0.
∴函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上递增.
而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,
故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时,g'(x)<0,g(x)递减;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0,g(x)递增.
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α),又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3),故①等价于k例4解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-k-=.
当k≤0时,ex-kx>0.
所以当0当x>2时,f'(x)>0.
所以f(x)的递减区间为(0,2),递增区间为(2,+∞).
(2)函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,等价于f'(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根.
(方法1)f'(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根等价于ex-kx=0在(0,2)上有两个不同的实数根.
设h(x)=ex-kx,则h'(x)=ex-k.
当k≤1时,h'(x)>0,
所以h(x)在(0,2)上递增,
此时h(x)在(0,2)上不存在两个不同的实数根.
当k>1时,由h'(x)>0可得x>lnk,由h'(x)<0可得x综上所述,k的取值范围为e,.
(方法2)f'(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根等价于ex-kx=0在(0,2)上有两个不同的实数根,等价于k=在(0,2)上有两个不同的实数根,等价于y=k与g(x)=在(0,2)上有两个不同的交点.
g'(x)=,当0当x>1时,g'(x)>0.
g(1)=e,g(2)=,
当x→0+时,g(x)→+∞.
画出g(x)在(0,2)上的图像(图略),可知要使y=k与g(x)在(0,2)上有两个不同的交点,k的取值范围为e,.
对点训练4解f(x)=+x(x>1),f'(x)=+1=,
令F(x)=x2-lnx-a+1,
则F'(x)=2x-,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,所以函数F(x)在(1,+∞)上递增,
又F(1)=2-a,故①当a≤2时,F(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上递增,无极值;
②当a>2时,F(1)<0,F(a)=a2-lna-a+1,令G(x)=x2-lnx-x+1,则G'(x)=2x--1=,
当x>2时,G'(x)>0,函数G(x)在(2,+∞)上递增,G(2)=3-ln2>0,所以在(2,+∞)上,G(x)>0恒成立,所以F(a)=a2-lna-a+1>0,
所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,此时函数f(x)存在极小值.
综上,若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,则a>2.
故实数a的取值范围为(2,+∞).
例5解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160.
由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
(2)以O为原点,MN为x轴,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),
则y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=kk-x2+4x=kx3-x2+160(0f'(x)=kx(x-20),令f'(x)=0,得x=20.
x
(0,20)
20
(20,40)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
对点训练510 设EF=xcm,则AE=BF=cm,包装盒的高为GE=xcm,
因为AE=AH=cm,A=,
所以包装盒的底面边长为HE=(30-x)cm,所以包装盒的体积为V(x)=x=(x3-60x2+900x),0当x∈(0,10)时,V'(x)>0,函数V(x)单调递增;当x∈(10,30)时,V'(x)<0,函数V(x)单调递减,所以V(x)max=V(10)=(1000-6000+9000)=1000(cm3),即当EF=10cm时,包装盒容积取得最大值1000cm3. 利用导数研究函数的单调性
知识梳理
函数的单调性与导数的关系
(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,
①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上 ;?
②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上 ;?
③如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
(2)可导函数f(x)在[a,b]上递增,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
(3)可导函数f(x)在[a,b]上递减,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号.
可导函数f(x)在(a,b)上递增(减)的充要条件是任意x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在(a,b)上f'(x)≤0,且f'(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)上递减.
( )
(2)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定递减.
( )
(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上递增,则f'(x)>0恒成立.
( )
(4)在某区间上f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上递增(减)的充分不必要条件.
( )
(5)函数f(x)=sin
x-2x在(0,π)上递减.
( )
2.函数f(x)=的递减区间是( )
A.,+∞
B.(1,+∞)
C.0,
D.(0,1)
3.函数f(x)=ex-ex,x∈R的递增区间是( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(-∞,1)
D.(1,+∞)
4.(2020天津河北区线上测试,6)已知函数f(x)=3x+2cos
x,若a=f(),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是( )
A.aB.cC.bD.b5.已知函数f(x)=x2+2ax-ln
x,若f(x)在区间,2上递增,则实数a的取值范围为 .?
关键能力学案
考点
利用导数求函数的单调区间
【例1】已知函数f(x)=ln
x-2x2+3,则函数f(x)的递增区间为 .?
解题心得1.利用导数求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.
2.求f(x)的单调区间,需知f'(x)的正负,若f'(x)不含参数,但又不好判断正负,将f'(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g'(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的单调性及最值,进而得出f'(x)的正负.
对点训练1(2020陕西西安中学六模,文21)设函数f(x)=x+.
(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
考点
利用导数讨论含参数的函数的单调性
【例2】设a>0,讨论函数f(x)=ln
x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.
解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:
分类讨论点1:求导后,考虑f'(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;
分类讨论点2:求导后,f'(x)=0有实数根,但不清楚f'(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;
分类讨论点3:求导后,f'(x)=0有实数根,f'(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.
对点训练2(2020全国2,文21)已知函数f(x)=2ln
x+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求实数c的取值范围;
(2)设a>0,讨论函数g(x)=的单调性.
考点
函数单调性的应用
(多考向探究)
考向1 比较大小或解不等式
【例3】(1)(2020湖南长郡中学四模,11)若0
A.
B.
C.
D.
(2)(2020河北保定二模,文12)设函数f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2
020,则不等式exf(x)>ex+2
019的解集为( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2
019,+∞)
C.(2
019,+∞)
D.(0,+∞)
解题心得利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式的问题.
对点训练3(1)设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)>g'(x),则当a
A.f(x)>g(x)
B.f(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式ex-1f(x)考向2 已知函数单调性求参数取值范围
【例4】已知函数f(x)=ln
x,g(x)=ax2+2x.若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上递减,则实数a的取值范围为 .?
解题心得利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法
(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.
方法一:转化为“f'(x)>0(<0)在区间D上有解”;
方法二:转化为“存在区间D的一个子区间使f'(x)>0(或f'(x)<0)成立”.
(2)函数f(x)在区间D上递增(减).
方法一:转化为“f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”;
方法二:转化为“区间D是函数f(x)的递增(减)区间的子集”.
变式发散1将例4中的“在[1,4]上递减”改为“存在递减区间”,其他不变.
变式发散2例4中的已知条件不变,把后面的问题改为:讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性.
对点训练4(1)(2020湖南湘潭三模,文12)已知函数f(x)=ax2+3x-3ex是减函数,则正数a=( )
A.9
B.e2
C.3
D.e
(2)若函数f(x)=x-sin
2x+asin
x在区间(-∞,+∞)上递增,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.-1,
C.-
D.-1,-
阅读下列四个在抽象函数中构造辅助函数,利用辅助函数解决问题的案例,思考如何构造辅助函数.你能不能从具体的实例中抽象出构造辅助函数的数学结论?
【例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
答案B
解析构造函数F(x)=xf(x).当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0,F(x)递减.
又因为f(-1)=0,所以F(-1)=0.
所以当-10.
因为f(x)为奇函数,所以F(x)=xf(x)为偶函数,所以当x>1时,F(x)>0,
所以当x>1时,f(x)>0.综上可知,f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选B.
【例2】已知函数f(x)满足f(x)+2f'(x)>0,则下列不等式成立的是( )
A.f(1)>
B.f(2)<
C.f(1)>f(2)
D.f(0)>e2f(4)
答案A
解析设F(x)=2f(x),则F'(x)=f(x)+2f'(x)=[f(x)+2f'(x)].
因为f(x)+2f'(x)>0,所以F'(x)>0,
所以F(x)在定义域上递增.
所以F(1)>F(0),即2f(1)>2f(0),
所以f(1)>.故选A.
【例3】已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)A.f(1)>ef(0)
B.f(1)=ef(0)
C.f(1)D.f(1)与ef(0)的大小不确定
答案A
解析设F(x)=,则F'(x)=.
因为f(x)0,
所以F(x)是R上的增函数.所以F(1)>F(0),
即>f(0),所以f(1)>ef(0).故选A.
【例4】定义在区间上的函数f(x),f'(x)是其导函数,恒有f(x)>f'(x)tan
x成立,则( )
A.
B.f(1)>2fsin
1
C.D.答案A
解析因为x∈,所以sinx>0,cosx>0.
由f(x)>f'(x)tanx,得f(x)cosx-f'(x)sinx>0.
设F(x)=,则F'(x)=<0,
所以F(x)在区间上单调递减.
所以F>F,
即.故选A.
数学抽象的思维过程仔细观察和思考例1和例2的解法,它们有一个共同特点:采用导数的积运算法则,即[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).例3和例4的解法,它们也有一个共同点:采用导数的商运算法则,即'=(g(x)≠0).由此可见,对于含有f(x)和f'(x)的不等式,将不等式的右边化为0,若左边是u(x)f(x)+v(x)f'(x)的形式,其中u(x)和v(x)为常见的变量或常量,则此时用导数的积运算法则;若左边是u(x)f(x)-v(x)f'(x)的形式,则此时用导数的商运算法则.
在例1中,f(x)+xf'(x)<0,根据导数的积运算法则(箭头指向方向为函数的导函数,后面不再说明),可以看出f(x)的导数为f'(x),x的导数为1,从而构造出函数F(x)=xf(x).
在例2中,f(x)+2f'(x)>0,根据导数的积运算法则,可以看出f(x)的导数为f'(x),2的导数为1显然不成立,则不等式两边一定约去了一个不为0的变量,则猜想到y=ex,但这里还要考虑系数1和2,进一步猜想到复合函数y=,给上述不等式两边同乘,则
从而构造出函数F(x)=2f(x).
在例3中,由f(x)在例4中,由f(x)>f'(x)tanx,得f(x)cosx-f'(x)sinx>0,且sinx>0,根据导数的商运算法则,可以看出f(x)的导数为f'(x),sinx的导数为cosx,从而构造出函数F(x)=.
数学抽象的结论根据题设条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造函数如下.
(1)对于不等式f'(x)>k(k≠0),构造函数g(x)=f(x)-kx+b.
(2)对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=xf(x).
(3)对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=(x≠0).
(4)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数g(x)=xnf(x).
(5)对于不等式xf'(x)-nf(x)>0,构造函数g(x)=(x≠0).
(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=exf(x).
(7)对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=.
(8)对于不等式f'(x)+kf(x)>0,构造函数g(x)=ekxf(x).
(9)对于不等式f'(x)+2xf(x)>0,构造函数g(x)=f(x).
(10)对于不等式f'(x)+lnaf(x)>0(a>0),构造函数g(x)=axf(x).
(11)对于不等式f(x)+f'(x)tanx>0,构造函数g(x)=f(x)sinx.
(12)对于不等式f'(x)-f(x)tanx>0,构造函数g(x)=f(x)cosx.
(13)对于不等式>0(f(x)>0),构造函数g(x)=lnf(x).
(14)对于不等式f'(x)lnx+>0(x>0),构造函数g(x)=f(x)lnx.
3.2 导数在研究函数中的应用
第1课时 利用导数研究函数的单调性
必备知识·预案自诊
知识梳理
(1)①递增 ②递减
考点自诊
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.A f'(x)=-,由x>0及f'(x)<0得x>.故选A.
3.D 由题意知,f'(x)=ex-e,令f'(x)>0,解得x>1.故选D.
4.D 由题意,得f'(x)=3-2sinx,所以f'(x)在R上恒为正,所以f(x)是R上的增函数.又因为2=log245.,+∞ 由题意知f'(x)=x+2a-≥0在,2上恒成立,即2a≥-x+在,2上恒成立.令g(x)=-x+,则g'(x)=-1-,g'(x)<0在,2上恒成立,所以g(x)=-x+在,2上递减.故g(x)≤g=.所以2a≥,即a≥.故实数a的取值范围为,+∞.
关键能力·学案
例1 依题意,f'(x)=-4x=,x∈(0,+∞).令f'(x)>0,则1-2x>0,解得0对点训练1解(1)f'(x)=1+(x>0).
则切线斜率k=f'(1)=2.
又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)f'(x)=1+(x>0).
令g(x)=x2+1-lnx(x>0),
则g'(x)=(x>0).
当0当x>时,g'(x)>0.
即g(x)在区间0,上递减,在,+∞上递增.
故g(x)min=g=-ln>0,
所以f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立.
所以,函数f(x)的递增区间为(0,+∞),无递减区间.
例2解f(x)的定义域是(0,+∞).
f'(x)=+2a(1-a)x-2(1-a)=.
令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,为确定函数g(x)的函数类型,对a进行分类讨论.
(1)当a=1时,g(x)是常数函数,此时g(x)=1>0,f'(x)=>0,于是f(x)在(0,+∞)上递增.
(2)当a≠1时,g(x)是二次函数,首先讨论f'(x)=0是否有实数根,方程g(x)=0对应的Δ=4(a-1)(3a-1).
①当Δ<0,即0,f(x)在(0,+∞)上递增.
②当Δ=0,即a=时,g(x)=0有两个相等的实根x1=x2=,于是f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上递增.
③当Δ>0,即01时,g(x)=0有两个不相等的实根分别为x1=,x2=.
因为x1+x2=,x1x2=,
所以当00且x1x2>0,所以x1>0,x2>0.
由x1与x2的表达式知x1由f'(x)>0,可得0x2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上递增;
由f'(x)<0,可得x1当a>1时,有x1+x2>0且x1x2<0,此时x2<0由f'(x)>0,可得0所以f(x)在(0,x1)上递增;
由f'(x)<0可得x>x1,所以f(x)在(x1,+∞)上递减.
综上所述,当0当≤a≤1时,f(x)在(0,+∞)上递增;
当a>1时,f(x)在(0,x1)上递增,在(x1,+∞)上递减.
其中x1=,x2=.
对点训练2解设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2lnx-2x+1-c,
其定义域为(0,+∞),h'(x)=-2.
(1)当00;当x>1时,h'(x)<0.所以h(x)在区间(0,1)上递增,在区间(1,+∞)上递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.
故当且仅当-1-c≤0,即c≥-1时,f(x)≤2x+c.
所以c的取值范围为[-1,+∞).
(2)g(x)=,x∈(0,a)∪(a,+∞).
g'(x)=.
取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当x≠1时,h(x)<0,即1-x+lnx<0.故当x∈(0,a)∪(a,+∞)时,1-+ln<0,从而g'(x)<0.所以g(x)在区间(0,a),(a,+∞)上递减.
例3(1)B (2)D (1)设f(x)=,则f'(x)=.令f'(x)>0,得x<0;令f'(x)<0,得x>0.则f(x)在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递减.若0f(x)>f(ln3),即.故选B.
(2)设g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1].∵f(x)+f'(x)>1,ex>0,
∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)-1]>0,
∴g(x)是R上的增函数.
又g(0)=f(0)-1=2019,
∴g(x)>2019的解集为(0,+∞),
即不等式exf(x)>ex+2019的解集为(0,+∞).故选D.
对点训练3(1)C (2)(1,+∞) (1)∵f'(x)>g'(x),∴[f(x)-g(x)]'>0.
∴f(x)-g(x)在[a,b]上递增.
∴f(a)-g(a)g(x)+f(a).
(2)设F(x)=,则F'(x)=.
∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上递增.
∵ex-1f(x)1,∴不等式ex-1f(x)例4-,+∞ 由h(x)在[1,4]上递减得,当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥恒成立.
设G(x)==-12-1,
所以a≥G(x)max.
因为x∈[1,4],所以∈,1,
所以G(x)max=-(此时x=4),
所以a≥-.
变式发散1(-1,+∞) h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以h'(x)=-ax-2.
由h(x)在(0,+∞)上存在递减区间得,当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>有解.设G(x)=,所以只要a>G(x)min即可.
而G(x)=-12-1,
所以G(x)min=-1.所以a>-1.
变式发散2解h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以h'(x)=-ax-2=.
当a=0时,h'(x)=,则h(x)在0,上递增,在,+∞上递减;
当a≤-1时,Δ≤0,则h'(x)≥0,所以h(x)在(0,+∞)上递增;
当-10,h'(x)=0的两个实数根为x1=>0,x2=>0,且x1>x2,
所以h(x)在0,和,+∞上递增,在上递减;
当a>0时,h'(x)=0的两个实数根x1=<0,x2=>0,
所以h(x)在0,上递增,在,+∞上递减.
综上,当a≤-1时,h(x)在(0,+∞)上递增;
当-1当a=0时,h(x)在0,上递增,在,+∞上递减;
当a>0时,h(x)在0,上递增,在,+∞上递减.
对点训练4(1)C (2)C (1)由f(x)是减函数,得当x∈R时,f'(x)=ax+3-3ex≤0恒成立.
设g(x)=ax+3-3ex.
∵g'(x)=a-3ex,a>0,
∴当x∈-∞,ln时,g'(x)>0;
当x∈ln,+∞时,g'(x)<0.
∴g(x)在-∞,ln上递增,在ln,+∞上递减.
∴g(x)在x=ln处取得最大值.
又g(0)=0,∴对任意的x∈R,g(x)≤g(0)恒成立,即g(x)的最大值为g(0),
∴ln=0,解得a=3.
(2)由题意可知,f'(x)=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+.
因为f(x)在R上递增,所以f'(x)=-cos2x+acosx+≥0在R上恒成立.
(方法1)则由题意可得,当cosx=1时,f'(x)≥0;
当cosx=-1时,f'(x)≥0.即解得-≤a≤.
(方法2)令t=cosx∈[-1,1].
当t=0时,>0恒成立;
当0令h(t)=t-,则h'(t)=>0,所以h(t)在(0,1]上递增.
所以h(t)max=h(1)=-.
所以a≥-.
当-1≤t<0时,a≤t-.
令g(t)=t-,则g'(t)=>0,所以g(t)在[-1,0)上递增.
所以g(t)min=g(-1)=.
所以a≤.
综上,-≤a≤.